- 相关推荐
基于函数概念的认知分析的教学策略研究
基于函数概念的认知分析的教学策略研究
函数概念教学策略可以从各个角度来阐述、分析，但根据现代认知理论对学习与教学的理解,教学设计应从以下几方面出发: 用直观的形式向学习者显示学科内容结构，应该让学习者了解教学内容中涉及的各类知识元之间的相互关系；学习材料的呈现应适合于学习者认知发展水平，按照由简到繁的原则来组织教学内容。这里所说的由简到繁是指由简化的整体到复杂的整体；学习以求理解才能有助于知识的持久和迁移；向学生提供认知反馈可以确认他们的正确知识和纠正他们的错误学习。学习者自定目标是学习的重要动力因素；学习材料既要以归纳序列提供，又要以演绎序列提供；学习材料应体现辩证冲突，适当的矛盾有助于引发学习者的高水平思维。因此函数概念的教学设计都必须从学生学习函数概念的心理过程规律和函数概念的构成基础出发，通过教学情境促进学生建构相应的数学概念。即教学理论应从函数概念的构成，学生学习与教师教学实践的整体出发，而不是仅仅从某一侧面出发。按照现代认知心理学的观点，数学概念学习同一切学习一样是将外在学习材料内化的过程。如果学习材料与学生原有认知结构有联系，则要通过教学艺术活动使之建立联系，使之学生的认知结构同化。 [27]
4.1构建以函数为轴的整体教学设计
数学教学中函数内容，本身就是重要的基础知识，它贯穿了整个中学数学学习以及大学数学学习。数学中的诸多概念或由函数派生、或由函数统率，或可归之为函数观点研究。这就要求我们教学设计应从一个整体来设计，应瞻前顾后。比如课例1.中指出的教师可举一些离散的例子，为高中的函数学习打下基础。又如代数式的学习，可看成带有变数的函数表达式，求代数式的值，实质上就是求函数值。解方程（组）实质上是求已知函数的变数值，使在变数值上已知函数有某个预先指定的值。如解方程 ,实质上是求函数 何时函数值为1。有些方程的题甚至不转化到用函数来解将无从下手，或计算过程相当繁锁。例如这样一道题：当 为何值时，关于 的方程 有两个、一个、零个实数解？像这样一道题我们首先应将对数方程转化为代数方程并整理得： ，故原问题等价于讨论函数 和函数 的交点问题，并且交点个数即为原方程实数解的个数。接下来利用数形结合的思想，作出 的函数图像。取图像中 的部分，容易
得出１．当 时有两个交点，故原方程有两个实数解；
２．当 或 ，有一个交点，故原方程有一个实数解；
３．当 或 ，无交点，故原方程有零个实数解。同样解不等式也可类似处理。如解不等式 ，实质上是求函数 何时函数值恒为正数；数列也可看成定义在 上的函数，等差数列通项公式： 可看成一次函数 ，等差数列前Ｎ项的和 可看成二次函数 。等比数列以及其它许多知识都可以从函数的角度来认知。这样使学生在课堂中能多个角度来认知，更利于知识的理解和掌握。
此外中学数学的知识，一般以基本概念、公式、定义、定理、推论、原理、法则、例题、习题等形式出现，通常这些为知识元素。教材编写者按照逻辑顺序把这些知识元素编成教材，从而形成一条逻辑链条。在这个逻辑链条中，知识元素之间有内在的联系，它们本是一个有机的整体。但在教学中，教师大都是把这些知识元素一个一个地教给学生，而没有一个整体的教学设计思想。这样学生很容易忽视这些知识元素之间的内在联系，用孤立、静止的观点看待这些知识元素。这不仅不利于理解知识的本质，也不利于应用这些知识元素解决实际问题。因为任何一个复杂的问题的解决，都需要综合运用各种知识元素才可能完成。
由函数所反映的运动变化、相互联系的观点来贯串这些知识元素，将有助于克服数学教学中易出现的上述问题。例如，锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，在分别学习时，学生不易看出它们之间的内在联系，但若用函数所反映的运动变化观点把它们看成由一边不动而另一边绕顶点旋转而成的，就把这些角的概念在运动过程中统一起来了，而且还把角的概念的本质，即角的大小与边长无关，只由两边张开的程度来决定，进一步揭示出来了。
4.2函数概念教学要注重学生的情感需求
在第三章第一节已谈到学生对函数知识所持的情感会影响学生对函数的认知。布鲁纳也曾指出：“认知可以改变情感，情感也可以影响认知。”情感在这里是指以兴趣、愿望、热情等形式构成学习动机，作为主要的非认知因素制约着认知学习。教育不仅要侧重认知能力的培养，还要兼顾情感的发展。事实上，情意行为与认知活动是分不开的，两者共生共荗。缺乏情感的学习不是真正的学习，几乎所有的认知都会有情感成分，而且相辅相成。[28]教学过程既是知识信息的传输、反馈过程，也是师生情感融汇的过程。教学系统是知识和情感两个子系统的交织，两者应是水乳相融、紧密相联的。心理学的情感理论还指出“人的情感具有启动、定向、维持、强化等功能，并具有两极性、弥散性、感知性、迁移性。因此，重视情感教育，不仅能提高课堂教学效果，而且还能提高学生的综合素质，形成良好的个性品质。
4.2.1加强情感教学的理论依据
全日制义务教育阶段国家数学课程标准对数学课程目标的提法较以前有较大的改进___强调数学教育应当首先关注毎一个学生的情感、态度、价值观和一般能力的发展，增进对数学理解和应用数学的信心。[29]这一总目标：使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学充满着探索和创造；感受数学的严谨性以及数学结论的正确性；形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
《高中数学课程标准》的框架设想（2002，3.18征求意见稿）中可以看出课程标准的设置正朝着以人为本的方向努力，努力拓宽数学知识面，关注学生已有的生活经验和知识背景，关注学生的自主探索和合作交流，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得数学学习的自信心和方法；关注学生的情感和情绪体验，让学生投入到现实的、充满探索的数学学习过程中去，体会数学的探索过程，体会数学与自然、社会和人类生活的联系，获得情感、能力、知识的全面发展；新课程标准努力给教材的多样性创造条件，给教师教学留有余地，给学生学习提供充分的时间与空间。
