函数概念教学的现状分析

时间：2024-10-15 17:49:08 理工毕业论文我要投稿

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函数概念教学的现状分析

2.1教学案例及简要分析
课例1.函数的概念学习（初中）
授课地点:湖南省涟源巿某中学初三(2)班。
教学目标:1.了解常量变量、自变量和函数的意义,并能分清实例中出现的常量与变量、自变量与函数；
2.会发现和提出函数的实例,能写出一些简单函数的解析式。
教学过程:
（一）常量与变量概念
1.引入
例1.一辆汽车以30千米/小时的速度行驶,行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)的关系怎样呢?(列出关系式s=30t)其中哪些量的数值可以保持不变,哪些量可以取不同的值?
2.练习
长方形的面积 ,若 ,则、是____量, 是____量；
若 ,则、是____量, 是¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬____量。
（二）函数
1．创设情境引入概念
例1．；
例2．反映一天气温随时间变化的气温图。（在教科书的P72）。
a.抽象概括形成概念
通过对二个实例的分析得出在变化过程中两个变量的对应关系，引入函数的定义。
b.深入分析理解概念
分析定义中的关键词：变化过程，两个变量，唯一和对应。
c.讨论练习巩固概念
例3：圆的面积S（）与它的半径R（）之间的关系，判断S和R是不是函数关系？如果是函数，那么指出式中的自变量与函数。
例4：用总长60米的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S( )与一边长之间的关系式，并指出式中的常量与变量、自变量与函数。练习：（略）
简要分析: 函数概念比较抽象，学生不容易理解，这是教学的难点。教师在设计时注意到遵循学生认识事物的规律，从感性到理性，从具体到抽象。首先创设情境，从实例引入概念。然后通过二个实例的比较，抽象概括得出函数的概念。再进一步深入分析函数的定义，让学生理解函数的概念，最后通过反复练习，巩固函数的概念。从学生学习心理角度分析，学生主要经历了一个概念的形成的过程，即从具体事例或具体概念中抽象出了上位概念的一些关键特征，如变量是可以任意赋值的，以及可以不断变化数值的量，而常量则是无法变化数值的量，整个的心理过程是分化、抽象、概括。不足之处在于教师的观念没有革新，先入为主。教师有意识创设了问题情境引入概念，但创设的情境不能从内心引起同学的兴趣。通过二个实例的分析函数内涵的整个过程，教师都在替学生思考，学生自己没有经历一个“做”的过程，全堂课学生主动建构过程太少，没有变式训练，全都是同一个类型的例题练习。此外在初中学习阶段除了学习连续函数以外，也接触到了一些离散函数。然而课例都是连续函数，没有为后续高中学习离散的函数做充分准备，没有一个以函数为轴线的整体教学设计。
课例2：函数的定义（高中）
授课时间:2004年11月1日
授课地点:湖南省娄底市某中学高一某班
教学过程:（一）启发引入阶段
师(老师):我们在初中已经学习了函数概念,请同学们回忆。
生(学生):回忆不起来,保持沉默。
师:我们脑海里应有印象,只是叙述不清。我们并且知道函数概念比较抽象,有两个变量。尽管函数抽象难懂,但却是一个非常重要的概念,贯穿了高中数学学习以及大学数学学习。我们不得不重视函数概念的学习。
师、生:共同回顾了初中的函数定义。
师：我们在初中已经学习了函数定义，并且学习了正比例函数，反比例函数、一次函数、二次函数等具体的函数，那么为什么今天我们还要继续讨论函数呢？请同学们看下面两个问题：问题1：是函数吗？
问题2：与是同一个函数吗？
生：一副困惑的表情。
师：显然，仅用我们初中学习过的知识是很难解决这两个问题的，因此我们需要从新的高度来认识函数概念。
（二）传授新课阶段
师：下面我们看非空数集、的元素之间的一些对应关系，（、为有限集）

