考研数学线性代数历年考点及知识点整理

时间:2018-06-26 编辑:隆霄 手机版

  线性代数占考研数学总分值的22%,约34分,以2个选择题、1个填空题、2个解答题的形式出现。虽然线性代数的考点众多,但要把这5个题目的分值完全收入囊中,则需要进行重点题型重点突破。

  矩阵的秩

  矩阵是解决线性方程组的解的有力工具,矩阵也是化简二次型的方便工具。矩阵理论是线性代数的重点内容,熟悉掌握了矩阵的相关性质与内容,利用其来解决实际应用问题就变得简单易行。正因为矩阵理论在整个线性代数中的重要作用,使它变为考试考查的重点。矩阵由那么多元素组成,每一个元素都在扮演不同的角色,其中的核心或主角是它的秩!

  通过几十年考研考试命题,命题老师对题目的形式在不断地完善,这也要求大家深入理解概念,灵活处理理论之间的关系,能变通地解答题目。例如对矩阵秩的理解,对矩阵的秩与向量组的秩之间的关系的理解,对矩阵等价与向量组等价之间区别的理解,对矩阵的秩与方程组的解之间关系的掌握,对含参数的矩阵的处理以及反问题的解决能力等,都需要在对概念理解的基础上,联系地看问题,及时总结结论。

  矩阵的特征值与特征向量

  矩阵的特征值与特征向量在将矩阵对角化过程中起着决定作用,也是将二次型标准化、规范化的便捷方式,故特征值与特征向量也是考查重点。对于特征值与特征向量,须理清其相互关系,也须能根据一些矩阵的特殊性求得其特征值与特征向量(例如根据矩阵各行元素之和为3能够判断3是其一个特征值,元素均为1的列向量是其对应的特征向量),会处理含参数的情况。

  线性方程组求解

  对线性方程组的求解总是通过矩阵来处理,含参数的方程组是考查的重点,对方程组解的结构及有解的条件须熟悉。例如2010年第20题(数学二为22题),已知三元非齐次线性方程组存在2个不同的解,求其中的参数并求方程组的通解。此题的关键是确定参数!而所有信息完全隐含在"AX=b存在2个不同的解"这句话中。由此可以得到齐次方程组有非0解,系数矩阵降秩,行列式为0,可求得矩阵中的参数;非齐次方程组有解故系数矩阵与增广矩阵同秩可确定唯一参数及b中的参数。至于确定参数后再求解非齐次方程组就变得非常简单了。

  二次型标准化与正定判断

  二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连,即与矩阵的特征值与特征向量紧密联系。这里需要掌握一些处理含参数矩阵的方法以便运算中节省时间。正定二次型有很优秀的性质,但毕竟这是一类特殊矩阵,判断一个矩阵是否属于这个特殊类,可以使用正定矩阵的几个充要条件,例如二次型矩阵的特征值是否全大于0,顺序主子式是否均大于0等,但前者更常用一些。

  

  历年考研数学真题解析线性代数命题特点解析

  考研数学是研究生招生入学考试中通过笔试的形式对考生数学功底的考查,从近几年的考研数学历年真题分析结果来看,可以得出一个结论:线性代数的难度在高数和概率统计之间,且大多数的同学认为线性代数试题难度不大,就是计算量稍微偏大点,线代代数的考查是对基本方法的考查,但是往往在做题过程中需要利用一些性质进行辅助解决。

  线性代数的学科特点是知识点之间的综合性比较强,这也是它本身的一个难点。这就需要同学们在复习过程中,注意对于知识点间的关联性进行对比着学习,有助于巩固知识点且不易混淆。

  总体来说,线性代数主要包括六部分的内容,行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。

  一、行列式部分,熟练掌握行列式的计算。

  行列式实质上是一个数或含有字母的式子,如何把这个数算出来,一般情况下很少用行列式的定义进行求解,而往往采用行列式的性质将其化成上或下三角行列式进行计算,或是采用降阶法(按行或按列展开定理),甚至有时两种方法同时用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等等。同学们只要掌握了基本方法即可。

  二、矩阵部分,重视矩阵运算,掌握矩阵秩的应用

  通过考研数学历年真题分类统计与考点分布,矩阵部分的考点集中在逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩及矩阵方程的考查。此外,含随矩阵的矩阵方程,矩阵与行列式的关系、逆矩阵的求法也是考生需要掌握的知识点。涉及秩的应用,包含秩与矩阵可逆的关系,矩阵及其伴随矩阵秩之间的关系,矩阵的秩与向量组的秩之间的关系,矩阵等价与向量组等价的区别与联系,系数矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析。

  三、向量部分,理解相关无关概念,灵活进行判定。

  向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重,也是考研线性代数每年必出的考点。要求考生掌握线性相关、线性表出、线性无关的定义。以及如何判断向量组线性相关及线性无关的方法。 向量组的秩和极大无关组以及向量组等价这些重要的知识点要求同学们一定一定掌握到位。

  这是线性代数前三个内容的命题特点,而行列式的矩阵是整个线性代数的基础,对于行列式的计算及矩阵的运算与一些重要的性质与结论请考生朋友们一定要务必掌握,否则的话,对于后面四部分的学习会越学越难,希望同学们在复习过程中一定注意前面内容的复习,为后面的考研数学复习打好基础。

