微分方程在材料学科研究中的应用论文
【摘要】微分方程是一项有效的数学工具，在材料科学研究中得到了广泛的应用。本文综述了微分方程在研究材料力学性能、物理性能、热传导和质量传输方面的应用。
【关键词】微分方程材料学科应用
微分方程指含有自变量、自变量的未知函数及其导数的等式，是常微分方程和偏微分方程的总称。20世纪以来，随着大量边缘科学的产生和发展，也出现不少新型的微分方程。20世纪70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解，称为求解定解问题。
随着微分方程的发展和在各学科研究中的应用，微分方程也逐渐应用于材料科学的研究。本文综述了微分方程在研究材料的力学性能、物理性能、热传导和质量传输方面的应用情况。
一微分方程在研究材料力学性能中的应用
1．在研究材料受力变形中的应用
王秀芬利用微分方程模型对温控材料受力弯曲变形进行了研究。结合数学建模思想及材料力学相关知识对温控设备受力时发生弯曲变化情况，通过实例建立微分方程模型，通过对模型的分析研究寻求温控设备能自动调节温度的最佳规律。她利用求解细杆弯曲变形的问题时常建立挠曲轴近似微分方程然后求解，带入已知条件后推导出模型。通过对模型的分析她发现，当细杆发生弯曲时，弹簧与钢臂的夹角不为90°，且弹簧的长度相对于未发生变形时发生变化，因此她结合已知条件后改进了模型。通过计算结果发现，相对误差很小，实际值与计算值吻合程度很高，模型相当准确，可用于精确求解细杆的弯曲情况。
金伟良利用微分方程。研究了锈蚀钢筋混凝土梁受弯承载力计算模型。综合考虑锈蚀钢筋混凝土梁中材料性能的退化和钢筋与混凝土黏结性能的退化，根据梁截面平衡方程和钢筋与混凝土的变形协调方程建立梁中受拉钢筋轴力微分方程，给出了微分方程的滑移边界条件和钢筋轴力连续边界条件，定义梁弯曲破坏的两种极限状态：混凝土压碎和钢筋屈服，通过计算推导出钢筋轴力微分方程通过研究发现，模型计算结果与试验结果吻合很好，说明本模型的计算结果是可靠的，可以将本模型的计算结果运用到实际的工程之中，为混凝土结构耐久性评估提供了理论基础。
2．在研究材料裂纹中的应用
谢秀峰通过求解一类线性偏微分方程的边值问题，引入新的应力函数，采用复变函数方法推出了正交异性复合材料板I型裂纹尖端附近的应力场的计算公式，对正交异性复合材料板的I型裂纹尖端应力场进行了有关的力学分析。他通过在应变协调方程中引入新的应力函数，代入边界条件后求解方程组后得到正交异性复合材料板Ⅰ型裂纹尖端附近的应力场。通过他的方法得到的Ⅰ型裂纹尖端附近的应力场的理论计算公式与杨维阳编著的《复合材料断裂复变方法》一书中给出的应力场的理论计算公式完全相同，因此验证他的结论是正确的。
彭英针对材料参数在厚度方向按任意函数形式连续变化的功能梯度材料薄板，利用新的分层方法，求出各向异性、正交异性功能梯度材料板平面断裂基本方程并结合各向同性功能梯度材料及各向同性、各向异性、正交异性复合材料对方程作了全面讨论。结果表明复合材料和功能梯度材料以及各向同性、各向异性、正交异性之间既有区别又有密切联系，新的分层方法非常有效。
3．在研究材料加工中受力的应用
李茂林研究金属材料表面微凸结构对模具与工件接触区域上的非局部摩擦效应，在楔形模宽条料超塑性拉拔加工问题中，首次采用Oden等提出的非局部摩擦定律代替经典的库仑摩擦定律，利用主应力法或工程法建立了相应问题的微积分形式的力平衡方程。在简化的情况下，采用摄动法求得所论问题的近似解，并分析了影响应力的非局部效应的相关因素。在宏观范围内考虑非局部效应，库仑摩擦模型得到的结果与非局部摩擦模型得到的结果较接近，而从Oden等人的分析可知，非局部摩擦模型反映了金属材料微凸结构对应力分布的非局部效应，比库仑摩擦模型更客观地反映了摩擦形成的'实际情况。