自20世纪90年代初制定的数学教学大纲就一直把培养学生良好的个性品质作为数学教学目的之一，而且对良好个性品质作了较完整的解释。而依据新大纲编写的新教材更加注重以学生为本。学生是学习的主体；新教材充分注意到了学生这个主体在学习过程中的主动性和参与性。
4.2.2注重数学的科学性与人文性的融合，激发学生的学习动机
数学不仅具有重要的科学价值，同时还具有丰富的人文价值。数学文化作为一种基本的文化形态始终与人类文化协调发展，相得益彰。正如美国著名数学教育家M.克莱因所说：“数学一直是形成现代文化主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素，这种观点在许多人看来是难以置信的，或者充其量来说也只是一种夸张的说法。这种怀疑态度完全可以理解，它是一种普遍存在的对数学实质的错误概念所带来的结果。”[30]然而在过去，我们的数学课程内容主要限于数学的知识成分，很少涉及数学思想、精神、学生情感和价值观等人文成份。在数学教学中过于注重数学的科学价值，而忽视对其人文精神的提炼，没有很好地发挥数学科学本身所固有的人文功能。[31]从函数概念教学现状分析，可以看出大部分教师注重了函数概念的分析和要点的把握。但大都忽略函数概念所包含的人文精神。函数概念发展至今有300多年的历史，一直处于发展变化的动态平衡状态。有着丰富的人文内涵。从学生的调查和访谈结果知：都希望老师能重视数学的人文性。普遍认为在课堂中介绍数学史知识，能够帮助学生理解数学知识，领悟到数学思想方法的产生和发展过程；能够促进学生产生学习数学的自信心，消除对数学的畏惧感、神秘感，进而对数学产生兴趣；能够使学生学习到数学家的坚毅品质和科学的献身精神；能够使学生了解到祖国和世界的数学成就，从而产生民族自尊心、自豪感，并形成其自觉为祖国和世界文化昌盛而奉献的意愿。从李善良对江苏省准阴市区十所中学初二年级师生进行的一次问卷调查结果发现数学史教育明显不足；教师普遍认为：教材中对数学家介绍太少，多数情况只提名字而无简历或故事，教材中对外国数学史介绍得太少，此外，教材中数学史内容未能与教学内容有机融合。教学中只有40%左右的教师主动地将数学史内容穿插在课堂上讲解，有40%的教师要求学生课外阅读，而至少有20%的教师从未对学生进行这方面的学习指导，其原因主要为数学史知识不是升学考试内容。[32]从本人的问卷２第５题的调查结果来看，教师对数学史知识的教学重视的力度不够。就这样一道题只有少数同学注意到了教材上旁边的注解，能够回忆起来。有人这样回答的：“这东西，谁关心，不知道。”既然数学史教育是学生就欢迎的，而函数概念又有着３００多年的历史，在我们的函数课堂中就应重视。值得注意的是：在介绍数学史要能和教学内容有机融合；介绍方法与处理方法可灵活多样；数学史教育内容应当中外兼顾。数学史教育应时刻注意教育对象。
除了传统的课堂教学模式影响了学生对数学所持的情感外，我们的大众传媒在一定程度上应负一定的责任。有人做过调查访问，“苏步青和张艺谋哪个贡献大？”大都回答“苏步青”。然而当问及他们的生平事迹时，大多对张艺谋的点点滴滴都能讲出。而对著名的数学家苏步青教授却知之甚少。谁都能感觉出我们今天的大众传媒对娱乐、体育方面消息报道多于其它的学术知识，比如报纸整版都是娱乐新闻。而对一些科学家的生平，学术方面的报道出奇的少，这样促使我们的学生情感发生了转移。我们应呼唤“80年代的陈景润精神”再度掀起。也有望我们大众传媒关注孩子的全面发展，关注孩子未来。不能为了一时的经济利益，而以牺牲年轻一代为代价。
4.2.3函数概念教学中注重函数思想的渗透
函数概念不仅具有丰富的人文历史，同时是贯穿数学始终一种重要的数学思想即函数思想。随着社会的发展，“终身学习”和“人的可持续发展”等教育观念进一步得到人们的认同，而要想实现“终身学习” 和“人的可持续发展”，重要的是教育中发展学生的能力，掌握获得知识和进一步学习的方法。心理学的研究结果表明，高度概括的内容能够在学生头脑中留下长久的记忆。数学的思想方法与具体知识相比，具有更高的抽象性与概括性。正如日本数学教育家米山国藏先生曾深刻地指出：“学生们有初中或高中所学的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门以后不到一两年就忘掉了，然而，不管他们从事什么业务工作，即使学生把所教给的知识（概念、定理、法则和公式等）全忘了，铭刻在他心中的数学精神、思想和方法却能使他终身受益。”[３3]既然数学思想方法影响着一个人的一生，而函数又是一种重要的数学思想，我们不容再忽视了，然而有些教师仅仅把数学概念看作一个名词而已，概念教学就是对概念做出解释，使学生能理解、记住。而没有看到像函数这样的概念本质上是一种数学观念，是一种处理问题的数学方法。因此，一节“概念课”教完，也就完成了它的历史使命，剩下的是赶紧解题。至于“指数函数”，“三角函数”等等又是另外的概念了，求函数的定义域等题似乎也与函数概念没什么关系，因此学生学了许多具体函数（在心理上建立了相应的心理表征）。解了不少与函数有关的题目，却不能说出函数的大致意思，这样的心理表征是不完善的。在这样的心理表征下，学生能很好地运用函数思想去处理问题吗？