  前面我们已经分析过,考研数学线性代数这门学科整体的特点是知识点之间的综合性比较强,有些概念较为抽象,这也是大部分考生认为考研数学线性代数不好学,根本找不到复习的头绪,做题时也是一头雾水,不知道怎么分析考虑。

  这里,老师要求大家在学习过程中一定要注意知识间之间的关联性,理解概率的实质。如:矩阵的秩与向量组的秩之间的关联,矩阵等价与向量组等价的区别,矩阵等价、相似、合同三者之间的区别与联系、矩阵相似对角化与实对称矩阵正交变换对角化二者之间的区别与联系等等。若是同学们对于上面的问题根本分不清楚,则说明大家对于基本概念、基本方法还没有完全理解透彻。不过,大家也不要太焦急,希望同学们在后期的复习过程中对于基本概念、基本方法要多加理解和体会,学习一定要有心得。

  下面我们分析一下后面三部分的内容,线性方程组、特征值与特征向量、二次型的命题特点。

  线性方程组,会求两类方程组的解。线性方程组是线性代数这么学科的核心和枢纽,很多问题的解决都离不开解方程组。因而线性方程组解的问题是每年必考的知识点。对于齐次线性方程组,我们需要掌握基础解系的概念,以及如何求一个方程组的基础解系。清楚明了基础解系所含线性无关解向量的个数和系数矩阵的秩之间的关系。会判断非齐次线性方程组的解的情况,掌握其求解的方法。此外,考生还需要掌握非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解结构之间的关系。

  特征值与特征向量,掌握矩阵对角化的方法。这一部分是理论性较强的,理解特征值与特征向量的定义及性质,矩阵相似的定义,矩阵对角化的定义。同学们还需掌握求矩阵特征值与特征向量的基本方法。会判断一个矩阵是否可以对角化,若可以的话,需要把相应的可逆矩阵P求出来。还需要注意矩阵及其关联矩阵(转置、逆、伴随、相似)的特征值与特征向量的关系。反问题也是喜欢考查的一类题型,已知矩阵的特征值与特征向量,反求矩阵A。

  二次型,理解二次型标准化的过程,掌握实对称矩阵的对角化。二次型几乎是每年必考的一道大题,一般考查的是采用正交变换法将二次型标准化。掌握二次型的标准形与规范型之间的区别与联系。会判断二次型是否正定的一般方法。讨论矩阵等价、相似、合同的关系。

  虽然线性代数在考研数学考试试卷中仅有5题,占有34分的分值,但是这34分也不是很轻松就能拿下的。同学们在复习过程中需要对于基础知识点理解透彻,做考研数学题过程中多分析总结。

  2016考研数学概率解题9大常用思路

  在考研数学一和考研数学三中,概率论与数理统计部分大约占22%,虽然所占比重较小,但是大家在复习的时候,一样会感到困难重重,特别是在做习题以及解决实际应用方面遇到的困难会更多一些。为了帮助大家在解题时更轻松一点,小编给大家分享一些考研数学概率解题常用思路集锦。

  1、如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率,则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时,用对立事件的概率公式。

  2、若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验,则马上联想到Bernoulli试验,及其概率计算公式

  3、若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生,则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键:寻找完备事件组。

  4、若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化~N(0,1)来处理有关问题。

  5、求二维随机变量(X,Y)的边缘分布密度的问题,应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域,然后定出X的变化区间,再在该区间内画一条//y轴的直线,先与区域边界相交的为y的下限,后者为上限,而的求法类似。

  6、欲求二维随机变量(X,Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率,应该马上联想到二重积分的计算,其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。

  7、涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题,马上要联想到对X作(0-1)分解。即令

  8、凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题,马上联想到用中心极限定理处理。

  9、若为总体X的一组简单随机样本,则凡是涉及到统计量的分布问题,一般联想到用分布,t分布和F分布的定义进行讨论。

  2016考研数学线性代数知识点整理

  第一章行列式

  1、行列式的定义

  2、行列式的性质

  3、特殊行列式的值

  4、行列式展开定理

  5、抽象行列式的计算

  第二章矩阵

  1、矩阵的定义及线性运算

  2、乘法

  3、矩阵方幂

  4、转置

  5、逆矩阵的概念和性质

  6、伴随矩阵

  7、分块矩阵及其运算

  8、矩阵的初等变换与初等矩阵

  9、矩阵的等价

  10、矩阵的秩

  第三章向量

  1、向量的概念及其运算

  2、向量的线性组合与线性表出

  3、等价向量组

  4、向量组的线性相关与线性无关

  5、极大线性无关组与向量组的秩

  6、内积与施密特正交化

  7、n维向量空间(数学一)

  第四章线性方程组

  1、线性方程组的克莱姆法则

  2、齐次线性方程组有非零解的判定条件

  3、非齐次线性方程组有解的判定条件

  4、线性方程组解的结构

  第五章矩阵的特征值和特征向量

  1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质

  2、相似矩阵的概念及性质

  3、矩阵的相似对角化

  4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

  第六章二次型

  1、二次型及其矩阵表示

  2、合同变换与合同矩阵

  3、二次型的秩

  4、二次型的标准型和规范型

  5、惯性定理

  6、用正交变换和配方法化二次型为标准型

  7、正定二次型及其判定

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