基于Nevanlinna―Pick插值的跟踪系统H∞鲁棒控制器设计
摘 要：传统的H∞鲁棒控制器通常都是基于线性矩阵不等式求解的，因此阶次较高，不利于实现，而基于Nevanlinna-Pick插值的H∞鲁棒控制器设计方法能够有效的解决这一问题。本文提出了一种改进的同伦算法用于求解控制器设计过程中出现的非线性方程，避免了经典同伦法中逆矩阵的求解。针对某一跟踪系统设计了基于Nevanlinna-Pick插值的H∞鲁棒控制器，通过阶跃响应和正弦信号的跟踪响应可以看出，与高阶滞后超前校正环节相比，前者构成闭环系统的跟踪精度要比后者的控制精度高，且具有较强的鲁棒稳定性。
关键词：Nevanlinna-Pick插值;跟踪系统;鲁棒控制
1 引言
H∞鲁棒控制理论作为鲁棒控制的一个重要研究内容得到了广泛的研究和应用，不但在线性时不变系统取得了丰富的研究成果[1-5]，而且在时滞系统、时变时滞系统等领域也得到了深入的研究[6-8]。针对网络控制系统中存在时变采样周期、长时延以及丢包、量化误差等现象，相应的网络控制系统H∞控制问题同样得到了广大学者的关注[9-14]。
目前，常用的H∞控制器设计方法有模型匹配法、加权函数法、Lyapunov函数法等，并通过线性矩阵不等式(LMI，Linear Matrix Inequalities)求解相应的控制器。但是，基于LMI求解的控制器阶次较高，这种高阶控制器不但不利于实现，而且可能会引起时滞，进而导致控制系统的品质变差，甚至影响系统的稳定性。灵敏度最小化问题作为设计反馈控制器的核心问题之一，文献[15]首次给出了求解灵敏度函数最小化问题的完整解决方案，但是只分析了灵敏度最小化与Nevanlinna-Pick插值之间的关系;文献[16]将具有阶次约束的Nevanlinna-Pick插值应用于解决灵敏度函数问题;文献[17]详细研究了控制系统的性能指标转与灵敏度函数之间的关系，并提出了一种改进的同伦算法用于求解Nevanlinna-Pick插值算法产生的非线性方程。本文以跟踪系统中的稳定回路为控制对象，设计了具有阶次约束的H∞鲁棒控制器，特别是当外部干扰和系统不确定性同时存在时，通过仿真实验研究了系统的跟踪性能及其干扰抑制能力。
2 Nevanlinna-Pick插值与鲁棒控制器设计
称之为跟踪系统的灵敏度函数。显然，S同时也是从干扰d到输出y的传递函数。由于反馈控制系统中几乎所有的性能指标都可以用灵敏度函数来表示，因此本文研究的具有阶次约束的H∞鲁棒控制器就是基于闭环系统的灵敏度函数S来设计的。
图1 反馈系统结构
由文献[17]可知，具有阶次约束的H∞鲁棒控制器设计问题与下面最优化问题是等价
针对非线性方程，可采用连续法求解该非线性方程。但是，传统的连续法需要求解矩阵的逆，计算量较大。基于传统的连续法思想，提出了一种改进的同伦法，不仅避免了求解矩阵的逆，而且新算法受迭代初值的影响较小，收敛速度快。
3改进的同伦算法
3.1 同伦法的.基本思想
图2 改进的同伦算法流程图
4仿真实例
现在对于陀螺稳定跟踪系统的实际控制方法，大多是基于传统的时域PID控制，或是频域中的超前滞后校正算法。张智永在其博士论文中指出[18]：在实际实验中，由于低频处机械谐振和一些不确定因素的影响，滞后超前校正在抵抗载体扰动方面的效果不是很理想。究其原因，一是没有有效抑制低频机械谐振，二是开环增益不够高，不能有效消除摩擦等干扰力矩对系统精度的影响。为了改善控制效果，张智永提出采用高阶滞后超前控制器的方案。假设本文采用与文献[18]相同的跟踪系统稳定回路，具有相同的被控对象模型、性能指标以及不确定性：
，
，
分别对阶跃响应、干扰存在时的跟踪效果以及干扰与模型不确定性同时存在时的跟踪效果进行了仿真，并与高阶滞后超前校正环节的控制效果进行了对比。图3至图5中的NPDCoutput和LEADLAGoutput分别表示本文设计的鲁棒控制器和高阶滞后超前校正环节作用下系统输出曲线。
4.1阶跃响应
由图3中可以看出，相对于LEADLAGoutput1而言，NPDCoutput1的超调小、响应速度快。当被控对象存在由式描述的不确定性时，LEADLAGoutput2超调增加，出现了明显的振荡，而NPDCoutput2几乎不受不确定性的影响。
图3 阶跃响应曲线
4.2跟踪响应：模型不确定性与干扰同时存在
当被控对象存在如式所描述的不确定性时，分析模型不确定性与外部干扰对闭环系统输出的影响。设定值分别选为(低频)、(高频)，外部干扰选为幅值为1，持续时间分别为0.2s和0.02s的脉冲信号，其作用时刻分别为和，闭环系统输出如图4和图5所示。
图4 设定值频率为3Hz时的跟踪曲线
图5 设定值频率为30Hz时的跟踪曲线
当设定值的频率为f=3Hz(低频)时，两种类型控制器作用下的闭环系统输出相差不大，只是对干扰信号的过渡过程有所不同。由图4可以看出，NPDCoutput1的过渡时间较LEADLAGoutput1短，说明该闭环系统对于快变的干扰具有较强的抑制效果，具有较强的鲁棒稳定性。此时，被控对象的不确定性对跟踪效果和干扰抑制能力的影响不大。
当参考信号频率较高f=30Hz(高频)时，由图5可以看出两种类型的控制器的控制效果差别较大。对于在0.015s时刻出现的持续时间为0.02s的脉冲干扰，NPDCoutput2与NPDCoutput1相差不大，但是NPDCoutput2的过渡时间明显小于LEADLAGoutput2的过渡时间，且振荡幅度较小。以高阶滞后超前校正环节构成的跟踪系统的控制效果明显变差，跟踪信号出现了较大的延迟，其干扰抑制能力较鲁棒控制器的干扰抑制能力明显变弱，且跟踪信号的幅值有明显的衰减。当被控对象存在不确定性时，与LEADLAGoutput1相比，LEADLAGoutput2超调量大幅增加，整体跟踪效果明显变差。
通过图4与图5的可以看出，基于灵敏度函数设计的鲁棒控制器与高阶滞后超前校正环节相比，前者构成闭环系统的跟踪精度要比后者的控制精度高，且具有较强的鲁棒稳定性。
5结论
本文研究了一种具有阶次约束的H∞鲁棒控制器设计算法，特别是提出了一种改进的同伦算法并将其用于求解非线性方程，不但可以减小运算量、而且降低了迭代初值对运算结果的影响。最后，将具有阶次约束的鲁棒控制器应用于跟踪系统的稳定回路控制，取得了较好的控制效果。由仿真实验和分析结果可以看出，与传统的超前滞后校正环节相比，基于本文方法设计的H∞鲁棒控制器，不仅具有较低的阶次，而且能有效的抑制干扰对跟踪系统的影响，即使被控对象存在不确定性时也能够很好地实现目标跟踪，满足跟踪系统的性能要求。
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