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通信信号自适应滤波处理仿真研究
论文关键词：自适应信号处理 自适应滤波器
论文摘要:近几十年里，数字信号处理技术取得了飞速发展，特别是在自适应信号处理方面，通过内部参数的最优化来自动调节系统特性并以其计算简单，收敛速度快等许多优点而被广泛使用。本文主要介绍了几种常用的自适应算法，如：LMS，RLS，NLMS等。分别就几种算法在算法原理，算法性能分析和仿真等方面来说明各种算法的优越性。通过围绕算法的优缺点进行比较，得出一些重要结论。最后对自适应信号处理的一些应用作了介绍和分析，并对其进行了仿真。
Abstract：In recent decades, digital signal processing technology has made rapid development, especially in adaptive signal processing. The adaptive signal processing algorithm can adjust the internal parameters of filters to optimize system characteristics automatically. For its simple computational complexity, fast convergence speed and many other advantages, adaptive filer has been widely used.
This paper introduces several commonly used algorithms, such as: LMS, RLS, NLMS, etc.. Through the principle of adaptive algorithm analysis and simulation, we illustrate the various aspects of the adaptive algorithm’s superiority. And through the comparing of their advantages and disadvantages, we could draw some important conclusions for different algorithm.
Finally, some applications of the adaptive signal processing are introduced and analyzed via simulation.
Keywords: Adaptive signal processing, Adaptive filter
1引言
自适应信号处理是信号处理领域的一个非常重要的分支。作为自适应信号处理基础的自适应滤波理论是对信号处理研究的一个重要方法，本文亦将它作为研究的手段。自适应信号处理经过近40年来的发展，随着人们在该领域研究的不断深入，其理论和技术已经日趋完善。尤其是近年来，随着超大规模集成电路技术和计算机技术的迅速发展，出现了许多性能优异的高速信号处理专用芯片和高性能的通用计算机，为信号处理，特别是自适应信号处理的发展和应用提供了重要的物质基础。另一方面，信号处理理论和应用的发展，也为自适应信号处理的进一步发展提供了必要的理论基础。自适应信号处理已经在诸如噪声对消，信道均衡，线形预测等方面得到广泛的应用。
本文主要研究的是自适应信号处理中一些基本的算法，如：LMS，RLS，NLMS等。在学习和前人工作的基础上，对各种算法进行了详细的推导，分析了它们的特点及性能，诸如稳态特性，收敛条件及参数的取值。对其中的两个基本算法LMS和RLS算法在收敛性和稳定性进行了分析比较，并用matlab仿真得到验证。最后对自适应处理的一些应用作了简要说明，如：噪声对消，信道均衡，线性预测及陷波器等，并对其进行了仿真。
1.1 研究的目的和意义