函数思想是函数相关知识的一个重要组成部分。在数学教学中，如果能重视函数思想及其方法的传授，就有利于帮助学生掌握开启知识的钥匙，也就有利于加速知识转化为能力的进程。此外在数学教学中还应注意函数思想与其它的模型转化思想、变换思想、概率统计思想、优化思想、方程思想等有较多的联系。目前世界各国都很重视数学思想方法的学习，许多发达国家把函数思想作为贯穿中小学教学的一个重要内容。[３4]函数教学从小学开始接触变量的思想，初中进一步学习函数思想，到高中集合对应观点下的函数理论，使得函数思想在整个中小学教育有一个铺垫、过渡、延伸的过程。如在小学阶段，函数作为数的运算出现，例如，两个数之和看成是一个数与两个数对应；代数中函数表示变数之间的关系；在几何中，函数表示了几何变换思想，概率中函数表示了事件发生与可能性之间的关系。以美国为例，美国在其《学校数学课程和评估标准》（1989）中，除“模式与函数”外，其它章节内容如“代数”、“统计”都与函数思想息息相关。［１］而在其《学校数学的原则与标准》（2000）中则提出了更进一步要求，在早期数学的学习阶段通过观察事物的变化，探索模式，合理引入函数。［３4］然而在中国90年代的义务教育教学大纲中，在“教学内容和教学要求”中基本没有提及函数思想方法，仅有：“使学生了解……以及反映在函数概念中的运动变化观点”等字样，学生在初三以前很小接触变量、函数思想。2000年新颁布的课程标准中注意到了思想方法提出了“了解函数的概念和三种表示方法……以及结合图像对简单的实际问题中的函数关系进行分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。”在认识到函数思想的重要性方面我们比别人晚，这就有望我们一线的教师们更要加倍重视函数思想的教育。
4.2.4教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的经验基础上
新的课程标准提出了新的教学理念：“要实现人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”如何将教学达到这些新的要求，这就要求我们的教学活动必须建立在学生原有的数学认知结构的基础上，满足各自的学习需求。认知结构即学生头脑里的知识结构，是指学生感知、思考事物的主观模式结构，是学生全部观念的内容和组织。数学认知结构是指学生头脑里的数学知识，按照自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想、等认知特点，组合成的一个具有内部规律的结构整体。[35]其中一般的模式可用搞活流通来表示，依据这一基本模式，数学学习活动可分为三个阶段：输入阶段，适应阶段，运用阶段。
而现代认知心理学家对知识的获得持同化论的观点，即知识的获得是学习者认知结构中原有知识吸收并固定要学新知识的过程。新知识同化到原有认知结构中。使原有认知结构发生变化，促使认知结构不断发展。奥苏伯尔把学生要学习的新知识与其认知结构起固定作用的原有观念分为三种关系：下位学习，并列学习，上位学习。通过前几章的讨论，可知函数概念经过了三个世纪的演变，处于命题网络的顶层是上位学习。上位学习也称总括性学习，是指在认知结构中原有的几个观念的基础上学习一个包容性更高的命题，即原有的观念是从属观念，而新学习的观念是总括性的观念。其同化模式如下图。
上位学习的同化模式[36]
上位学习遵循从具体到一般的归纳概括过程,所以我们在教学中要注重归纳、类比等方法引导学生同以前所学知识建立联系，同时还要克服思维定势的影响，从而建立起函数这一辩证概念，使学生受到良好的思维训练。例如对函数记号“ ”的理解，大多学生认为它只可以是一个解析式，所以缺乏对对应法则“ ”正确理解。那么我们在教学中要多举学生生活中比较熟悉的例子，如银行利率表，股市走势图这样将抽象问题具体化，帮助学生对符号“ ”以及函数的本质有正确认识，起到事半功倍的作用。
此外经验证明，学习者对知识的积累是必要的。知识是思维的材料，掌握知识是能力发展的途径。但作为教师，更应重视学习者的认知结构对后继学习的重要意义。现代认知学习理认为，学习新概念的过程是新旧概念相互作用的过程，学习者的认知能力对学习者的学习、研究和知识的运用更为重要。[37] 因此数学教师在教学目标选择时，应努力将知识的掌握与形成合理的数学认知结构结合起来，将掌握知识与发展能力和培养学生的情感有机地结合起来。
4.3使函数概念课堂生活化
第三次全教会提出必须把培养创新精神和实践能力作为素质教育的重点。这给课堂教学提出了改革的要求和方向。陶行知说过：“生活即教育，教育只有通过生活才能产生作用并成为真正的教育。”所以数学课堂的生活化是加强实践能力，推进素质教育的必要手段。新的课程标准也更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动地运用数学知识分析生活现象，自主地解决生活中的实际问题。因此，在数学教学中应重视学生生活体验，把数学教学与学生的生活体验相联系，把数学问题与生活情境相结合，让数学生活化，生活数学化。生活化是一个过程，并不是指具体的生活内容，所谓生活化即在教学中一方面从学生的生活体验和已有知识背景出发联系生活讲数学，把生活经验数学化。数学问题生活化体现数学的兴趣，学会运用数学的思维方式去观察、分析、认识社会去解决日常生活中和其他学科学习中的问题。为学生的终身可持续发展奠定良好基础；另一方面在教学中突出学生主体地位（弘扬个性）。正如法国世纪启蒙思想家卢梭提出的：“自然教育的教学目的，其核心就是对学生进行教育时必须顺应人的本性，主张采用自然主义（泛爱主义的教育方法）还课堂以生活的本来面目。”[38]
一直以来中外不少教育家强调要处理好教育与生活的关系，关注学生生活本身。像苏霍姆林斯基在给教师的建议及杜威在民主主义与教育中就明确指出：“教育是生活的需要，依据生活而教育。”课堂教学活动和各个环节要尽可能地联系生活、贴近生活。只有师生课堂教学活动与现实生活密切相联。教育才能最大体现它的价值，体现它的自然性、即时性。这正是学校教育教学活动的生活本性。如何让生活进入我们的函数概念教学课堂呢？
首先转变教师的教育意识是课堂生活化的前提。 服务是一种资源，优质服务是创设舒心的环境，获取最佳效益有效手段。教学中学生是学习的主体，教者服务学生，旨在点拔、引导、创设情境，必须运用现代化教学手段，精湛教学艺术，科学的教学方法，“润物细无声”地引导学生探究，获取知识、学会思维。在初中函数概念的讲授中，教师可以举生活中的函数现象引入。如一天的天气预报中，气温与时间的变化情况，汽车行驶速度与路程的关系等。还有学生身高、体重随年龄的变化情况。分清实例中出现的常量与变量。此过程教师指导学生自己思考。在高中的函数概念教学中同样可以从实例引入，通过实例来讲解。众所周知，从生活实践中培养创新能力这一点上，美国“木匠教学法”很成功。“木匠教学法”的核心就是注重知识来源于生活。让学生在实践中获取知识 ，让学生自我发现问题和自我解决问题，充分发挥学生的想象力和创造力。