师：观察集合A、B有什么对应关系？
师、生（共同讨论得出）：
1．对于集合A中的任意一个数，集合B中都有唯一的实数与之对应；
2．集合A到集合B的对应法则：           分别为“ 乘2”、“求平方”、“求倒数”；
3．对应的形式“一对一”、“多对一”。
师：从上可以看到，函数实际上就是从自变量的集合到函数值的集合的一种对应关系。
师生：与初中函数定义比较归纳得出函数定义2。
（板书）设A,B是非空的数集，若按某个确定的对应关系，使得对集合A中的任意一个数x，在集合 B中都有唯一确定数和它对应，那么称：A   B为从集合A 到集合B的一个函数   ，其中A的取值范围称函数的定义域；　称函数的值域。
师：进一步分析这个概念，定义中蕴含三个重要的因素：
1．对应法则，又可理解为操作方法，使A B产生关系；
2．定义域，能够取值的一切值，（强调具体问题中要以实际背景为准）；
3．值域，与的值相对应的值的范围。
师生共同讨论了：一次函数：的定义域为R，值域为R，对应法则：的倍的值与的和；
反比例函数：的定义域为，值域为，对应法则：的倒数的倍；
二次函数：的定义域为R，值域得分情况讨论：
当时，值域为；当时，值域为。
对应法则：的平方的倍与的倍与的和。
师：注对应法则不一定都能写出，可通过其它方式表述如图像、表格等。
师：用集合与对应的语言叙述函数概念后，就容易回答开始留下的问题了，下面请同学回答。
生1：是函数，因为对于实数集R中的任何一个数，按对应法则“函数值总是1”，在R中都有唯一确定的值与它对应，所以是的函数。
生2：与不是同一个函数，因为尽管它们对应法则一样，但的定义域是R，而的定义域为
师：回答得很好！
师：为了更好巩固定义，通过下面例题进行进一步的研究。
例1:求下列函数的定义域。
   (1) ；       (2) ； (3) 。
解：（1）要使函数有意义，，即，函数的定义域。
（2）要使有意义， 0，即，故定义域为。
（3）要使函数有意义，要同时满足，得定义域为。
简要分析：教师在设计时，紧扣教材，并注意前后知识的联系，课前设置疑问，留下了两个悬而未解的问题，激发学生学习的兴趣。提到了函数概念的重要性，以引起同学的重视。通过三个实例的对应关系，引出了用集合与对应语言描述的函数定义，并细致分析了函数定义中蕴含三个重要因素（对应法则、定义域、值域）。整个课例是比较典型的讲授式课例。不足之处教师对于学生不记得初中函数定义完全可以通过几个熟悉的具体例子帮助学生回忆，再一起总结得出，这样可让学生经历一个对函数有一个重新认识的过程。此外教师在对于为什么要继续学习函数可从多角度来分析，如函数的重要性，人文历史，来激起学生内在情感的学习需求。练习巩固应尽可能取些结合学生实际生活中的函数例子，让学生感受到数学无处不在，无处不用来提高学生的学习激情！
课例3：函数概念学习（高中）
讲授时间：2004年11月4日
授课地点：湖南娄底市某中学高一某班
教学过程：
复习：求下列函数的定义域：
1、； 2、；   3、；
4、 ;              5、。
解：1）要使函数有意义，必须满足，即函数的定义域为。
2）要使函数有意义，必须满足，即函数的定义域为。
3）要使函数有意义，必须同时满足，解得其定义域为。
4）要使函数有意义，必须同时满足，解得其定义域为。
5）要使函数有意义，必须同时满足，解得其定义域为
例1、已知的定义域为R，求的范围。
分析：这里要分情况讨论，
当时，原函数变为，，此时符合题意。
当时，原函数要有意义，必须满足，此时又得分情况讨论，当时，要使得，必须有，此时无解。当时，要使得，必须有，此时符合题意。综上可得原函数的定义域为[0，12]。
例2、已知函数，求的值。
解：；
     ；     ；
。
例3、已知函数，求的值。
解：；              ；
        ；    。
例4、已知求。
解：；
    。
例5已知，求的值。
解：设函数，就可观察得：     ；
同样可得：   。（1）
拓展：能否求出和的值呢？
同学想想，我们可以知道：
，（2）
故可用（1）+（2）得，
所以 = ；同理，可得 = 。
例6、已知是常数，又求的值。
分析：根据已知可列出以下方程：，四个知数三个方程？显然求不出来。另想其它办法：
构造一个辅助函数，
依题意得，；           （1）
           （2）；（1）+（2）得。
布置作业，P51，4，5，P52，6。
简要分析：本节课是函数定义学习的后续课，老师设计这堂课时花了不少心血，汇集了许多经典高考题。先复习了定义域的求法，讲授了求函数值的方法，最后讲授了函数的应用。应用函数巧妙地解了两道高考题。给我的感觉讲授的内容比较多。课后询问学生，老师讲了这么多题，能接受吗？学生回答：“当然不能，不过先做笔记，课后再看。”教学设计显然超出了学生的认知水平，尽管经过长期的训练，牢记解题技巧，在高考中也许能考个好成绩，但学生的情感、学生的创新能力培养了吗？值得我们深思！像这类教师可能还沉醉在自己 “丰富的经验”的光环下，不能自拔。这样可以比较少的代价的重复劳动完成所学的教学课时数。陷入了传统题海中不能自拔是当前数学问题教学中的最大危险！正如Fredenthal所说的，数学教育的核心是学生的再创造，教师不应该把数学当作一个已经完成了的形式理论来教，不应该将各种定义、规则、算法灌输给学生，而是应创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造数学知识。
课例4：函数的定义（应用了多媒体教学）
授课地点：湖南郴洲临武某中学高一某班

