对函数概念学习的认知过程分析

时间：2024-06-24 20:49:43 理工毕业论文我要投稿

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对函数概念学习的认知过程分析

3.1影响学生函数概念学习的因素
3.1.1函数概念的形成经历了多次扩展,抽象程度很高,学生难以理解.
在第一章的叙述中，我们可以清楚地认识到函数概念从17世纪开始，曾扩展多次，并且越来越抽象。函数这一概念的发展流程如下图1：

图1
现代认知心理学认为人们在头脑中是以某种命题网络的形式表征知识的，并且这些命题是按层次结构进行存储。一般来说较为抽象概括的知识处于高层，而较为具体的内容处于低层。从下图4.1中可以看出：

     人们头脑中有关动物的知识是分层次存储的，最高层是有关动物及其共同的本质特征，次一层是有关鱼与鸟的本质属性，而最下一层是一些具体的动物种类的特征。这样，使得人类对知识的认识过程分为两大类：即由一般到特殊（从上到下）和由特殊到一般（从下到上）的认识过程。[21]函数概念的演变过程经历了“由特殊到一般”的弱抽象过程，这种弱抽象结果使函数这一概念的包性更强，更抽象，处于命题网络的顶层。（如下图所示）所以学生学习起来必然感到困难。
3.1.2教材中函数概念的定义叙述语言严谨、深刻,学生难于理解概念的内涵与外延。
例如，初中数学教材中的定义，这个定义是用描述性语言给出的，此后学生学习一些简单的具体函数：正比例函数、反比例函数、二次函数等，并了解它们的一些简单性质公式、图像、单调性等。教材编写者考虑了与初中生的认知水平相适应。尽管如此，学生学起来还是比较困难。主要原因在学习变量之前，学习大多是接触常量。这就要求学生思维上一个台阶。由常量向变量的飞跃。首先学生难于理解变量的涵义，其次，x在某一范围内的每一个确定的值……。都有唯一确定的值与它对应中的“毎一个”，“唯一确定”，“对应”等词都难以理解。学生还难分清“谁是谁”的函数。函数定义本身也存在缺陷 “y既是x的函数”,同时y又是x的函数值 ,它们之间混淆了。又如高中教材中的函数定义，突出了“对应法则”是函数的核心，它严格区分了函数与函数值，但什么是“对应法则”定义中没有明确是一个缺陷。如，有相同的定义域和值域，它们有不同的运算，两个对应与g是否相同呢？此处两个函数中的对应还可理解为同一个对应的不同表达形式，视为同一函数。[22]又如，既可以说是同一个函数，又可以说不是同一个函数，按其本质来说应是同一个函数。[23]从集合“笛卡尔积”出发来定义函数，得到函数的现代定义克服了上述缺陷，但不适合在高中引入，与学生的认知水平不符。此外高中教材中的定义是在集合与映射的基础上定义的，映射本身也是一个抽象难懂的概念，如果学生没有完全掌握，将会阻碍后续学习。例如在问卷2和3的调查中关于判断是不是一个函数一题，学生中就误认为映射的思想就是函数的本质。而没有抓住函数的本质是变量之间的相倚性。函数是用来描述客观世界变化的重要数学模型。比方说长方体的体积（v）是由长、宽、高三者决定的，那就说明它们之间存在着相倚性，但却很难联系到多个集合与一个集合之间的映射。虽然映射的思想不是函数的本质，但却能最深刻地刻画函数的本质。由此我们知道学生之所以出现调查中的情况关键在于没有领会映射思想，没有建立概念内部与概念之间的联系，而仅仅记住其表现形式或语言表述。此时他所掌握的概念是孤立的，实际上并没有正确理解概念，不能真正解决具体问题。
３．１．３学生的经验
学生获得概念的能力随着年龄的增长，经验的增长而发展，智力也是影响概念学习的重要因素之一。但研究表明，就智力与经验对概念学习的影响程度来看，经验的作用更大，丰富的经验背景是理解概念本质的前提，否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。[24]这里的“经验”除包括学校学习的经验（包括数学活动经验，以及其它学科学习的经验）以外，还有来自日常生活而且日常生活经验在学习中发挥着重要的作用。事实上，学生掌握的科学概念许多都是从日常概念发展而来的。如初中生在学习函数概念，必须准确掌握“变量”、“对应”和“运动”的涵义，（而这几个概念都可从日常生活经验中掌握）否则便不能真正获得“函数”这个概念。教学实践表明，学生生活经验越丰富，他们的已有知识越准确牢固，已有技能越熟练，掌握新概念就越有利，同时也可以看出学生形成概念之所以遇到困难，也与学生所把过去经验不恰当地迁移到新情境有关。[25]