常规的信号处理系统，利用自身的传输特性来抑制信号中的干扰成分，对不同频率的信号有不同的增益，通过放大某些频率的信号，而使另一些频率的信号得到抑制。由于其内部参数的固定性，消除干扰的效果受到很大的限制。通常许多情况下，并不能得到信道中有用信号和干扰信号的特性或者它们随时间变化，采用固定参数的滤波器往往无法达到最优滤波效果。在这种情况下，可以用自适应处理系统，来跟踪信号和噪声的变化。
自适应系统可以利用前一时刻已经获得的滤波器参数等结果，自动的调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和干扰未知的或随时间变化的特性，从而实现最优滤波。正是由于它在设计时需要很少或者无需任何关于信号和干扰的先验知识就可以完成的优点，所以发展很快，并得到广泛的应用。
1.2 自适应系统的组成
自适应系统和常规系统类似，可以分为开环自适应和闭环自适应两种类型。开环自适应系统主要是对输入信号或信号进行测量，并用测量得到的信息形成公式或算法，用以调整自适应系统自身；而闭环自适应系统还利用系统调整得到的结果的有关知识去优化系统的某种性能，即是一种带“性能反馈”的自适应系统。
下图a表示一个开环自适应系统，控制该系统的自适应算法仅由输入确定。图b则表示一个闭环自适应系统，控制该系统响应的自适应算法除了取决于输入外，还依赖系统输出的结果。
输入 输出
图(a)
输入 输出
图(b)
1.3基本自适应算法
这里主要介绍LMS，RLS，NLMS三种基本算法。
LMS算法是最被广泛应用的滤波器演算法，最大的特点就是计算量小，易于实现。基于最小均方误差准则，LMS算法使滤波器的输出信号与期望输出信号之间的均方误差最小。运算过程不需要对相关函数及复杂的反矩阵做运算，所以经常拿来用作比较的基准。
LMS算法为了便于其实现，采用误差输出模的瞬时平方值(即瞬时功率) 的梯度来近似代替均方误差 的梯度。实际上我们可以直接考察一个由平稳信号输入的自适应系统在一段时间内输出误差信号的平均功率，即把平均功率达到最小作为测量自适应系统性能的准则，这就是RLS算法。换句话说，LMS算法是将输出误差信号的平均平方值 最小化，而RLS算法是将输出误差信号平方值总和最小化。虽然RLS算法复杂度和阶数平方成正比，但是由于它的收敛速度快，所以仍然受到广泛的应用。
为克服常规的固定步长LMS自适应算法在收敛速率，跟踪速率与权失调噪声之间的要求上存在的较大矛盾，许多学者提出了各种各样的改进型LMS算法。比如归一化LMS，基于瞬变步长LMS以及基于离散小波变换的LMS自适应滤波算法。这里我们讨论归一化的LMS算法，即NLMS算法。
以上这些算法主要特点是不需要离线方式的梯度估值或者重复使用样本数据，而只需在每次迭代时对数据作“瞬时”梯度估计。因此自适应过程中的迭代比较简单，收敛速度比较快。
1.4 Matlab介绍
本文的算法仿真采用了MATLAB语言。MATLAB是Mathworks公司于20世纪80年代推出的数值计算软件，近些年来得到了广泛的应用。MATLAB的全称是Matrix Laboratory，意思是矩阵实验室。它是以矩阵运算为基础的新一代程序语言。与Fortran和C相比，MATLAB语句显得简单明了，更加符合人们平常的思维习惯。同时，MATLABB有着良好的数据可视化功能，能将数字结果以图形的方式表现出来，让人们一目了然。这些特点使得MATLAB从众多数值计算语言中脱颖而出，并正以相当快的速度在科学研究和工程计算中得到应用和普及。
MATLAB有着非常强大的数值计算能力，它以矩阵为基本单位进行计算，数域扩展到复数，这一特点决定了MATLAB有着非凡的解决数值问题的能力。绘图方面，MATLAB的绘图语句简单明了，功能齐全。它能够在不同坐标系里绘制二维、三维图形，并能够用不同颜色和线型来描绘曲线。正是由于MATLAB这些特点，从而使它适合与进行自适应算法仿真。
2 基本自适应算法的分析与Matlab仿真
2.1最小均方误差(LMS)自适应算法
2.1.1 LMS自适应滤波器基本原理
SHAPE \* MERGEFORMAT
图2.1.1 LMS自适应滤波器原理框图