说明一点：以上是课件的全部内容。本节可以说是多媒体课件给合常规黑板的教学,屏幕在左边,没有完全挡住黑板。在右边有一大半空地方是老师讲解用的。所以课件中没有例题的解答。
简要分析：课件做得很简单，没有动画，没有任何背景。学生反映还好懂。只是留给学生自己动手练习的时间不够。在后来求值域和定义域的练习都很匆忙。我个人认为内容偏多，没有很好的脱离教材原有的模式。相对于基础中等以下的学生接受还有点困难，而对成绩好的学生是自学也能懂的，只要老师对“函数第二定义”加以升华就可以了。课后和老师聊聊天，问及他们的课件设计怎么没有什么花样，他给我的回答是，在他们这多媒体教学已成了常规教学。讲求实在一点，想想也只用于节约了板书的时间，便于一些课外资料的补充。当然平时也方便给学生播放一些教学资料片，没有其它作用。故函数概念教学与信息技术的整合也是值得我们探讨的课题。没有充分利用多媒体，满足学生不同的需求。我们应充分利用计算机辅助教学，将现代科学技术成果作为手段在教学领域里运用。让学生观察、理解，探索研究，发现问题的规律。给学生一个主动建构的过程，和一个思维的空间，让学生参与包括发现、探索在内的获得知识的全过程。充分利用网络构建一个智慧共享的平台。将学习空间拓展到“地球村”，帮助学生寻找自已合适的学习伙伴。