其次善于研究生活中的数学是课堂生活化的基础。 知识是前人在生活中积累的经验或是提炼出的规律，而教学目标是为了掌握规律及学习发现规律的方法。若教者只是让学生掌握知识，那就是把学生头脑当成了知识的容器，“头脑不是一个要被填满的容器而是把需被点燃的火把。”因此，教学中必须让学生了解知识发生的过程，但40或45分钟毕竟有限，因此教者要引导学生善于捕捉、获取、积累生活中的数学知识。
最后善于创设教学情境是数学课堂生活化的基本途径。创设教学情境是数学模拟生活，使课堂教学更接近现实生活，使学生如身临其境，如见其人，如闻其声，加强感知，突出难点，激发思维。常见的创设教学情境的做法有：运用实例，运用实物（挂图），动手操作，运用媒体和模拟生活。
我们可以让生活走入课堂，同样也可让课堂走向生活，走向社会、走向实践。把课堂搬出教室，搬出校园，。在自然界中，在社会中，以真实、生动和丰富经验……发展其实践能力，发展对知识的综合运用和创新能力，养成合作、分享、积极进取等个性品质。
早在上世纪初，美国教育家杜威就提出“在做中学”的观点，无疑，“做”与被动地“听”和“看”是无法比拟的。(I hear, I forget；I see,I remember；I do,I understand.)我听了，我忘；我看了，我记住了；我做了，我明白了。）皮亚杰也曾指出：让学生在活动中学习，这是儿童教育的最重要的原则。[39]著名的数学家弗赖登塔尔也认为数学教育,它应该来源于现实、寓于现实、用于现实。数学教育应该通过具体的实际问题来教抽象的数学问题，它应该是从学生所经历所能感悟的客观实际中提出问题，然后升华为数学概念、运算法则或数学思想。
所以我们应从教学内容的实际出发，组织实施“大课堂”教学。所谓“大课堂”教学就是组织学生走出课堂的教学。如进行实地考察，或由学生自己通过做社会调查、查阅资料等方式学习。“大课堂”教学打破了单一的课堂集中教学形式。一方面可以开阔学生的知识视野，打破课堂学习的局限性，促使学生充分认识到数学知识的价值，并通过社会化、生活化的方式使学生学到有用的数学。在教学中要根据教学需要让学生走出课堂，但是要注意做好组织引导工作，要让学生带着任务走出课堂，不能放任自流，搞“放手式”教学。还可布置实践作业。如通过调查了解函数知识在工农业生产和实际生活中的应用，使学生真正体会到数学源于生活。比如，现在农村各地正在进行产业结构调整，可组织学生到农户进行调查、收集数据，分析产业结构调整带来的经济效益。又如电话费、水电费等都是时间的函数。许多科学也只有用函数才能表达清楚。如物体的自由落体运动，生物学中的细胞繁殖速度，生产成本的核算、生产工效的提高等都是相应的自变量的函数。函数充斥我们生活的方方面面，或者说，我们的生活离不开函数，函数与每个人息息相关，这便使我们的函数课堂生活化和让函数课堂走向生活、走向社会实践有了保证。
4.4基于函数概念的抽象性，用问题驱动组织教学
“问题是数学的心脏”没有问题就没有数学。现代认知心理学关于思维的研究成果表明，思维过程，即思维通常是由问题情境产生的，而且是以解决问题情境为目的的。所谓问题情境是一种有目的的但又不知如何达到这一目的的心理困境，也就是当已有知识不能解决新的问题而出现的心态。人们就必须拟出以曾未曾有过的新的活动策略。基于函数概念的抽象性，我们可以试着用问题驱动函数概念教学。问题驱动教学有其充足的理论依据：
1）建构主义学习理论，目前教育心理学界正在以一种新的观点来理解学习和教学，这就是建构主义学习理论。建构主义学习理论认为，学习是获取知识的过程，知识不单单是通过教师的传授而得到的，而主要是学习者在一定的情境（即社会文化背景）下，借助于其他人的帮助，利用必要的学习资料。通过意义建构的方式自己获得的，其核心是“通过问题教学解决学习”。[40]
2）问题教学理论，20世纪60年代中期，前苏联教学论专家马赫穆托夫创立了问题教学理论。这理论是前苏联发展性教学理论的重要组成部分，具有相对完整的方法体系和鲜明的时代特色。马氏认为：在这种教学中，学生从事的系统的独立探索活动与其掌握现成的科学结论配合进行的，其方法体系建立在问题情境的创设、问题的提出和问题的解决基础上的。在问题教学中，学生不仅要掌握科学结论，还要掌握这些结论获得的途径和过程，其目的在于形成思维的独立性和发展创造力。
3）数学教学的本质要求，“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分数学问题。问题在数学教学中具有极其重要的意义，它是数学教学的出发点和动力，数学教学过程应当是一个不断提出问题和解决问题的过程。那么具体到函数这样一个抽象的概念的讲授课中又如何应用问题驱动教学呢？就中学课本中的函数概念进行讨论：
中学课本要讲到一元函数的定义如下， 是一种对应法则，它将定义域 中每个实数 对应于唯一实数 ，记为 ，大部分学生都能背出这个定义，但是这种表述能刺激他们去思考去应用吗？让我们用批判的眼光去审视这个基本概念。
问题1.函数的概念是不是一个最基本的概念？为什么要研究函数？
在现存的教程中你很难找到答案，因为大家都不关心这个问题。殊不知这是一个很重要的问题，如不深究其答案，我们将难以把很多数学结果用活，也不知道为何要学微积分。设想你在某公司做事，在公司业务数据库、公司的电脑中有函数吗？当你的上司希望你完成一项市场分析时，你能在公司里找到任何函数公式吗？我们在数学教程上读到的很多理论都是从函数出发的，但是在真实的业务中它却不存在的！这使学生、教授、数学家们感到茫然。
真实的生活虽然没有直接的函数存在，但是我们不得不面对的是很多有自己内涵的变量，例如：商品价格、需求量、时间、上证指数、交易量、信用卡余额、温度、交通事故数。我们天天都必需和它们打交道，希望理解变量之间的关系。这里的关键词是关系。
问题2.变量之间的关系有几种类型？
这是一个很具本原性的问题，从实际生活中我们可归纳出下列类型。
a. 完全不相关；