图2.1.1中， 表示时刻 的输入信号， 表示时刻 的输出信号， 表示时刻 的参考信号或期望响应信号， 表示时刻 的误差信号。误差信号为期望响应信号 与输出信号 之差，记为 。自适应滤波器的系统参数受误差信号控制，并根据 的值而自动调整，使之适合下一时刻 的输入 ，以使输出信号 更加接近期望信号 ，并使误差信号 进一步减小。当均方误差 达到最小值时， 最佳地逼近 ，系统已经适应了外界。
2.1.2 E[e2(n)]与权值W的关系
LMS自适应滤波器通过算法，当 最小时，滤波器已经调节出适合现在外部环境的滤波器权值W。
(1)我们可以先推导出 与加权系数W的关系式。
写成矩阵形式： 式(2.1.2.1)
误差： 式(2.1.2.2)
则 式(2.1.2.3)
令 带入式(2.1.2.3)中得
可以从上式看出均方误差 是加权系数 的二次函数，它是一个中间上凹的超抛物形曲面，是具有唯一最小值的函数。即 与 的关系在几何上是一个“碗形”的多维曲面。为了简单，设 是一维的，则 与 的关系成为一个抛物线。调节加权系数 使均方误差最小，相当于沿超抛物形曲面下降到最小值。连续地调节加权系数使均方误差最小，即寻找“碗”的底点。碗底： ，即 点。
2.1.3 LMS算法推导
最小均方差（LMS）算法，即权系数递推修正达到最佳权系数 是依据最小均方算法。最陡下降法（Steepest Descent Method）是LMS算法的基础，即下一时刻权系数矢量 应该等于“现时刻”权系数矢量 加上一项比例为负的均方误差函数的梯度 ，即
式（2.1.3.1）
其中 为
式（2.1.3.2）
为控制收敛速度与稳定性的数量常数，称为收敛因子或自适应常数。式（2.1.3.1）中第二项前的负号表示当梯度值为正时，则权系数应该小，以使 下降。根据式（2.1.3.1）的递推算法，当权系数达到稳定时，一定有 ，即均方误差达到极小，这时权系数一定达到所要求的最佳权系数 。LMS算法有两个关键：梯度 的计算以及收敛因子 的选择。按（2.1.3.2）计算 时，要用到量G，P，因此有很大困难，故通常用一种粗糙，但却有效的方法，就是 用 代替，即
式（2.1.3.3）
式（2.1.2.3）的含义是指单个误差样本的平方 作为均方误差 的估计值，从而使计算量大大减少。从而最终可以推出权系数迭代的LMS算法为：
式（2.1.3.4）
为输入样本向量，只要给定系数迭代的初值 ，根据上式可以逐步递推得到最佳权系数，并计算出滤波器误差输出 。下图为LMS算法的流程图：
SHAPE \* MERGEFORMAT
2.1.4 LMS算法的参数分析
LMS算法所用到计算式如下：
系统输出：
误差估计：
权值更新：
其中 为信号输出， 为输入向量， 为误差值， 为权值向量， 为期望值， 为步长。在LMS算法中步长值 的取舍问题非常重要，直接影响了算法的收敛速度。 值是用来调整加权参数的修正速度，若 值取的过小，收敛速度就会过于缓慢，当取的过大时，又会造成系统收敛的不稳定，导致发散。所以选取最佳的 值是LMS算法中一个重要的问题。具体收敛条件可由下面的式子分析得出：
可以以得出收敛条件 及
其中 是输入相关矩阵 的最大特征值。
2.1.5 LMS算法的仿真分析
图(2.1.5.1)
上面为输入信号与输出信号图示。输入信号采用正态随机信号加上高斯白噪声。可以看出输出信号经过一段时间基本达到跟踪，滤波的效果。
图(2.1.5.2)
图(2.1.5.3)
上面两图分别是误差曲线和误差平方均值曲线，可以看出信号经过自适应滤波器后经过一段训练时间误差基本趋于收敛，即外界信号已经完成自适应过程，滤波器已经将权值调节至最佳，可以输出得到所期望的有用信号。
前面已经讨论过步长 值对系统收敛的影响，下面分别取 =0.001和 =0.005用matlab仿真来观察它们各自收敛情况。系统采用同一输入信号和噪声，信噪比SNR=5。
图(2.1.5.4)( =0.001)
图(2.1.5.5)( =0.005)
观察两个不同步长情况下的误差曲线不难看出，步长越小，误差越小，但收敛速度越慢，为了好的精度，我们在选择时必然牺牲收敛速度。
