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二次函数在函数解答题中的考查的问题和策略
平时在做函数解答题时，你是否留意过常考的函数有哪些?你总结过以这些函数为考查主体的函数解答题的求解技巧吗?处处留心皆学问，时时答题要总结.如果这部分内容还是你复习的死角和盲区，那就认真看看老师们给出的锦囊妙计吧!
高考对二次函数的考查主要体现在两个方面:一是对二次函数的图像和性质本身的考查，包括二次函数的单调性、最值、图像的对称性等;二是对二次函数与其他知识交汇问题的考查，包括二次函数与导数、函数零点、不等式等知识的交汇.
一、二次函数在给定区间上的最值问题
例1 已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0，1]上的最大值为2，求a的值.
解 函数f(x)=-x2+2ax+1-a =-(x-a)2+a2-a+1，对称轴方程为x=a.
①当a<0时，f(x)在[0，1]上递减.∴ fmax(x)= f(0)=1-a =2.∴a =-1.
②当0≤a≤1时，f(x)在[0，a)上递增，在[a，1]上递减.∴ fmax(x)= f(a)=a2-a+1=2.∴a = (舍去).
③当a>1时，f(x)在[0，1]上递增.∴ fmax(x)= f(1)=a.∴a =2.
综上可知，a=-1或a=2.
小结 影响二次函数在给定区间上的最值的因素有抛物线的开口方向、对称轴的位置以及给定的区间，同学们在求解时要注意数形结合思想的运用.如果抛物线的开口方向、对称轴的位置或给定的区间不确定，就需要进行分类讨论.
二、二次函数图像的应用
例2 设函数f(x)= ，g(x)=ax2+bx(a，b∈R，a≠0).若y= f(x)的图像与y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，请证明下列结论:
当a<0时，x1+x2>0，y1+ y2<0;当a>0时，x1+x2<0，y1+ y2>0.
证明 (证法1)令 =ax2+bx，则1=ax3+bx2(x≠0).设F(x)=ax3+bx2，则F′(x)=3ax2+2bx.令F′(x)=3ax2+2bx=0，则x=- .要使y= f(x)的图像与y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点，只需F(- )=a(- )3+b(- )2=1，整理得4b3=27a2，于是可取a=±2，b=3来研究.当a=2，b=3时，2x3+3x2=1，解得x1=-1，x2= ，此时y1=-1，y2=2，则x1+x2<0，y1+ y2>0;当a=-2，b=3时，-2x3+3x2=1，解得x1=1，x2=- ，此时y1=1，y2=-2，则x1+x2>0，y1+ y2<0.
(证法2)令f(x)= g(x)，得 =ax+b.设y′= ，y′′=ax+b，不妨设x10时，如图1所示.此时|x1|> |x2|，即-x1>x2>0，此时x1+x2<0，y2= >- =-y1，即y1+ y2>0.同理，由图2经过推理可得当a<0时，x1+x2>0，y1+ y2<0.
小结 对二次函数图像的运用，同学们应主要从两个方面来考虑:一是定性分析，确定图像的上升(下降)趋势;二是定量计算，将图像交点个数等问题转化为数量关系问题来处理.
三、三个“二次”的交汇问题
例3 已知函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f(x)< c的解集为(m，m+6)，求实数c的值.
解 由于f(x)的值域为[0，+∞)，所以f(x)的图像与x轴有且只有一个公共点.于是有Δ=a2-4b=0，即b= .所以f(x)=x2+ax+b=x2+ax+ =(x+ )2.
由f(x)=(x+ )2 由于不等式f(x) 小结 本题利用判别式，结合图像将二次函数的值域转化为系数a，b的关系，再通过配方，得到一元二次不等式的解集.函数图像和判别式是联系二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的纽带，当三者之间的关系需要转化时，要结合图像，利用判别式来处理.
四、二次函数与导数的交汇问题
例4 已知函数f(x)= x3+ (1-a)x2-3ax+1，a>0.
(1)证明:对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有-1≤ f (x)≤1.
(2)设(1)中的p的最大值为g(a)，求g(a)的最大值.
(1)证明:由于 f ′(x)=3x2+3(1-a)x-3a =3(x+1)·(x-a)，且a>0，所以f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，+∞)上单调递增.
又f(0)=1，f(a)=- a3- a2+1= (1-a)(a+2)2-1，所以
当f(a)≥-1时，取p=a，此时，当x∈[0，p]时，有-1≤ f (x)≤1成立.
当f(a)<-1时，由于f(0)+1=2>0，f(a)+1<0，所以存在p∈(0，a)，使得f(p)+1=0.此时，当x∈[0，p]时，有-1≤f(x)≤1成立.
综上可知，对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有-1≤ f(x)≤1.
(2)解:由(1)可知f(x)在[0，+∞)上的最小值为f(a).
当0a的实根，即2p2+3(1-a)p-6a=0满足p>a的实根，所以g(a)= .
又g(a)在(0，1]上单调递增，故gmax(a)=g(1)= .
当a>1时，f(a)<-1.由于f(0)=1，f (1)= (1-a)-1<-1，所以[0，p]?奂[0，1].此时，g(a)≤1.
综上所述，g(a)的最大值为 .
小结 本题的第一问对三次函数求导后，得到的导函数是二次函数，该二次函数的正负决定三次函数的单调性;本题的第二问确定g(a)的解析式主要是通过求二次方程的根进行的，而研究g(a)的性质则主要是通过对二次函数性质的分析进行的.
(作者单位:山东青岛市黄岛区五中)
(责任编校/周峰)
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《有关含参数的二次函数问题的解题策略》
高中数学中的二次函数解答题含有丰富的数学思想和方法，学生在解答时很难掌握，特别是解决含有参数的二次函数问题，学生更感到无所适从.
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