b. 变量Y由变量组{ }决定；
c. 变量Y由变量X决定；
d. 不确定关系。
这些关系的研究推动了各种数学的诞生。a推动了各种“独立性”的数学的发展；b产生多元微积分； c产生一元微积分；d产生了概率论。为什么c产生一元微积分呢？首先为了表达Y由X决定的关系，我们才能创造了一元函数 的概念，它的功能是指出当自变量 值时 。因此一元函数 是表达Y如何依赖于X的关系的工具。而一元微积分的工作对象是一元函数，所以c产生了一元微积分。 与多元微积分的关系就亦然。将函数与它所代表的变量联系起来，一切都变活了。
例如，大家都知道指数函数 ，只看抽象的指数函数，你的感觉是冰冷的，但当你用它来刻画某项投资在 时的现值时，我们就有了新的思路，将 改写为 ， 有何意义呢？
原来可理解为一年后的收益率！这时你对指数函数是不是倍感亲切呢？因为你应该关注你的 ，当 时，你能挣得更多的钞票！反之 ，你将承受损失。
总之，当我们明白了函数是表达变量之间关系的工具时，我就能知道为什么要研究学习函数，这一点也启发我们去讨论下面的问题。
问题3.如何去分析函数？
还是用一元函数为例说明。设有两个变量 ，
——某商品的销量，
X——该商品的价格。
在一定的条件下，Y与X的关系可用价格——销售函数 来指导，作为决策者，销售经理虽然关心函数 ，但是他首先考虑的问题是，如果现在的价格是 ，在 的基础上调整 时，市场的反应如何？即他应研究的是 与相应的 的关系：
对 、 的分析称为增量的分析，，这是微积分的灵魂，在中学里对函数的研究出发点是 的表达式，在微积分中是对 和 的关系研究。接下来的问题是：如何研究 与 的关系呢？……
对其它比较复杂的概念，均可采用问题教学法。总结一下问题教学法的基本操作程序：1）创设问题情境；2）引导活动探索；3）讨论反馈问题；4反思深化问题。即从问题出发——引导探究——解决问题——归纳反思——发现新问题——再探究新问题，这样一个开放式的教学模式。
4.5将案例教学法运用于函数概念教学中
所谓案例是指包含有某些决策或疑难问题的教学情境故事，这些故事反映了典型的教学思考水平及其保持、下降或达成现象。[41]在新的课程理念的课堂教学案例，应考虑从以下诸方面选择主题：
1）学生动手实践、自主探索、合作交流的教与学方式；
2）体现教师帮助学生自主探究、合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，如数学活动中，如何关注数学本质，让学生体验“数学化”，即如何让学生分析和研究活动中出现的种种现象，并加以整理和组织的过程，经历归纳、概括、抽象，将客观事物数学化或数学本身逻辑化的过程；
3） 体现让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程；采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式教学的成功经验。
4） 体现数学与信息技术整合的教与学的方法；
5） 体现教师在教学过程中的组织者、引导者与合作者作用；
6）体现教学中对学生情感、态度的关注和过程评价，以及怎样帮助不同的人在数学上获得不同的发展等等。[42]
从以上几方面编写的案例在课堂上呈现给学生，并运用它开展探究教学，从此案例成了取之于学生又用于学生的一种难得的课堂资源，探究教学途径也得到了很好的拓宽。课堂教学案例实录：
案例1:世界著名的水都威尼斯，有个马尔克广场。广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂。教堂的前面是一方阔地，这片阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏；先把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，看谁能到达教堂的正前面。奇怪的是，尽管这段距离只有175米，但却没有一名游客能幸运地做到这点！他们全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边。
公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对此问题进行了深入的探讨，他收集了大量的事例后分析说：这一切都是由于人自身两条腿作怪！长年累月养成的习惯，使每一个人一只脚伸出的步子要比另一只脚伸出的步子长一段微不足道，而正是这一段很小的步差 ,导致了人们走出了一个半径为 的大圈子！设某人的脚踏线间相隔为0.1米，平均步长为0.7米, 当人打圈子时,两只脚实际上走出两个半径相差为0.05米的同心圈。可得 。通过此案例可作为初中函数定义的引入，也可作为高中复习初中定义。可将作成课件，同时也可用学生自己来做这个游戏。这可大大激发学生的学习热情，生活中这些微不足道的现象，竟然都能用我们所学的数学来解释。
案例2：（国外的一堂课）
问题1：这里一共有35个（yo-yos）在一个盒子里，有20个学生来上课，他们每人自带了4个（yo-yos）放在盒子里；问一共有多少个（yo-yos）在盒子里？
得出： 。
问题2：盒子里一共有166个（yo-yos），今天有22个学生来上课，他们每人带了6个（yo-yos）放在盒子里，问盒子里原来有多少个（yo-yos）？
得出：166=22*6+ 。
问题3：盒子里一共有151个（yo-yos），盒子里原来有58个（yo-yos），今天来有31个学生来上课，问他们每人带了多少个（yo-yos）？
得出： 。
问题4：盒子里一共有109个（yo-yos），盒子里原来有46个（yo-yos），每个学生带了7个（yo-yos），那么来上课的学生人为多少个？
得出： 。
问题5：（1） ；（2）166=22*6+ ；
（3） ；（4） 。
将以上四个式子用一个模型概括出来。得出： 即 。
问题6：在将来的某个时候，学生每人带了2个（yo-yos）放在盒子里，盒子里原来有3个（yo-yos），那么盒子里的（yo-yos）数为多少？
这里有两个数不知道，得出： 。