以上就是围绕对LMS算法的分析，着重讨论了算法的实现及算法中重要参数 的选择问题。在实际中，噪声功率大小的也会对系统的收敛程度产生影响，噪声功率越大，即信噪比SNR越小，误差曲线就会明显增加，这就是更大噪声功率对算法中随机梯度的影响，可以通过下面两个仿真图看出。分别取信噪比SNR=5和SNR=20。 =0.001
图(2.1.5.6)(SNR=5)
图(2.1.5.7)(SNR=20)
2.2 递推最小二乘(RLS)算法
2.2.1 最小二乘法
设已知n个数据 ，…， ，…， ，利用图3.1所示的滤波器结构来估计期望信号 ，…， ，…， 。对 的估计可表示成 式(2.2.1.1)
估计误差 - 式(2.2.1.2)
根据最小二乘法， (n)的最佳值应该使下列累计平方误差性能函数为最小 式(2.2.1.3) ， 其中0< <1， 称为遗忘因子。使用前加窗法，只用 的前 个误差，则 式(2.2.1.4)
前加窗法最小二乘性能函数为 式(2.2.1.5)
其中 。 引入m维矢量： 式(2.2.1.6)，而 维矩阵： 式(2.2.1.7)
式(2.2.1.8)
的最佳值满足方程 式(2.2.1.9)
从而有 式(2.2.1.10)
最终得到最小二乘算法的最后方程 式(2.2.1.11)
2.2.2 递推最小二乘(RLS)算法
由于最小二乘法的运算量较大，一般不适合实时滤波，采用递推算法可以减少运算量。
由式(2.2.1.11)有 式(2.2.2.1)
根据式2.2.1.7得 式(2.2.2.2)
对矩阵求逆得 式(2.2.2.3)
其中 为一纯量。 矩阵 式(2.2.2.4)
N维矢量 ， 为增益系数 式(2.2.2.5)
由式2.2.2.4和式2.2.2.5逆推式2.2.2.3可得
式(2.2.2.6)
利用式2.2.2.6，就可以用递推的方式求m m维矩阵 的逆，使运算量降低。
式2.2.2.6两端乘以 ，利用式2.2.2.5可得
式(2.2.2.7)
另外，根据式2.2.1.6可得 式(2.2.2.8)
将式2.2.2.4，式2.2.2.6,式2.2.2.8代入式2.2.1.11就可以得到
式(2.2.2.9)
利用式2.2.2.5和式2.2.2.9的最后两项可简化为 ，而式2.2.2.9的前两项中的 即为 。所以由式2.2.2.9可得
式(2.2.2.10)
这即为递推最小二乘(RLS)算法的递推公式。
下图为RLS算法的流程图：
2.2.3 RLS算法的参数分析
RLS算法具体实现需要以下计算式： ； ；
； = ；
；其中 个参数意义与LMS相同，新增个参数意义为 ：反相关矩阵； (n)：增益向量； ：遗忘因子。
在RLS算法中遗忘因子是一个接近1但是小于1的正数，一般来说介于0.95到1之间。使用遗忘因子的目的在于把接近目前时间点的信息乘上越大的权值，而离目前时间点越远的信息乘上越小的权值，也就是说，我们重视较近时间点的信息甚与较远时间点的信息。若等于1，则表示对所有的信息都一样，其权值都是相同的。
2.2.4 RLS算法Matlab仿真分析
图2.2.4.1
上图分别为输入信号，输出信号和误差信号的曲线，可以看出输出信号在经过一段时间的自适应调整后，便能基本达到跟踪，滤波的效果。从误差信号曲线也可以看出这点，误差输出经过一段时间就趋于稳定。
图2.2.4.2
上图为误差平方的均值曲线，大约在t=300时，误差趋于收敛，系统完成自适应过程。
以上就是围绕对RLS算法的分析，着重讨论了RLS算法推导，具体实现的相关公式以及运用matlab软件对其进行仿真。
2.2.5 RLS算法与LMS算法的比较分析
RLS算法能够在很短的时间内就趋于收敛，而LMS算法则有一个比较长的渐变过程，所以RLS的跟踪性能要优于LMS，这可以从图2.1.5.1和图2.2.4.1看出。换句话说，RLS比LMS的收敛速度要快。可以通过下图看出：
上图蓝色是LMS收敛曲线，红色为RLS收敛曲线。可以看出明显RLS收敛性要优于LMS算法。
而且LMS在收敛后波形还有较大波动，而RLS就要小的多，基本没有波动，这说明RLS的稳态误差也是小于LMS的，从图2.1.5.3和图2.2.4.2可以看出。但是由于LMS计算量简单，适合于硬件实现，这是RLS无法相比的。所以二者各有优劣。(以上LMS和RLS算法仿真均采用相同的外界信号及采样时间点)
