2015年硕士学位研究生招生考试业务课考试大纲
考试科目： 数学分析 代码： 601
考试基本要求
考察考生掌握《数学分析》的基本内容和方法的熟练程度。
考试基本内容
第一章 实数集与函数
1实数：实数及性质;绝对值与不等式.
2数集
确界原理：区间与邻域;有界集与无界集;上确界与下确界，确界原理.
3函数概念：函数定义;函数的几种常用表示;函数四则运算;复合函数;反函数;初等函数.
4具有某些特征的函数：有界函数，无界函数;单调函数，单调递增(减)函数，严格单调函数，单调函数与反函数;奇函数与偶函数;周期函数，基本周期.
第二章 数列极限
1极限概念：数列，通项;数列极限定义，数列的收敛与发散性;无穷小数列.
2收敛数列的性质：唯一性;有界性;保号性;保不等式性;迫敛性;四则运算;归结原则.
3数列极限存在的条件：单调有界定理;柯西收敛准则.
第三章 函数极限
1函数极限的概念：函数极限的几种形式;左、右极限.
2函数极限的性质：唯一性;局部有界性;局部保号性;保不等式性;迫敛性;四则运算.
3函数极限存在的条件：归结原则(Heine定理);柯西准则.
4两个重要极限：
5无穷小量与无穷大量：无穷小量与阶的比较、高阶无穷小量、同阶无穷小量、等价无穷小量;无穷大量;曲线的渐近线(斜渐近线、水平渐近线与垂直渐近线).
第四章 函数连续
1函数连续性概念：函数的点连续性、左(右)连续性概念与极限之间的关系;间断点及其分类[第一类间断点(可去间断点，跳跃间断点)，第二类间断点];区间上的连续函数.
2连续函数的性质：连续函数的的局部性质(局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性);有界闭区间上连续函数的基本性质(有界性定理、最值定理、介值性定理、根的存在定理、一致连续性定理);反函数的连续性.
3初等函数的连续性：基本初等函数的连续性;初等函数的连续性.
第五章 导数与微分
1导数概念：导数定义、单侧导数;导函数;导数的几何意义.
2求导法则：导数的四则运算;反函数导数;复合函数的导数(链式法则、对数求导法);基本导数法则与公式.
3参变量函数的导数.
4高阶导数：莱布尼茨公式.
5微分：微分的概念;微分运算法则;高阶微分;微分在近似计算中的应用.
第六章 微分中值定理及其应用
1拉格朗日中值定理和函数的单调性：罗尔定理与拉格朗日定理;单调函数.
2柯西中值定理和不定式极限：柯西中值定理;不定式的极限.
3泰勒公式：带有佩亚诺余项的泰勒公式;带有拉格朗日余项的泰勒公式;在近似计算上的应用.
4函数的极值与最值：极值判别;最大值与最小值.
5函数的凸性与拐点：凸函数与凹函数;严格凸函数与严格凹函数;拐点.
6函数作图：函数作图的一般程序.
7方程的近似解：牛顿切线法.
第七章 实数完备性
1实数完备性六个等价定理：闭区间套与闭区间套定理;聚点与聚点定理;有限覆盖与有限覆盖定理;确界定理;单调有界定理;柯西收敛准则.
2闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理;最大、最小值定理;介值定理;一致连续性定理.
3上极限与下极限：最小聚点与下极限;最大聚点与上极限.
第八章 不定积分
1不定积分概念与基本积分公式：原函数与不定积分;基本积分表;不定积分的线性运算法则.
2换元积分法与分部积分法：第一换元法与第二换元法;分部积分法.
3有理函数和可化为有理函数的不定积分：有理函数的积分;部分分式;几类可化为有理函数的积分.
第九章 定积分
1定积分的概念：问题的提出;定积分的定义.
2牛顿—莱布尼兹公式.
3可积条件：可积的必要条件;达布上(下)和;上积分与下积分;可积的充要条件;可积函数类.
4定积分的性质：定积分的基本性质;积分(第一)中值定理.
5微积分学基本定理
定积分计算(续)：变限积分与原函数的存在性;积分(第二)中值定理;定积分的换元积分法和分部积分法.
第十章 定积分的应用：微元法;平面图形面积计算;已知平行截面面积求体积;平面曲线弧长与曲率;旋转曲面的面积;定积分在物理中的某些应用(液体静压力、引力、功与平均功率等).
第十一章 反常积分
1反常积分概念：无穷限反常积分与收敛的定义;瑕点;无界函数反常积分(瑕积分)与收敛的定义.
2无穷限反常积分的性质与收敛判别：无穷限反常积分的性质;绝对收敛与条件收敛;比较法则;柯西判别法;狄利克雷判别法;阿贝尔判别法.
3瑕积分的性质与收敛判别：瑕积分的性质;绝对收敛与条件收敛;比较法则;柯西判别法;狄利克雷判别法;阿贝尔判别法.
第十二章 数项级数
1级数的敛散性：数项级数敛散性概念;级数收敛的柯西收敛准则与收敛级数的若干性质.
2正项级数：正项级数收敛性的一般判别原则;比式判别法与根式判别法;积分判别法与拉贝判别法.
3一般项级数：交错级数与莱布尼兹判别法;绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质;阿贝尔判别法与狄利克雷判别法.
第十三章 函数列与函数项级数
1一致收敛性：函数列及其一致收敛性概念与判别法;函数项级数及其一致收敛概念与判别法.
2一致收敛的函数列与函数项级数的性质：连续性;可微(导)性;可积性.
第十四章 幂级数
1幂级数：幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域;幂级数的性质;幂级数和函数的连续性、逐项可导(微)、逐项可积问题.