练习1：玛丽有6盒口香糖，每一盒里有5片，那么她一共有多少片口香糖？
练习2：特德有15条鱼，他把每3条放一个鱼罐，那么他一共放了多少个鱼罐？
此案例完全用学生自己在经历一个“做数学”的过程，包括最后的练习都是通过操作可以解决的。比起我们国内直接举出我们见过这样的式子： 来引入要更能满足学生的内在需求。这样整个教学活动都融入了社会这个群体中。如下图所示： 此案例可作为一次函数的引入讲解，也可用于方程的学习。[43]
案例3：2000年5月11日《解放日报》第6版题为《“发福”不是福，肥胖是“杀手”》的文章指出：目前国际流行的体重指数法（MBI）和最新的亚太地区肥胖指标，将体重（千克）除以身高（米）的平方，结果大于23即为超重，大于25即为肥胖，介于18.5至22.9之间属于正常。请根据自己的体重（千克）及身高（米）设计一道数学题并加以解答。
教师分析题意：找出问题中关键关系式是肥胖指标与体重、身高之间的等式关系，它们为：肥胖指标= 。能否用符号来表示？让我们选定符号。
学生回答，教师认同：肥胖指标用 ，体重用 ，身高用 表示，那么上述关 系式即为： 。
师：符号可以简化我们的思考。好，现在让我们设计问题、提出问题。
问题1：我的身高为1.78米，体重为75千克，是否属于正常范围内？如果我们把问题转化成数学问题，那么相应的数学问题是什么？
学生1：（数学问题1）：计算 ，并判断是否大于或等于18.5而小于22.9。
计算的结果 值为23.67，属于超重范围，所以我认为要制定计划减肥，由于一般情况下我的身高不会有什么变化，即保持在1.78米，那么我必须把体重减下来，使肥胖指标属于正常范围。
问题2：那么我的体重必须在什么范围内呢？从数学的角度来看是什么问题？
学生（数学问题2）：已知 , ,如果 ,那么 在什么范围内？
师生共同解决： , ,则 ,即 。
这说明我的体重介于58.6154千克与72.55636千克之间的话为正常范围。
师:我们还能提出什么问题？
学生：作一个直角坐标系。
师：好，我在黑板上画一个直角坐标系。下面呢？
学生：（讨论）
师：作一个直角坐标系有什么用？
学生：作出函数图像。
师：什么函数？
学生：（讨论）
师：我们看到关系式 中有三个量，而我们黑板上画的是平面直角坐标系，也是我们仅仅学过的坐标系，在这个坐标中只能表示两个维度，这里的x轴、y轴，那么这里的x轴、y轴分别表示什么呢？
学生：x轴表示k(肥胖指标)，y轴表示w（体重）。
师：那么h是什么？还能不能是一个变量？
学生:只能是一个常数，不妨设为1.78。
师：那么我们就得到函数 ,即 ，是一个一次函数，当然，这个函数的自变量k应当有一个取值范围，例如，上面我们提到介于18.5与22.9之间，那么函数 (体重)就应有一个范围，就是上面的问题，从图像上看就是一条直线的一段。受此启发，我们是否可以考虑x轴、y轴分别代表其它的变量？
众生：可以。
师：让我们进一步思考下去。
学生：x轴表示 （身高）, y轴表示 (体重)。
师： 是否需要是一个确定的值？
学生： 为20吧。
师：这样我们就得到 ，这里 是 的二次函数，当然 也是有取值范围的，据此，我们可以设计怎样的问题？
学生：我小学毕业时身高为1.40米，现在的身高约为1.60米，如果我要保持我的肥胖指标一直为20的话，那么我的体重应当从多少到多少？
师：指你的体重在什么范围内变化？
学生：对。
学生：解决他的问题只要计算出当 和 时的函数 时的函数值。
师生共同：我们算出当 和 时函数 的函数值分别为39.2和51.2。
学生：这说明他的体重应从39.2千克到51.2千克。
师:从数学的观点看,我们是应当注意到二次函数 在自变量取1.40到1.60的范围内,函数值随着 的增大而增大,这样我们才有理由说他的体重应从39.2千克不断增加到51.2千克。
好,让我们继续挖掘这里的宝藏吧。
学生：对于关系式 中的三个量确定任何一个量，我们可得到另外两个量的函数关系。
师：非常好，具体一点。
学生：例如对于上面的 ，可变形得到 ，可变形得到 。
师：由一次函数 得到的 仍为一次函数，由二次函数 得到的 是根式函数（为他们以后的反函数学习作铺垫）。
如果 为定值，我们设 ，那么可得到什么呢？
学生： , ,是什么函数不知道。
师：像 这样，由若干个多项式的和、差、积、商所构成的函数（做除法时除数恒不为零）叫做有理函数，在初等函数中，像 这样，不是有理函数的代数函数叫无理函数。
再从另外一个角度看待以上讨论的问题，我们看到今天共解决三类问题：一是求值；二是求范围；三是两个变量之间的函数关系。而前两类问题可分别归结为求函数值和值域问题，因此可以用函数来统一以上所述。[44]
案例4小明的父亲是被派往西北某地区扶贫的一名干部,在他爸爸扶贫的两村庄在河岸(一段长长的直河)的同一侧,由于两村所在的地势高于河床,因此,尽管河里水源充足,但两村庄的水源却非常紧张。经小明的爸爸考察发现这正是导致两村庄贫困的主要原因)。要想两村庄脱贫致富，必须首先得解决水源问题。小明的爸爸想到了一个方案，在河岸修建一个抽水站，（需要１０万元），然后铺设管道（铺管道每米需要２.５万元）到两村。经测量两村庄距离河岸分别为４千米和８千米，两村之间距离为５千米；通过小明的爸爸和当地政府向国家有关部门申请，争取到了拨款４０万元。小明的爸爸在想能否用这些资金来完成这一任务？如果不能完成，那又最少还需要筹集资金多少万元？在他不是很有把握估算出来时，想到了在上高中的儿子，马上打电话给小明，把这一情况向儿子说了一遍，希望能帮他正确预算出来。
小明接了电话后，想到可以帮老爸一个大忙，立即开始思考。能否用这些资金完成任务，取决于完成任务的最小资金能否不超过４０万元，修建抽水站和铺管道每米所需要的资金是固定的，因此能想到的办法只能是抽水站修建在何处，使给两村庄所铺管长最少，于是小明想到了构造函数模型求解。
设两村庄分别为Ａ和Ｂ，它们到河岸的距离分别为 ，其中 ，而且 ，并作出了右图１.的示意图形，过Ａ作 于 ， ，
又设抽水站修好建在Ｄ处， ，所要铺设总管道长为 ，则有 ，于是问题转化为求函数 的最小值问题。
图1.