2.3 归一化LMS算法(NLMS)
2.3.1 NLMS算法实现
NLMS算法是将LMS算法中的 值重新定义，让 值会随输入信号之正规化作改变，能提升收敛的稳定性。下面为NLMS算法实现所需的计算式：
； ； ； ；
各参数的定义和LMS算法定义相同，新增参数的定义为 ：很小的正常数，一般取 =1e-10。
LMS算法的稳定度和收敛速率受到 值和参考信号的影响，由于 值为一固定值，因此LMS的整体收敛速率就受它的影响，收敛速率对变化较快的信号反应并不理想。而NLMS算法能改善输入信号对收敛因子的影响， 值随着时间n变化成为 (n)，使之随时变化，从而调节至最佳值。另外为了避免当输入信号过小时造成收敛因子的发散，还加入 值。
下图为NLMS算法的流程图：
SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT
2.3.2 NLMS算法的Matlab仿真分析
图(2.3.2.1)
图(2.3.2.2)
由图2.3.2.1和图2.3.2.2可以看出NLMS算法的自适应滤波过程及误差收敛情况，而且相比LMS算法在相同条件下，NLMS算法要比LMS算法收敛更快一些。这是因为NLMS算法的计算量与LMS相当，但是由于NLMS算法的收敛条件与输入信号的特征值无关，故NLMS算法比LMS算法的收敛速率快。
下图可以看出二者收敛的差别：
图4.2.3 LMS的误差收敛
图4.2.4 NLMS的误差收敛
LMS算法中大约在t=600时开始收敛，而NLMS则是在大约t=400时开始收敛。明显NLMS的收敛速度要快与LMS。
3自适应信号处理的应用及Matlab仿真
3.1 中的自适应噪声抵消
在通信和其他许多信号处理应用问题中，接受信号中往往伴随着干扰和噪声，从而显著影响接受信号的可靠性，或者导致误码率上升。一般来说，干扰和噪声的存在总是难免的。信号处理技术的核心问题之一就是从受到干扰污染的信号中估计，检测或者恢复出原始信号。而自适应噪声抵消的基本原理就是将被噪声污染的信号与参考信号进行抵消运算，从而消除带噪信号中的噪声。其关键问题是自适应噪声抵消系统的参考信号一定要与待消除的噪声具有一定的相关性，而与要检测或者提取的信号不相关。自适应噪声抵消系统经过自适应系统的控制和调整，系统能够有效地从噪声中恢复出原始信号。
作为自适应信号处理领域的重要分支之一，它已经受到了人们的普遍关注并得到了广泛的应用。
3.1.1 自适应噪声抵消系统的基本原理
下图为典型自适应噪声抵消系统的原理框图：
图3.1.1 自适应噪声抵消系统
在图3.1.1中，原始输入信号d(n)为有用信号s(n)与噪声v(n)之和,参考输入信号x(n)是与v(n)相关的噪声u(n)。假定s(n)，v(n)，u(n)均为零均值平稳随机过程，且满足s(n)与v(n)及u(n)互不相关。由图3.1.1可见，自适应滤波器的输出 为噪声u(n)的滤波信号。则整个自适应噪声抵消系统的输出y(n)为
式(3.1.1.1)
而 式(3.1.1.2)
对式(3.1.1.2)两边取期望，由于s(n)与v(n)及u(n)互不相关，且s(n)与 也不相关，故有
式(3.1.1.3)
信号功率 与自适应滤波器的调节无关，因此，调节自适应滤波器使 最小，等价于使 最小。这样由式(3.1.1.1)，有 式(3.1.1.4)
由此可见，当 最小时， 也达到最小，即自适应噪声抵消系统的输出信号y(n)与有用信号s(n)的均方误差最小。
在理想情况下，当 时，有 。这时，自适应滤波器自动地调节其权值，将u(n)加工成v(n)，与原始输入信号d(n)中的v(n)相减，使输出信号y(n)的噪声完全被抵消，而只保留有用信号s(n)。但是自适应滤波器能够完成上述任务的必要条件为：参考输入信号 必须与被抵消的噪声v(n)相关。
3.1.2 自适应噪声抵消系统Matlab仿真
以下仿真采用图3.1.1的结构，分别运用LMS，NLMS和RLS循环算法进行噪声消除。
