与导数的函数题的统一解题技巧分析

时间：2022-11-16 07:37:11 教学论文我要投稿

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与导数有关的函数题的统一解题技巧分析

　　与导数有关的函数题是各省市检测和高考年年必考的题目，形式层出不穷，绝大多数还是区分度颇高的压轴题.许多中上水平的考生往往处理完第一问后，对第二、三问或是匆忙求导眼到手不到形成一堆烂账，或是写了一堆解答过程发现走进死胡同再出来，这样做的结果往往是得分较低，浪费时间，长此以往对科学备考的负面影响较大.究其原因，很多考生表现为不知道自己“起步”错误，具体来说就是对哪个函数求导不明确，或为什么要构造新函数F (x)和如何构造函数F (x)不明确.本文结合近两年的高考题，就解答与导数有关的区分度颇高的函数题，如何走好“动一发而系全身”的第一步，谈如何构造函数F (x)，给出程序化的构建模式，以达到“好的开始是成功的一半”的目的.

　　一、与导数有关的函数题概述

　　与导数有关的区分度颇高的函数题主要包括:讨论含参(一元参数或二元参数)方程根的个数与范围，含参(一元参数或二元参数)不等式的证明，求含参函数的最值或单调区间，含参(一元参数或二元参数)不等式恒成立时已知含参函数的最值或单调区间求某参数的范围，已知含参(一元参数或二元参数)方程根的个数和范围求某参数的范围等.题目形式虽然千变万化、层出不穷，但本质上就是一道题.本文为使问题说明得更加方便，不妨以 f(x)≥g(x)的形式来说明.

　　二、程序化构造函数F (x)的统一模式

　　1.直接法:令F (x)= f(x)-g(x).

　　2.化积法:若 f(x)-g(x)=h(x)k(x)，且h(x)≥0，令F (x)= k(x).

　　3.伸缩法:若 f(x)≥ f1(x)，则令F (x)= f1(x)-g(x)，其中，f1(x)通常可由熟悉的不等式或前一问中的结论得出.

　　4.控元法:含参问题若已给出参数k的范围，由单调性控元、消元、消参，构建F (x)(F (x)不含参数).

　　5.分离变量法:若能分离出变量k≥k(x)，则令F (x)=k(x).

　　三、程序化构造函数F (x)的统一模式在高考题中的运用

　　例1 (2013年高考新课标全国Ⅱ卷理科卷第21题)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).

　　(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论 f(x)的单调性.

　　(Ⅱ)当m≤2时，证明f(x)>0.

　　(Ⅰ)解:m=1. f(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增.(解答过程省略)

　　(Ⅱ)证明:当m≤2，x∈(-m，+∞)时，ln(x+2)≥ln(x+m).记F (x)=ex-ln(x+2)，则F ′(x)=ex- .

　　∵F ′′(x)=ex+ >0，∴F ′(x)在(-2，+∞)上单调递增.

　　∵F ′(0)=1- >0，F ′(-1)= -1<0，即 = ，x0=-ln(x0+2)，∴F (x0)= -ln(x0+2)= +x0= >0.

　　当x∈(-2，x0)时，F ′(x)<0，此时函数F (x)单调递减;当x∈(x0，+∞)时，F ′(x)>0，此时函数F (x)单调递增.

　　∴ f(x)≥F (x)≥F min(x)=F (x0)>0.

　　小结本题是一道含参不等式的证明题，考生若不假思索地直接采用构造F (x)=左-右，则在求F ′(x)=0时会走进死胡同.问题出在含参，因此应该控元，将两个变量变为一个变量，使其常态化.

　　例2 (2012年高考山东理科卷第22题)已知函数f(x)= (k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y= f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.

　　(Ⅰ)求k的值.

　　(Ⅱ)求 f(x)的单调区间.

　　(Ⅲ)设g(x)=(x2+x) f ′(x)，其中 f ′(x)为 f (x)的导函数.证明:对任意x>0，g(x)<1+e-2.

　　(Ⅰ)解:k=1.(解答过程省略)

　　(Ⅱ)解:函数 f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.(解答过程省略)

　　(Ⅲ)证明:g(x)=(x2+x)· =(1+x)· .

　　欲证g(x)<1+e-2，即证1-x(ln x+1)< (1+e-2).①

　　令F 1(x)=1-x(ln x+1)，则F (x)=-ln x-2.令F (x)=0，得ln x =-2，∴x = e- 2∈(0，+∞).

　　当x∈(0，e- 2)时，F (x)>0，此时F 1(x)单调递增;当x∈(e- 2，+∞)时，F (x)<0，此时F 1(x)单调递减.∴F 1max(x)=F1 (e- 2)=1+e- 2.

　　令F 2(x)= .∵F (x)= = > 0，∴F 2(x)在(0，+∞)上单调递增.∴F 2(x)>F 2(0)=1.∴不等式①得证.∴ g(x)<1+e- 2(x>0).

　　小结如何构造函数F(x)，关键在于F ′(x)=0是否易求(或易估).若直接求g(x)，则g′(x)=0的求解将陷入泥潭.

　　例3 (2012年高考辽宁理科卷第21题)设f(x)=ln(x+1)+ +ax+b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y= f(x)与直线y= x在(0，0)点相切.

　　(Ⅰ)求a，b的值.

　　(Ⅱ)证明:当0 (Ⅰ)解:a=0，b=-1.(解答过程省略)

　　(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知f(x)=ln(x+1)+ -1.

　　∵ < (0 构造F (x)=ln(x+1)+ - ，则F ′(x)= + - = .

　　当x∈(0，2)时，∵x2+15x-36<0，∴F ′(x)<0.∴F (x)单调递减.∴F (x) ∴ln(x+1)+ < .∴ln(x+1)+ -1< ，即f(x)< .

　　小结本题若直接对f(x)求导，则会在计算f ′(x)=0时碰壁.原因在于对求导时，既有根式又有分式，而ln(x+1)的导数仅有分式，使得在求f ′(x)=0时眼到手不到.

　　(作者单位:厦门工商旅游学校;厦门英才学校)

　　(责任编校/周峰)

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　　《利用二次求导巧解高考函数压轴题》

　　随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，现在已由前几年高考只在解决问题中起辅助作用，上升为分析与解决问题时不可缺少的工具.

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