小明解到此，对于这个函数的最小值，无法求解。有没有其它解决办法呢？小明想了一夜没有想出更好的办法。第二天来请教数学老师。数学老师没有给他直接回答。说到数学课上一起来就这一问题展开讨论：
数学课上，老师先讲了一点内容，然后才把问题拿出来讨论的。过了十分钟后，有同学沿着小明的思路，想到这里问题的实质是在直线 上求一点Ｄ，使Ｄ到直线同一侧的两点Ａ、Ｂ的距离之和最小，这正是平面几何中我们已前所解决过的问题，于是有了思路了。作Ａ关于直线 的对称点 ，过 作 于 ，连结 B, B交EF的于点D，则D到A、B两点距离之和最小（如图2）所示，
此时 （万米）
故最小费用为， （万元）。 图2.
故小明的爸爸还需自筹资金约９２５０元。
同学们仔细再想一想，此时下课铃响起来了，于是老师要求同学们课后再去想一想，明天再继续讨论，是否还有更好的办法，不需要自筹资金是最好的。
第二天，数学课上继续讨论，要求同学们想一想上面问题解法有没有问题？还有没有更好办法？
同学们纷纷讨论，上面的问题解法没有什么疑问？我们在学平面几何时老师就特别提醒过这一知识点的用途。有同学还说“记得很清楚呢不会有错”？数学老师提醒要同学们联系生活实际，自已家的自来水管是怎样来的？
过了约１０分钟，有同学想到了，日常生活中的水管多数是从一户连到一户。由此自然想到下面的解法如图3：
图3.
把抽水站建在Ｅ处，水管沿Ｅ——Ａ——Ｂ，途径４＋５＝９千米，比上述解法少了约３.３２７千米。
故沿Ｅ——Ａ——Ｂ途径的总费用为 （万元）
因此，用这些资金可以完成任务，而且还有节余７.５万元可作为开发其它项目使用。
老师又让同学们仔细想想这一解法，有没有问题？
下面请同学们思考：
（1）在前面问题的解决中理论上应该是成立的，为什么反而所铺管道不是最短呢？
（2）对于类似的问题是否总有第二种方案最佳呢？若不是请同学们举例说明。
同学们对问题（１）有了明确答案：这是因为，解法１将问题转化为“抽水站”建在何处，使抽水站到两村的距离之各最小的问题？而实际中的目标是：把水送到两村的最小管道长为多少？
对问题（２）同学们又陷入了困境了，
老师再次提醒，如果当两村庄到河岸的距离不变，而两村庄的距离改变，（设为 ），情形如何？
同学们在演算，不同方法所需的费用。
按第一种方法，有 ，其中最短的管道长为 （千米）；
按第二种方案：最短长为 （千米）；
现要比较两种方法，只需比较两个的最短长度即可。
而将上面两式平方后作差得： ；
故当 时，第二种方案好；
当 时，两种方案一样；
当 时，第一种方案好。
通过这种方式的学习，学生的学习热情调动起来了，而且用学生体会到了数学在现实生活中的实际应用价值。通过学生的讨论和自己想办法解决，学生经历了一个“做数学”的过程。案例实录分析具有思辨性认证不可替代性，多种形式、不同层次的个案可以对实际课堂实施情况有清晰的了解，“它以丰富的具体教学情境为理论与实践的结合提供生动的注解”。[45]
案例教学中的问题来自于学生学习实际，又通过学生解决问题，从思维激发的角度看最具有价值，能真正培养学生思维的敏捷性、批判性和深刻性。真正体现了以学生的学为本，以学生的发展为本的现代教学理念，学生在课堂上相互启发、交流、接纳、赞赏、合作、分享、互助，能经历挫折与失败，曲折与迂回、成功与兴奋，这其中有许多感受和体验是他们理解科学的本质、理解科学精神的意义与价值的基础，可以说学生的角色完全从传统教学中的配角变为探究教学中的主角，变被动接受学习为主动探究学习，学生真正成了学习的主体，探究的主体以及自我发展的主体。
运用案例教学，有一点需要特别强调的是：案例的运用有一个适度的问题，整堂课都运用案例易使学生产生厌倦心理。在教学实践中，教师宜根据教学内容，有意编制教学案例，适度运用案例，有机结合其他教学方法，能收到相辅相成，互相取长补短，相得益彰的教学效果。
结 束 语
函数的多种表征形式要求教师在从事教学活动时采取多种教学方式，以促成学生对函数概念的多维度的理解。注重函数教学的过程性和建构性。函数就其概念而言，既表现为过程操作又表现为对象结构，而且函数的多种定义决定了对函数概念的理解应有层次性。同时函数的产生来源于其他科学，教学时将其镶嵌于一定的知识背景中，使学生在现实生活中学函数。此外函数内容的丰富性，不仅具有丰富的数学内涵，还具有丰富的人文历史，这就要求我们在教学时要注重科学性与人文性的平衡与融合。通过函数概念的教学，培养学生的学习情感、学习自信心与数学的应用意识，体现中学数学新课程标准的指导思想。此外通过案例创新，撰写有我国特色的函数教学案例将为我们的数学教学改革指明了前进的方向。
但由于本人的理论水平、实际操作水平和时间有限，本课题的研究也存在一些不足之处：
（１） 调查实验的对象涉及的范围不够广，选取的样本容量不大；
（２） 测试材料虽是经过笔者的精心选择，但是否完全科学可信还有证明；
（３） 函数内容的丰富性和复杂性，教学策略的研究也有待于实践来证明。
（４） 由于本人的理论水平还不够，教学案例的认知分析还不够深刻。
此外，对于本课题还可以进行以下几方面的研究：
（1）基于新课程标准下的新教材中的函数教学内容做理论分析和实践研究；
（2）如何将函数教学与现代信息技术进行有效整合。
（3）函数内容的丰富性和学习的开放性。
注 释
[1] National Council of teachers of mathematics (1989) Curriculum and evalution stards for school mathematics Rsteon VA:Author.
