一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)设 是数列,下列命题中不正确的是 ( )
(A) 若 ,则 (B) 若 , 则
(C) 若 ,则 (D) 若 ,则
【答案】(D)
【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.
数列 对任意的子列 均有 ,所以A、B、C正确; D错(D选项缺少 的敛散性),故选D
(2) 设函数 在 内连续,其2阶导函数 的图形如右图所示,则曲线 的拐点个数为 ( )
(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)
【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是 不存在的点或 的点处产生.所以 有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点;二阶导函数 符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.
(3) 设 ,函数 在 上连续,则 ( )
(A)
(B)
(C) (D) 【答案】(B)
【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域
所以 ，
故选B.
(4) 下列级数中发散的是( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(C)
【解析】A为正项级数，因为 ，所以根据正项级数的比值判别法 收敛;B为正项级数，因为 ，根据 级数收敛准则，知 收敛;C， ，根据莱布尼茨判别法知 收敛， 发散，所以根据级数收敛定义知， 发散;D为正项级数，因为 ，所以根据正项级数的比值判别法 收敛，所以选C.
(5)设矩阵 , .若集合 ，则线性方程组 有无穷多解的充分必要条件为 ( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(D)
【解析】 ，
由 ，故 或 ，同时 或 .故选(D)
(6) 设二次型 在正交变换 下的标准形为 ，其中 ，若 则 在正交变换 下的标准形为( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(A)
【解析】由 ，故 .
且 .
又因为 故有 所以 .选(A)
(7) 若 为任意两个随机事件,则: ( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(C)
【解析】由于 ，按概率的基本性质，我们有 且 ，从而 ，选(C) .
(8) 设总体 为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则 ( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(B)
【解析】根据样本方差 的性质 ，而 ，从而 ，选(B) .
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 【答案】 【解析】原极限 (10)设函数 连续， 若 则 【答案】 【解析】因为 连续，所以 可导，所以 ;
因为 ，所以 又因为 ，所以 故 (11)若函数 由方程 确定，则 【答案】 【解析】当 ， 时带入 ，得 .
对 求微分，得
把 ， ， 代入上式，得 所以 (12)设函数 是微分方程 的解，且在 处取得极值3，则 【答案】 【解析】 的特征方程为 ，特征根为 ， ，所以该齐次微分方程的通解为 ，因为 可导，所以 为驻点，即
， ，所以 ， ，故 (13)设3阶矩阵 的特征值为 ， 其中E为3阶单位矩阵，则行列式 【答案】 【解析】 的所有特征值为 的所有特征值为 所以 .
(14)设二维随机变量 服从正态分布 ，则 【答案】 【解析】由题设知， ，而且 相互独立，从而
.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10 分)
设函数 .若 与 在 时是等价无穷小，求 的值.
【答案】 【解析】法一：
因为 ， ，
则有， ，
可得： ，所以， .
法二：
由已知可得得
由分母 ，得分子 ，求得c;
于是 由分母 ，得分子
，求得 ;
进一步，b值代入原式
，求得 (16)(本题满分10 分)
计算二重积分 ，其中 【答案】 【解析】 (17)(本题满分10分)
为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设 为该商品的需求量， 为价格，MC为边际成本， 为需求弹性 .
(I) 证明定价模型为 ;
(II) 若该商品的成本函数为 ，需求函数为 ，试由(I)中的定价模型确定此商品的价格.
【答案】(I)略(II) .
【解析】(I)由于利润函数 ,两边对 求导，得
.
当且仅当 时，利润 最大，又由于 ,所以 ,
故当 时，利润最大.
(II)由于 ,则 代入(I)中的定价模型，得 ,从而解得 .
(18)(本题满分10 分)
设函数 在定义域 上的导数大于零，若对任意的 ，曲线 在点 处的切线与直线 及 轴所围成区域的面积恒为4，且 ，求 表达式.
【答案】 【解析】曲线的切线方程为 ，切线与 轴的交点为 故面积为： .
故 满足的方程为 ,此为可分离变量的微分方程,
解得 ，又由于 ，带入可得 ，从而 (19)(本题满分 10分)
(I)设函数 可导，利用导数定义证明 (II)设函数 可导， ，写出 的求导公式.
【答案】 【解析】(I) (II)由题意得
(20) (本题满分 11分)
设矩阵 ，且 .
(I) 求 的值;
(II)若矩阵 满足 ，其中 为3阶单位矩阵，求 .
【答案】 【解析】(I) (II)由题意知
，
(21) (本题满分11 分)
设矩阵 相似于矩阵 .
(I) 求 的值;
(II)求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵.
【答案】 【解析】(1) 的特征值 时 的基础解系为 时 的基础解系为 A的特征值 令 ，
(22) (本题满分11 分)