一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 下列反常积分收敛的是 ( )
(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)
【解析】 ，则 .
(2) 函数 在 内( )
(A) 连续
(B) 有可去间断点
(C) 有跳跃间断点
(D) 有无穷间断点
【答案】(B)
【解析】 ， ，故 有可去间断点 .
(3) 设函数 ,若 在 处连续则:( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】(A)
【解析】 时， 时， 在 处连续则： 得 得： ，答案选择A
(4)设函数 在 内连续，其中二阶导数 的图形如图所示，则曲线 的拐点的个数为( )
(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)
【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.
(5) 设函数 满足 ，则 与 依次是 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(D)
【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.
令 ，则 ，从而 变为
.故 ，
因而 .故选(D).
(6)设 是第一象限由曲线 ， 与直线 ， 围成的平面区域，函数 在 上连续，则 ( )
(A)
(B)
(C) (D)
【答案】(B)
【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为 所以
故选B.
(7) 设矩阵 , .若集合 ，则线性方程组 有无穷多解的充分必要条件为 ( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(D)
【解析】 ，
由 ，故 或 ，同时 或 .故选(D)
(8) 设二次型 在正交变换 下的标准形为 ，其中 ，若 则 在正交变换 下的标准形为( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(A)
【解析】由 ，故 .
且 .
由已知可得 故 所以 .选(A)
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 则
【答案】48
【解析】 .
(10)函数 在 处的 阶导数 _________
【答案】 【解析】根据莱布尼茨公式得：
(11) 设 连续， ，若 ，则
【答案】 【解析】 已知 ，求导得 ，故有 则 .
(12)设函数 是微分方程 的解，且在 处 取得极值3，则 = .
【答案】 【解析】由题意知： ， ，由特征方程： 解得 所以微分方程的通解为： 代入 ， 解得： 解得： (13)若函数 由方程 确定，则 = .
【答案】 【解析】当 时 ，则对该式两边求偏导可得 .将(0,0,0)点值代入即有
则可得 (14) 若 阶矩阵 的特征值为 ， ，其中 为 阶单位阵，则行列式 .
【答案】21
【解析】 的所有特征值为 的所有特征值为 所以 .
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
设函数 ， .若 与 在 时是等价无穷小，求 的值.
【答案】 【解析】
方法一：
因为 ， ，
那么，
，
可得： ，所以， .
方法二：
由题意得
由分母 ，得分子 ，求得c;
于是 由分母 ，得分子
，
求得 ;
进一步，b值代入原式
，求得 (16) (本题满分10分)
设A>0，D是由曲线段 及直线 ， 所围成的平面区域， ， 分别表示D绕 轴与绕 轴旋转成旋转体的体积，若 ，求A的值.
【答案】 【解析】由旋转体的体积公式，得
由题 求得 (17) (本题满分11分)
已知函数 满足 ， ， ，求 的极值.
【答案】极小值 【解析】 两边对y积分，得
，
故 ，
求得 ，
故 ，两边关于x积分，得
由 ，求得 所以 .
令 ，求得 .
又 ，
， ，
当 时， ，
为极小值.
(18) (本题满分10分)
计算二重积分 ，其中 【答案】 【解析】 (19)(本题满分 11 分)
已知函数 ，求 零点的个数?
【答案】 个
【解析】 令 ,得驻点为 ,
在 , 单调递减,在 , 单调递增
故 为唯一的极小值,也是最小值.
而 在 , ,故 从而有 考虑 ，所以 .
所以函数 在 及 上各有一个零点，所以零点个数为2.
(20) (本题满分10分)
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 的物体在 的恒温介质中冷却，30min后该物体降至 ，若要将该物体的温度继续降至 ，还需冷却多长时间?
【答案】 【解析】设 时刻物体温度为 ，比例常数为 ，介质温度为 ,则
，从而 ，
，所以 ，即 又 所以 ，所以 当 时， 1，所以还需要冷却30min.
(21) (本题满分10分)
已知函数 在区间 上具有2阶导数， ， ， ，设 ，曲线 在点 处的切线与 轴的交点是 ，证明 .
【证明】根据题意得点 处的切线方程为 令 ，得 因为 所以 单调递增，又因为 所以 ，又因为 所以 又因为 ，而在区间(a,b)上应用拉格朗日中值定理有
所以 因为 所以 单调递增
所以 所以 ，即 ，所以 ，结论得证.
(22) (本题满分 11 分)