[2] Forelich.G.W Bartkovich K.G.Q .Foerester .P.A(1991) Connecting mathematics.In.c.R.Hirsch(ED) Curriculum and evalution standards for school mathematics attend a series grade 9-12Rsteon VA.National Council of teachers of mathematics.
[3] 《普通高中数学课程标准（实验）》 [M] .中华人民共和国教育部. 制定，人民教育出版社 2003年4月第1版.P50
[4] 中华人民共和国教育部（2001）《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》[M].北京：北京师范大学出版社.P20.
[5] 郑毓信著.<<数学方法论>>[M].广西教育出版社.1991.P100
[6] (美)M.克莱茵著.<<古今数学思想>>第一册[M].上海:上海科技出版社.1979.P41
[7] (美)M.克莱茵著.<<古今数学思想>>第二册[M].上海:上海科技出版社.1979.P40.
[8] D.Ruthing著.袁向东译.<<函数概念的一些定义>>.<<数学译林>>.1986.P260-263.
[9] F.Cajori.A History Of Mathematical Meetings Chicago:The Open Court Publishing Company.1929.P268-270.
[10] 彭林、张宇.<<函数概念的形成>>.<<中学数学教学参考>>2003年第11期.P61-62.
[11] 数学百科全书编译委员会译:<<数学百科全书>>第二卷,科学出版社.1995,585.
[12] 人民教育出版社中学数学室编著.九年义务教育三年制初级中学教科书代数(第二册)[M].北京:人民教育出版社.2001.P82.
[13] 吴厚兴:<<函数>>.<<中国大百科全书.数学>>,[M].中国大百科全书出版社.1989.P289.
[14] 日本数学会编:<<数学百科辞典>>.[M]科学出版社,1989年,P48.
[15] 人民教育出版社中学数学室编著.全日制普通高级中学教材(必修)数学第一册.[M] .北京:人民教育出版社.2000.P51.
[16] 人民教育出版社中学数学室编著.全日制普通高级中学教材(必修)数学第一册.[M] .北京:人民教育出版社.2003.P48.
[17]华东师范大学生数学系编.高等学校教材<<数学分析.上册>>-2版.[M]北京:高等教育出版社.1991.P10.
[18] 华东师范大学生数学系编.高等学校试用教材《高等数学上册》.[M]北京:高等教育出版社.1983.P6.
[19]恩格斯.<<自然辩证法>>(中译本)[M].北京:人民出版社.1971年第1版.P236.
[20] 教育司基础司编.<<普通高中数学课程标准(实验)解读>>.[M].北京:人民教育出版社.2003年.P333-334.
[21] 张大均著.<<教育心理学>>[M].北京:人民教育出版社.1999年7月第1版.P105.
[22] 刘金容.浅议函数.函数的极限.函数的连续性 已被吉首大学学报[J]录用.
[23] 黄炳生.函数概念的两个注记.<<工科数学>>.[J].P259.
[24] 曹才翰.章建跃著.数学教育心理学.[M].北京:北京师范大学出版社.1999年12月第1 版.P96.
[25] 王子兴.宋秉信.昌国良著.中学数学教育心理学[M].湖南:湖南师范大学出版社.1999年5月第1版.P211.
[26] 吴庆麟著.<<教育心理学>>[M].上海:华东师大出版社 2001.P239-241.
[27] 毕恩材著.<<数学教学艺术论>>[M].广西:广西教育出版社. 2002年5月第1版.P167.
[28] 数学教学中需要正确处理的几个关系 中学数学教学参考[J] 2003.9
[29] 项目组《义务教育阶段国家数学课程标准、征求意见稿》 数学教育学报，[J]2000.9
[30] 邓东皋.孙小礼等编.<<数学与文化>>[M]北京:北京大学出版社,1999.11.P38.
[31] 刘金容.中学数学教育应重视数学的人文价值的作用《中学数学杂志》 [J].2004年优秀论文专辑.
[32] 李善良 初中阶段数学史教育的调查与分析<<数学教育学报>>[J] 1997年11月,第9卷第4期.
[33] 陈昌平主编.<<数学教育比较与研究>>[M]上海: 东师范大学出版社.2000版.
[34] National Council of teachers of mathematics (2000) Principles and standards for school mathematics Rsteon VA:Author.
[35] 王子兴主编.数学教育学导论.[M]广西：广西师范大学出版社，1996年，P146.
[36] 曹才翰. 数学教育概论 北京：北京师范大学出版社.[M] 1990年P275。
[37] 雅克、德洛尔等著《教育__财富蕴藏其中》。联合国教科文组织总部中文科译，教育科学出版社 [M]1997 P76-77.
[38] 覃运初.数学课堂生活化的实施策略.广西教育学院学报.[J]2001.08
[39] 施银燕. 构建从文本走向人本的数学活动教学. 江苏教育.[J]2003.8
[40] 刘建文.问题教学法在数学教学中的实验研究.教法与学法.[J]2003.6
[41] 顾冷元.教学案例与它在教师培训中的重要作用.(讲话稿)
[42] 许芬.新课程理念下的中学数学课堂教学案例的选择与撰写.[J]2004.3
[43] Randolph Philipp.Second International Coference On Mathmatics Education May 10-14 .2000.HangZhou China.
[44] 沈翔著：数学新题型研究.上海：华东师范大学出版社 [M]2003 .P86-90
[45] 李士锜.李俊主编.数学教育个案学习.上海：华东师范大学出版社，[M]2001.P6.
【基于函数概念的认知分析的教学策略研究】相关文章：
关于商誉概念演进的研究04-29
基于战略治理的企业环境风险研究08-28
初中的政治教学策略分析论文07-29
初中物理实验教学策略研究06-14
基于BP网遥感影像分类研究与应用08-10
基于顾客价值的需求，流动网挖掘策略分析06-04
基于军网的雷达远程诊断技术研究08-10
基于web的异地并行设计与制造系统研究06-02
基于组织行为学分析沃尔玛企业文化05-01