宋清华提出一种薄壁件变参数铣削系统动态特性分析方法。考虑铣削过程中的自激振动和强迫振动，建立了薄壁件变参数（模态质量、模态阻尼和模态刚度）铣削系统周期延迟微分方程，借助有限单元法和最小二乘法，获得加工过程中工件系统固有频率和模态质量随刀具位置的连续变化曲线。研究结果显示，薄壁件加工过程中，材料切除对系统动态特性有重要影响。实际加工时，应采取相应措施避免剧烈振动的发生。
4．在研究材料振动中的应用
毛柳伟基于Kelvin模型粘弹性材料本构关系导出了阻尼层合板的动力学微分方程组，给出了四边简支阻尼层合板的固有频率和损耗因子的解析解。与文献结果比较表明，将Kelvin模型应用于黏弹结构的动力特性问题求解，计算模型简便，且计算结果比常复数模型更为精确。
王明禄假设功能梯度材料梁的材料性能沿厚度方向呈幂律形式连续变化。
在平截面假设下，考虑由材料非均匀性引起的中面应变的前提下，建立了热机载荷作用下功能梯度材料弹性梁自由振动的运动微分方程，求解了两端简支等四种常见边界条件下功能梯度材料梁的固有频率和主振型。可以分析梯度参数k对于FGM梁固有频率和主振型的影响，从而反过来作为设计不同使用要求的FGM梁的理论依据。
二微分方程在研究材料加工温度场模拟中的应用
常士家应用感应加热理论，利用麦克斯韦方程组和导热微分方程，并引入复矢量磁位，建立了电磁场与温度场耦合的有限元数学模型，利用大型通用有限元分析软件ANSYS对注射机料筒的感应加热过程进行了模拟分析。他建立的计算温度场的基本方程，以基本方程为基础讨论了感应加热有限元分析中温度场与电磁场耦合、料筒材料物理参数对温度依赖性等关键技术问题的处理方法。分析了料筒的感应透热过程，得到了料筒内的温度分布状况以及温度随时间的变化规律。模拟分析了频率、线圈电流强度系数等参数对料筒温度控制的影响。通过得到的结果，了解了感应加热温升过程和特点，从而为注射机料筒温度控制提供一定的依据以及为感应加热器的参数选取提供一定的指导作用。 隋大山在Fourier导热微分方程的基础上，充分考虑材料和边界条件等参数的非线性特征，采用等价比热容法处理结晶潜热，建立导热微分方程。利用有限元法求解砂型铸造凝固过程的瞬态温度场。并对砂型铸造工艺进行测温实验，分别得到铸件、型芯和砂型内的测温曲线，测量温度与相应的计算温度基本吻合。针对计算温度与测量温度的偏差情况，从测温误差和计算模型两方面进行了分析，提出了降低热电偶测温误差和提高模拟精度的具体措施。
三微分方程在研究材料浓度扩散中的应用
王崇琳讨论了扩散微分方程在几种条件下的积分解，采用辛普生法计算误差函数erf（z）的定积分值，就2个不同浓度无限源的扩散状况，进行了数值计算。描述了计算扩散分布的FORTRAN程序框图，给出了C、Co、Cr、Mn、Mo、Ni及V等合金元素在Fe中扩散分布的计算结果，在通常烧结温度1120~1150℃下，Mo和Ni等元素的扩散距离仅1～3μm。因此，若加入合金元素粉末，其粉末粒度应控制于此值，以保证扩散的均匀性，但需控制合金颗粒的尺度。
廖福成利用傅里叶级数展开，将稳态晶体生长的浓度控制方程转化为一阶常微分方程组。利用对于一阶常微分方程组性质的讨论，得到了稳态晶体生长控制方程的精确解。理论结果可用于揭示稳态胞晶体周期性增长的本质特性。
