勾股定理是数学几何中的一个定理，通俗的表述为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理是余弦定理的一个特例，约有400种证明方法。
古埃及人在4500年前建造金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，就广泛地使用勾股定理。古巴比伦(公元前1800到1600年)的数学家也提出许多勾股数组。数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯，所以很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理。中国古代称直角三角形的直角边为勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理。
勾股数组 (a,b,c)叫做勾股数组,当整数a,b,c满足a^2+b^2=c^2这个条件时.
容易看出，勾股数组源于勾股定理，是人们为了解出满足勾股定理的不定方程的所有整数解而创造的概念。
容易证明，(定理一)如果(a,b,c)是一勾股数组，则对于整数p,有(pa,pb,pc)是勾股数组，这叫做勾股数组的齐次性。
由定理一可以明确，我们比较关心的是a,b,c互质的勾股数组，这样的勾股数组叫作本原勾股数组，可以证明，本原勾股数组有无穷多个。
由a^2+b^2=c^2及a,b,c互质可知，a,b必是一奇一偶，c必是奇。不妨设a为奇，则方程化为b^2=(c+a)(c-a),由c,a互质可知，a-c和a+c互质，从而方程可以化为(b/2)^2=(c+a)/2*(c-a)/2,令(c+a)/2=m^2,(c-a)/2=n^2 (m,n互质)，即可解出， a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2(m,n互质，从而一奇一偶)，此即本原勾股数组公式
常见勾股数组：
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61
13 84 85
15 112 113
8，15，17
12，35，37
20，21，29
20，99，101
48，55，73
60，91，109
如果将勾股定理中的次方换成三及更高次的就会得到一个令人惊讶的结论，虽然在二次方时有无穷多组正整数解，但在高于二次方时却一组也没有，这即是所谓的费马大定理，为了证明这个定理，人类花了三百五十八年的时间。
下面是100以内的勾股数
i=3 j=4 k=5 i=5 j=12 k=13 i=6 j=8 k=10i=7 j=24 k=25 i=8 j=15 k=17 i=9 j=12 k=15 i=9 j=40 k=41
i=10 j=24 k=26 i=11 j=60 k=61 i=12 j=16 k=20 i=12 j=35 k=37 i=13 j=84 k=85 i=14 j=48 k=50
i=15 j=20 k=25 i=15 j=36 k=39 i=16 j=30 k=34 i=16 j=63 k=65 i=18 j=24 k=30 i=18 j=80 k=82
i=20 j=21 k=29 i=20 j=48 k=52 i=21 j=28 k=35 i=21 j=72 k=75 i=24 j=32 k=40 i=24 j=45 k=51
i=24 j=70 k=74 i=25 j=60 k=65 i=27 j=36 k=45 i=28 j=45 k=53 i=30 j=40 k=50 i=30 j=72 k=78
i=32 j=60 k=68 i=33 j=44 k=55 i=33 j=56 k=65 i=35 j=84 k=91 i=36 j=48 k=60 i=36 j=77 k=85
i=39 j=52 k=65 i=39 j=80 k=89 i=40 j=42 k=58 i=40 j=75 k=85 i=42 j=56 k=70 i=45 j=60 k=75
48 55 73 48 64 80 51 68 85 54 72 90 57 76 95 60 63 87 65 72 97
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