图3.1.2
仿真得出三种自适应滤波算法提取正弦信号的曲线图。可以看出系统能基本还原出原始信号，达到噪声抵消的效果。但是用RLS算法提取的正弦信号质量要好，其中LMS算法提取的信号效果最差，存在没有滤除的随机噪声部分较多，而NLMS算法要比LMS的效果要好，但比起RLS算法在估计精度上有些波动，存在一定的残余误差，即有一定失调。
3.2 自适应陷波滤波器
在通信系统和其他系统中，经常会受到诸如50Hz工作频率等单频干扰或者窄带干扰的影响。这种干扰的存在，严重影响了信号的接收或者检测的可靠性和正确性，因此必须加以消除。陷波滤波器是消除这种干扰的有力工具，当自适应噪声抵消系统的参考输入为单一频率正弦信号时，则系统可以构成自适应陷波滤波器。
3.2.1 自适应陷波滤波器的原理
自适应陷波滤波器具有陷波中心频率，且该频率与其参考输入的正弦信号的频率相同。另一方面，自适应陷波滤波器还能够随着干扰频率的变化，自动地修正系统自身参数来跟踪这种变化。典型的单一频率自适应陷波滤波器的原理图如图(3.2.1)所示，图(3.2.1)表示一个具有两个自适应实权的自适应噪声对消器。它等效于有一个复权的噪声对消系统，即用两个实权达到同时调整单一频率正弦波的幅度和相位，以消除干扰的目的。假定原始输入信号的类型是任意的，而参考输入是频率为f的纯正弦波，即
式(3.2.1.1)
图中第一个权的输入直接由参考输入采样得到，而第二权的输入是将第一个权输入移相 产生。即它们可分别表示为
式(3.2.1.2)
SHAPE \* MERGEFORMAT
图(3.2.1)
其中 ，权的迭代用LMS算法，如下式所示，权的修正过程如下：
式(3.2.1.3)
3.2.2 自适应陷波滤波器Matlab仿真分析
图6.3.2
上图可以看出经过正弦信号干扰的原始信号，在通过自适应陷波滤波器后，基本达到噪声消除的效果。上图中第一个图为原始信号，第二个为经过正弦信号干扰后的信号，第三个为消噪后的信号，第四个为误差信号曲线。
3.3 自适应预测
3.3.1 自适应预测的基本思想
要得到预测系数，必须获得输入信号采样值的相关函数矩阵，而实际上它不是一个定值，是时变的，所以就要求必须自适应调整预测系数，以保持最佳的预测增益。求相关函数的简单方法是，先采样并存储一个定长时间间隔的信号值，计算这些采样值的自相关函数，然后确定最佳的预测系数。预测器每隔规定的时间间隔更新依次存储的采样数据，并且每次将计算的预测参数发送到接收端。通过上述方法动态调整预测参数，在存储采样值时间间隔较长或每次存贮采样值个数较大的情况下，可以获得很大的预测增益。这就是自适应预测器的基本思想。
忽略量化噪声的影响，预测误差函数
式(3.3.1.1)
需要说明，考虑到实际系统的可实现性，可以用误差函数的量化值 。调整预测系数使误差函数向负梯度的方向变化，即
式(3.3.1.2)
式中，sgn[]是符号函数， 是预测系数自适应速率，需要根据实验确定其最佳值。也可以考虑用平方差值函数确定预测系数，即
式(3.3.1.3)
自适应预测器的实现比较复杂，但是，当信号采样值相关距离大或信号特性的平稳性不佳，无法获得确切和恒定的相关系数的情况下，自适应预测是较理想的预测方法。
在许多情况下，一个宽带信号既受到周期性干扰的污染，又没有无信号的外部参考输入可以利用。此时，可以直接从原始输入引出，接入一具有固定延迟的延迟线，则可得到类似的参考输入支路。这种结构实际上是一个自适应预测器。
下图仿真采用的是线性预测滤波方法抑制窄带干扰的算法。
3.3.2 自适应预测的Matlab仿真
图3.3.2
由上图可以看出预测信号在经过一段自适应过程后能够很好的跟踪接收信号，达到预测效果。
3.4 自适应均衡
3.4.1 自适应均衡的基本原理
自适应均衡器的工作过程包含两个阶段，一是训练过程，二是跟踪过程。在训练过程中，发送端向接收机发射一组已知的固定长度训练序列，接收机根据训练序列设定滤波器参数，使检测误码率最小。典型的训练序列是伪随机二进制信号或一个固定的波形信号序列，紧跟在训练序列后面的是用户消息码元序列。接收机的自适应均衡器采用递归算法估计信道特性，调整滤波器参数，补偿信道特性失真，训练序列的选择应满足接收机均衡器在最恶劣的信道条件下也能实现滤波器参数调整，所以，训练序列结束后，均衡器参数基本接近最佳值，以保证用户数据的接收，均衡器的训练过程成功了，称为均衡器的收敛。在接收用户消息数据时，均衡器还需要不断跟踪信道特性的变化并随信道特性的变化连续地改变均衡器参数。