２．２学生掌握函数概念的情况分析
笔者分别对初中、高中、大学的部分学生和相应的一些老师做了如下的几个调查，从中了解到学生对函数概念的认知水平的大体情况。由于各个调查中所选取的样本容量较小，可能不能全面真实的反映情况，但是能反映部分情况，以供科学研究分析。
调查１：（问卷１见附件一）
调查对象：湖南涟源巿斗立山镇第二中学初三某班和娄底市三中初三某班，抽取样本120人。
调查的目的：了解初三学生对函数概念的认识水平。（在学生学习完了第十三章函数及其图像后进行了此次测试。）
调查结果统计表明：对一个现实背景下的函数关系，初次接触函数的学生理解两个量之间的关系有些困难。这主要体现在问卷的第１道题，两个学校分别有21%和19%的学生搞不清余油量与行驶时间，谁为自变量，谁为因变量。第２道题解方程考察学生对变量的理解。令人吃惊的两个学校分别有７２％和６９％的学生重新解了“新”方程。Ｗagner(1981)在<<Advanced Mathematics Thinking>>一书中谈到对变量的理解:一部分学生接受,认为数保持相同时,字母变化不会对数造成影响；另一部分学生把改变变量字母的问题看作一个新问题，并不发生学习上的迁移。因此调查的结果表明没有发生学习迁移的学生比例偏高。第３道考察学生数形结合的能力，两个学校分别有７５％和６５％的学生把它作为类似于多项式求值问题，求出两个端点的函数值，有些学生还写出了一些可笑的答案，如：“ ”，不能很好地结合图像来解答。第４道题考查学生用所学知识判断函数图像的能力。学生对此题中没有见过的函数图像不会用正确的方法判断。在学生对函数图像的概念表象中，他们认为函数图像要么是直的一条线，要么是弯得像碗一样。而给出解析式去判断是否为函数的正确率要高。对第５道题，考查学生利用函数知识解决实际问题的能力。对此题大部分学生受以往“唯一标准答案的影响”，胡乱的猜测一种就交差了。学生对从实际问题转化为数学问题和建构数学模型的能力相当欠缺。同时深刻地反映出我国传统教育的弊端：从小到大，太习惯于寻找一个标准答案了，不用说数学、物理、化学，就是语文填空，都只有一个标准答案，慢慢地我们的学生的思维就被统一了，被限制在同一种固定的模式里。让人顿悟为什么我们的产品缺乏核心竞争力？没有差异的教育模式怎么能教育出有差异的人才？没有差异的人才怎么能设计制造出有差异的产品？确实如此，在一个固定的教学模式中，在所有思维指向“标准答案唯一”的框框内，学生是不会产生出创新意识的，也不会有创新能力的，我们的一些陈旧的教育观念已经到了不得不改的地步。笔者提倡有不同层次答案的非终结性问题是突破口之一。在我们的数学思考中必须有非程式、非算法、非形式化的成分，只有把“双基”与其相结合，才能培养出充满生机与活力的智者。
调查２：（问卷２见附件二）
调查对象：娄底三中高一某两个班部分学生共抽取样本100人，(两个班分别随机抽取样本50人)
调查目的：了解高一学生对函数的理解情况与认知水平。（此次调查是学生学习完“函数的单调性”后进行的。）
调查结果：在问卷２中第１题是考察学生对函数定义的理解程度，要求学生用自己的语言写出函数的定义，调查结果并不令人满意。大部分同学是记得书上原定义的部分内容。而没有完全理解好函数的本质。例如：有人写的是“两个量的关系表达式，应用很广的东西。”　“用表示的一个等式”。这些只知道函数的外在表现形式，其它大部分同学是将初中和高中的函数定义的一部分内容写在答卷上。问卷中的第２道是考察学生数形结合的能力，尽管学生在学习了“函数的单调性”这一部分内容时接触的函数主要是以图像表示，学生利用图像作为表象的能力应有明显的进步，但对于处理函数最值这类问题仍习惯于函数的解析式。例如在此题中，学生中大致有３类典型的解法。
解法１：因为，所以即，即可求出最值分别为１３和１５。
解法２：且，，当或６时，取最大值，。
解法３：画出的图像，由图形求出最值。
而问卷２中的第３题是考察学生对变量的理解，75％的学生回答正确，有２０％的学生答案为［０，１］。其中部分学生是因为联不等式“ ”解错了，剩下的同学是没有完全理解定义域的本质。第４题考察学生对函数定义的理解，第（１）（２）小题给出了具体的表达式，学生判断的正确率高，而对第（３）小题学生虽然对分段函数有了初步认识，而此题特殊在定义域没有明确给出，有２５％的学生回答错误，而对于第（４）小题，３５％的学生回答错误，表明学生对生活中函数现象不太敏感。第５题是作的顺便调查，关于学生对数学史知识是否重视和掌握。只有少部分学生注意了书上旁边的注解，能够回忆起来。答卷中有人这样写道：“这东西谁关心，不知道。”这从一方面也反映我们的老师没有引起足够重视。第６题全班只有一个人是作出函数图像来解题的。这说明学生习惯于代数式的求解，数形结合的能力有待加强。像这样一道题只要做出了如下图像A4.1，问题都迎刃而解。第７题是一道不定项选择题，有一定难度，学生中答对的不多，说明学生思考问题还不周全。第８题是要求学生写出生活中的一些函数现象。大致写出了：银行利率与时间，水电费与用水量，电话费与打电话的多少，上网费与上网时间，人的身高与体重分别与时间，一天的气温与时间的变化情况，个人所得税与工资，骑车的路程与时间等等，学生所举的例子还是停留在书本出现过的一些生活中的现象。

调查３：（问卷３见附件三）
调查对象：本校数学专业一批即将成为中学数学教师的四年级本科生，共抽取样本
１００人。
调查目的：了解经过８年的函数学习后学生的认知水平。
调查结果：第１题是用自己的语言写出函数的定义，由于大部分同学不记得书上定义了，所以没有像高中同学那样取书上定义的部分内容作为自己的语言。而是从函数定义中蕴含的三要素出发来回答的，有人这样回答的：“函数包括三部分：定义域，对应法则，值域。这三个部分构成了函数。”有人这样回答的：“对于定义域下的任何一个，在对应法则下，都有唯一的值与它对应的一种特殊映射。”还有人是这样写的：“一个或多个值，均有唯一的一个与之对应的一种关系。”等等。大都集中在对函数表现形式上写定义。第２题第（１）小题有６０％的人回答是同一函数，而对（２）小题１００％的人回答不是同一函数。第３题的第（１）小题有２８％的回答是函数，其中有人简单地认为“只要是表达式就是函数”。还有些人认为能画出图像的都是函数，而的图像是一个圆非常熟悉，理所当然是函数。而对于第（２）小题“ 是不是函数一题”，有４０％的人认为是函数，其中有人认为直线都是函数，而“ ”是表示一成直线，理所当然是函数，还有人认为是常量函数。而对第（３）小题有３６％的人回答不是函数，其中大部分错误地认为根本没有的出现，不可能表示函数，还有部分同学是认为不存在对应法则，故不可能表示函数。对第４题的回答，有人认为只要能表示成图像的都是函数，所以有部分同学认为全部存在与之对应的函数。上题全部答对占４４％。没有答对的大都没有抓住一个值只有在都对应而且只对应一个值时才能构成函数。错误地认为只要能表示成图像的都是函数。第５题，考虑周全的人不多。有人简单的认为是一条上升的直线。如：

图1. 图2.

