2015年浙江理工大学硕士学位研究生招生考试数学分析考试大纲

发布时间:2017-11-25 编辑:1041 手机版

  2015年硕士学位研究生招生考试业务课考试大纲

  考试科目: 数学分析 代码: 601

  考试基本要求

  考察考生掌握《数学分析》的基本内容和方法的熟练程度。

  考试基本内容

  第一章 实数集与函数

  1实数:实数及性质;绝对值与不等式.

  2数集

 

  确界原理:区间与邻域;有界集与无界集;上确界与下确界,确界原理.

  3函数概念:函数定义;函数的几种常用表示;函数四则运算;复合函数;反函数;初等函数.

  4具有某些特征的函数:有界函数,无界函数;单调函数,单调递增(减)函数,严格单调函数,单调函数与反函数;奇函数与偶函数;周期函数,基本周期.

  第二章 数列极限

  1极限概念:数列,通项;数列极限定义,数列的收敛与发散性;无穷小数列.

  2收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;保不等式性;迫敛性;四则运算;归结原则.

  3数列极限存在的条件:单调有界定理;柯西收敛准则.

  第三章 函数极限

  1函数极限的概念:函数极限的几种形式;左、右极限.

  2函数极限的性质:唯一性;局部有界性;局部保号性;保不等式性;迫敛性;四则运算.

  3函数极限存在的条件:归结原则(Heine定理);柯西准则.

  4两个重要极限:

  5无穷小量与无穷大量:无穷小量与阶的比较、高阶无穷小量、同阶无穷小量、等价无穷小量;无穷大量;曲线的渐近线(斜渐近线、水平渐近线与垂直渐近线).

  第四章 函数连续

  1函数连续性概念:函数的点连续性、左(右)连续性概念与极限之间的关系;间断点及其分类[第一类间断点(可去间断点,跳跃间断点),第二类间断点];区间上的连续函数.

  2连续函数的性质:连续函数的的局部性质(局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性);有界闭区间上连续函数的基本性质(有界性定理、最值定理、介值性定理、根的存在定理、一致连续性定理);反函数的连续性.

  3初等函数的连续性:基本初等函数的连续性;初等函数的连续性.

  第五章 导数与微分

  1导数概念:导数定义、单侧导数;导函数;导数的几何意义.

  2求导法则:导数的四则运算;反函数导数;复合函数的导数(链式法则、对数求导法);基本导数法则与公式.

  3参变量函数的导数.

  4高阶导数:莱布尼茨公式.

  5微分:微分的概念;微分运算法则;高阶微分;微分在近似计算中的应用.

  第六章 微分中值定理及其应用

  1拉格朗日中值定理和函数的单调性:罗尔定理与拉格朗日定理;单调函数.

  2柯西中值定理和不定式极限:柯西中值定理;不定式的极限.

  3泰勒公式:带有佩亚诺余项的泰勒公式;带有拉格朗日余项的泰勒公式;在近似计算上的应用.

  4函数的极值与最值:极值判别;最大值与最小值.

  5函数的凸性与拐点:凸函数与凹函数;严格凸函数与严格凹函数;拐点.

  6函数作图:函数作图的一般程序.

  7方程的近似解:牛顿切线法.

  第七章 实数完备性

  1实数完备性六个等价定理:闭区间套与闭区间套定理;聚点与聚点定理;有限覆盖与有限覆盖定理;确界定理;单调有界定理;柯西收敛准则.

  2闭区间上连续函数整体性质的证明:有界性定理;最大、最小值定理;介值定理;一致连续性定理.

  3上极限与下极限:最小聚点与下极限;最大聚点与上极限.

  第八章 不定积分

  1不定积分概念与基本积分公式:原函数与不定积分;基本积分表;不定积分的线性运算法则.

  2换元积分法与分部积分法:第一换元法与第二换元法;分部积分法.

  3有理函数和可化为有理函数的不定积分:有理函数的积分;部分分式;几类可化为有理函数的积分.

  第九章 定积分

  1定积分的概念:问题的提出;定积分的定义.

  2牛顿—莱布尼兹公式.

  3可积条件:可积的必要条件;达布上(下)和;上积分与下积分;可积的充要条件;可积函数类.

  4定积分的性质:定积分的基本性质;积分(第一)中值定理.

  5微积分学基本定理

 

  定积分计算(续):变限积分与原函数的存在性;积分(第二)中值定理;定积分的换元积分法和分部积分法.

  第十章 定积分的应用:微元法;平面图形面积计算;已知平行截面面积求体积;平面曲线弧长与曲率;旋转曲面的面积;定积分在物理中的某些应用(液体静压力、引力、功与平均功率等).

  第十一章 反常积分

  1反常积分概念:无穷限反常积分与收敛的定义;瑕点;无界函数反常积分(瑕积分)与收敛的定义.

  2无穷限反常积分的性质与收敛判别:无穷限反常积分的性质;绝对收敛与条件收敛;比较法则;柯西判别法;狄利克雷判别法;阿贝尔判别法.

  3瑕积分的性质与收敛判别:瑕积分的性质;绝对收敛与条件收敛;比较法则;柯西判别法;狄利克雷判别法;阿贝尔判别法.

  第十二章 数项级数

  1级数的敛散性:数项级数敛散性概念;级数收敛的柯西收敛准则与收敛级数的若干性质.

  2正项级数:正项级数收敛性的一般判别原则;比式判别法与根式判别法;积分判别法与拉贝判别法.

  3一般项级数:交错级数与莱布尼兹判别法;绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质;阿贝尔判别法与狄利克雷判别法.

  第十三章 函数列与函数项级数

  1一致收敛性:函数列及其一致收敛性概念与判别法;函数项级数及其一致收敛概念与判别法.

  2一致收敛的函数列与函数项级数的性质:连续性;可微(导)性;可积性.

  第十四章 幂级数

  1幂级数:幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域;幂级数的性质;幂级数和函数的连续性、逐项可导(微)、逐项可积问题.

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