四微分方程在研究材料物理性能参数中的应用
江颖以各向同性球形铁磁颗粒和单轴异向性的二维铁磁薄膜为例，探讨了如何通过Landau－Lifshitz－Gilbert非线性微分方程来推导出材料磁导率。实际应用的效果表明利用LLG非线性微分方程推导出来的磁导率表示式具有相当的广泛性。如果在微磁学范畴，很多其他的效应，如边界的杂散场、磁畴影响以及磁相互作用等，会表现得更加显著而且必须加以考虑。在这种情况下，则需要对LLG方程进行更全面的解析研究。同时，利用基于LLG方程的专用科学分析软件来进行微磁学的数值模拟的研究将大大推动LLG方程在微磁学领域的应用。
宛农在Larson－Miller方程基础上，利用全微分和状态函数特征，建立了金属材料在给定温度条件下持久强度与高温瞬时强度之间关系的数学模型，并成功用于T91耐热钢和GH2871高温合金持久强度的预测。
五结语
微分方程广泛用于研究材料的力学性能（如受力变形、加工过程受力、振动和裂纹）、物理性能（如求磁导率、高温强度）、热传导（温度场模拟）和质量传输（浓度扩散）。通过检验表明，计算结果与实际吻合较好，有一定的实际应用价值；微分方程还未全面应用于材料科学研究的各个方面，有待于进一步扩大微分方程在材料科学研究中的应用。
参考文献
［1］王秀芬、马志宏、穆志民.基于微分方程模型对温控材料受力弯曲变形的研究［J］.煤炭技术，2010.29（5）：208～210
［2］金伟良、夏晋、蒋遨等.锈蚀钢筋混凝土梁受弯承载力计算模型［J］.土木工程学报，2009.42（11）：64～70
［3］谢秀峰、李俊林、杨维阳.正交异性复合材料Ⅰ型裂纹尖端应力场研究［J］.科学技术与工程，2008.8（7）：1780～1783
［4］彭英、高廷凯.用新分层方法研究功能梯度材料平面断裂问题［J］.三峡大学学报，2008.30（1）：107～113
［5］李茂林、扶名福、闫小青等.楔形模宽条料超塑性拉拔非局部摩擦分析［J］.锻压技术，2008.33（6）：125～128
［6］宋清华、艾兴、万熠.薄壁件变参数铣削系统动态特性的研究［J］.工具技术，2008.42（7）：35～37
［7］毛柳伟、王安稳、胡明勇.Kelvin模型阻尼层合板的振动分析［J］.海军工程大学学报，2010.22（1）：12～18
［8］王明禄、魏高峰、李翠艳.功能梯度材料梁的自由振动问题研究［J］.山东轻工业学院学报，2009.23（3）：19～21
［9］常士家、谢鹏程、何雪涛.基于ANSYS的注射机料筒感应加热温度场数值模拟［J］.塑料工业，2009.37（8）：32～36
［10］隋大山、崔振山.ZL102凝固过程瞬态温度场的模拟与验证［J］.铸造，2008.57（7）：674～677
［11］王崇琳.扩散方程解和烧结材料中合金元素的分布［J］.粉末冶金材料科学与工程，2006.11（2）：79～84
［12］廖福成、王自东、刘贺平.二维稳态晶体生长浓度控制方程的精确解［J］.北京工商大学学报，2004.22（5）：59～61
［13］江颖.Landau－Lifshitz－Gilbert方程在计算铁磁材料磁导率方面的具体应用［J］.科技天地，2009.1（3）：142～143
［14］宛农、谢锡善、徐志超等.金属材料高温持久强度的预测模型［J］.理化检验（物理分册），2004.40（8）：398～401
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