3.4.2 自适应均衡器的实现
下面讨论自适应均衡器的具体实现。我们知道信道均衡器均衡器的作用是在信道通带内形成一个信道传输函数的逆，而在通带之外它的增益则很小或者为零。因而，由信道和均衡器级联组成的系统在通带内有基本均匀的振幅特性，而带外基本为零，相位响应在带内是频率的线性函数。如果条件满足，联合冲激响应就是辛格函数，符号间干扰可以消除。自适应调整也解决了信道本身未知，时变的特性所带来的困难。下图3.4.2为自适应均衡器的基本结构。
SHAPE \* MERGEFORMAT
图3.4.2
逆模拟用一个自适应横向滤波器(LMS滤波器)，由于输入x(k)的信号带宽受信道带宽的限制，因而，自适应滤波器仅需在信道的通带内去均衡信道的振幅和相位特性。如果能知道信道的输入，并考虑到整个系统的延迟，就可得到期望响应d(k)，但是一般是难于获得的。周期性地中断信息传输，发射一些已知的码序列，便可以进行自适应调整。
贝尔电话实验室的拉克提供了一种得到期望响应d(k)的方法，这种方法用自适应滤波器自身输出提供d(k)，因此避免了对发射信号任何先验信息的依赖，拉克称该方法为“判决指向学习”。更确切地说，期望信号d(k)=sgn y(k)，如图3.4.2所示，它是由一个量化滤波器产生的。由于数据是二进制的，若不考虑噪声影响，则经适当均衡了的信道在选通时间内的取样输出为+1或-1，然后将滤波器输出和经量化后的输出比较，产生误差信号e(k)。由于均衡器输出应该在适当的选通时间内唯一地表示各自的辛格脉冲，因而自适应只许在选通时间内进行，这可用与发射信号同步的闸门脉冲对误差信号e(k)选通来实现。从平均意义上来说，如果量化后的期望响应是正确的，则自适应将沿着正确的方向进行。
3.4.3 自适应均衡器的Matlab仿真
下面将采用上述的实现方法进行matlab仿真，可以看出自适应均衡器对消除信道的干扰的作用。
图3.4.3.1
下图是对自适应均衡器在不同信噪比下误码率的仿真，能进一步说明自适应均衡器的作用。采用50万点仿真误码率：
图3.4.3.2
上图中虚线部分是没有经过均衡器的误码率曲线，实线部分是经过自适应均衡后误码率曲线，可以看出信号在经过自适应均衡后，误码率在逐渐下降，减少了接收信号的误码数，说明自适应均衡器能补偿信道特性的损失，从而提高了信道的稳定性。仿真也有不足之处，即曲线不够平滑。主要是由于仿真采用的是蒙特卡洛仿真，一般要求仿真点数达到几百万点。这里由于运行速度慢，只采用了50万点。
本章介绍了自适应信号处理的相关应用，随着信号处科领域理论与技术的不断进步，自适应信号处理已成为信号与信息处理学科一个新的重要学科分支，相信它在诸如、雷达、声纳、控制、地震勘探及生物工程等领域会获得越来越广泛的应用。
结束语
根据自适应处理系统的滤波器部分和调整滤波器系统的自适应算法部分，本文分别对其进行了阐述，并举例说明了自适应处理系统的一些应用。
本文完成的工作主要分为：
(1)在学习和前人工作的基础上，对LMS，RLS，NLMS,以及格型算法进行了详细的说明和推导，分析了LMS与RLS算法，LMS与NLMS算法在各自特点和性能上的差异。提出了自适应LMS算法在噪声抵消，自适应预测和自适应均衡上应用，分析了这些应用的具体实现及相关收敛，稳态特性和参数说明。
(2)通过对各种自适应算法进行总结，对比和验证，利用matlab对算法进行仿真，比较相关收敛特性，稳态特性和相关参数取值，得出各自算法的优劣性。
(3)利用matlab对LMS算法在自适应处理系统上的应用分别作了仿真，验证系统的可行性。
参考文献
[1]沈福民.自适应信号处理.西安：西安科技大学出版社，2001.3。
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