图3. 图4.
图１，这类学生没有弄清题意，飞机着陆之前必须绕北京机场几圈；图２，这类学生错误地认为在北京机场绕圈时距离保持不变。这样认为的人占多数，说明对现实生活的感受能力不强；图３，这类学生，认为绕圈，距离变成了圆圈。只有几位同学画对了，绕圈时距离应为图4的振动图像。第６题回答的正确率也不高，主要是不定项选择，选不全，考虑问题欠周全。第７题同学们想到了：对号入座；一夫一妻；买卖中的钱与重量，寄放包时每个人一个密码等比高中生对生活中的函数现象感知能力强。
　　　
2．3近几年中考、高考考查函数知识统计分析
近三年娄底市初中毕业会考数学试卷考查函数知识情况统计分析如下表1:
表1
时间填空题选择题运算题应用题占总分的百分比
2002年 4分 0分 6分 8分 18%
2003年 6分 3分 6分 8分 23%
2004年 4分 3分 7分 9分 23%

近十年高考试卷中考查函数知识统计情况如下表2
表2
时间选择题填空题综合题占总分的百分比
1992年 16分 0分 12分 18.7%
1993年 8分 8分 12分 18.7%
1994年 17分 0分 12分 19.3%
1995年 13分 4分 12分 19.3%
1996年 8分 0分 34分 28%
1997年 12分 4分 24分 26.7%
1998年 14分 0分 24分 25.3%
1999年 20分 0分 26分 30.7%
2002年 17分 0分 24分 27.3%
2003年 13分 0分 24分 24.6%

由以上两表可以看出,函数知识一直是中考、全国高考考查的重点。近十多年来,一直分别占中考、高考总分的20%左右。而通过统计发现学生对这类函数概念的考核和建立函数关系题得分率比较低。从统计中还发现一些考题确实让人拍手叫好!例如:1998年高考选择题中,有这样一道题:
向高为H的水中注水,瓶注满为止, 如果注水量V与深H的函数关系的图像如上图所示,那么水瓶的形状是( )。

回答此问题,学生需要理解函数及其图像的概念,从而能够通过函数图像读懂注水量与水深这两个变量之间的关系,根据水瓶的形状想象在注水过程中,随着水位的升高注水量增长速度的变化,从此做出判断。函数知识除了在中考和高考中是考查的重点以外，一些竞赛活动和一些测试评价题目中也经常出现。如PISA（The Programme For International Student Assessment ）2000年数学测试题。PISA是世界经济合作与发展组织(The Organization for Economic Co-operation and Development)的一项国际学生评价项目。有这样一道题，一辆赛车在一个周长为3千米的封闭跑道上高速行驶。下图反映了它在整个第二圈的行驶过程中速度与行驶路程之间的关系：
这个题有多问，其中的两问是：
问题一：赛车在第二圈的行驶过程中有时沿直线行驶，并且有一段直线路程最长。则当它开始走这段路程的时候，它与起点的距离大约是多少？
（A）0．5千米                （B）1.5千米
（C）2．3千米                （D）2.6千米
问题二:根据题中所给的图形,下面五条曲线中哪一条最能反映赛车的运动轨迹?

这也是一个典型的函数问题,反映了赛车在行驶过程中速度与行驶路程的关系。但问题并未以一个函数表达式的形式给出,而是用直观图像来反映。学生通过读图，理解问题中速度与路程的依存关系。第一个问题并非要求学生得出精确的答案，而是通过观察函数图像，根据问题中的“时刻”，判断赛车“大约”行驶的路程，渗透了近似估算。同时要求学生对路况变化和车速变化之间的关系有一个合理的、常识性的分析。第二个问题则更要求学生联系实际和生活经验做出思考，拐弯处车速自然要慢一些，而且弯拐得越急（曲率越大），车速越需降低。再联系起始点，共有几个弯、几段直线路程等信息，与函数图像做一对比分析自然不难得出答案。这个问题所要评价学生的是对函数本质的理解，而不是细枝末节。［20］

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基于函数概念的认知分析的教学策略研究03-29