3.1.4学生的认知策略
认知策略，即学生面对新概念学习所采取对策，包括注意、记忆和思维方式的选择与修正等，也能对获得概念产生重要影响[25]。在函数概念学习之前，基本上是常量数学，所学的数学概念属于形式逻辑的范畴。函数研究变量，变量的本质是辩证法在教学中的应用，即函数是一个辩证概念。学习时学生的思维发展水平要从具体形象思维过渡到抽象逻辑思维。在这个过程中，学生渐渐地脱离对感性经验的依赖，由经验型抽象思维逐步上升为理论型抽象思维。初中生以形式逻辑思维为主，高中生在继续完善形式逻辑思维发展的前提下，辩证思维发展渐渐占主流。高中生的辩证思维基本上还处于形成与发展的早期阶段。而函数概念的学习要求学生思维能够进行静止与运动,离散与连续的相互转化。这给学生形成了认知上的障碍。学生学习函数定义对函数的三要素（定义域、值域、对应法则）的掌握，和符号“ ”（对应法则）表示的意义学生最难理解。因为具有“隐蔽性”，它的具体内容很难从符号上来想象，即使所表示的对应法则是确定的，学生也缺乏足够的为符号建立起具体内容的经验基础。这样一方面是学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期，思维水平基本上停留在形式逻辑思维范畴，只能局部地、静止地、分割地、抽象地认识所学事物。另一方面函数概念是一个辩证概念，其特征是发展的、变化的处于其他概念相互联系之中。形成函数概念必须冲破形式逻辑思维的局限，进入辩证思维领域，这个矛盾构成了函数概念学习的认知障碍。
3．1．5学生情感
学习函数概念和学习其它知识一样，甚至需要学习者有更强烈的学习需要，由于函数概念涉及到许多子概念，如“变量、常量、对应、唯一确定”等。另外函数概念的表述是一个相当繁杂和高度抽象概括的形式，，学习起来容易使人感到茫然，这就需要学习者有积极的学习态度和坚强的学习意志。由此可见，学生对函数知识持的情感会影响他学习函数概念的效果。
此外，学生的智力水平，语言表达能力、概括能力等对函数概念的学习都有不同程度的影响，本文不作一一探讨。
3.2函数学习的认知发展
数学本身是一门抽象性很强的学科,而函数概念又是这门学科中诸多概念中抽象性比较强的一个概念.正因为如此,大量的教育教学与调查表明函数概念是学生数学学习中最困难的概念之一.笔者在上一节中已经详细分析了影响学生函数学习的诸多因素.通过第二章第一部分函数教学案例及简要分析得知：就中国的函数教学而言,一般用两种方式引入函数概念教学,在初中用变量定义的方式,在高中用映射、对应的定义方式。最新版的教材直接用对应的方式定义函数。这种安排在一定的程度上遵循了函数概念的历史发展本来的顺序，也符合人们对于函数认知过程上的发展性、阶段性。为了比较分析，笔者利用上一章提到的问卷２对高二、高三学生共计２００人作了抽样调查；利用问卷３对非数学专业的大四学生和数学专业的大四学生和部分数学教师共计２００人做了调查，通过调查发现学生形成函数概念以及理解函数的认知水平普遍偏低，对函数概念的掌握与预期的教学目标大相径庭。
３．２．１函数定义及其表象
函数定义方式很多，在第一章第一节中列举了一部分，因而学生对于函数概念的学习，常会遇到多个表象。如图像、列表格形式、解析式、箭头实例等。对于同一函数概念的多个表象在同一水平上被使用，这些表象使学生清楚潜在概念，因而影响概念的抽象过程，在问卷２和问卷３的调查中发现，学生只记得函数的某些表象，而对函数定义的本质没能很好地掌握。但同时我们也清楚地认识到在概念学习中表象比定义本身起着更重要的作用。
通过调查发现，学生头脑中函数概念的发展大致经历作为“算式”的函数，作为“变化过程”的函数，作为“对应关系”的函数。低年级的学生头脑中“算式”的函数表征占多数。这一类学生还没有真正利用函数的概念定义来解决与函数有关的问题，仅仅将知识停留在所学过的方程、不等式的代数式上。比如在问卷１的第４题，要求学生判断是否为一种函数关系。有部分学生认为它既不是一次函数，也不是二次函数，有另一部分人认为没有学过。对于这个过程，很多学生只停留在表象的认知上——函数的解析式，不会利用数学形结合的思想解题。又如问卷２中第２题，求二次函数的最大值和最小值。学生中有一部分是这样解题的，当时，；当时，故，和，这个问题可以看出他们仅仅将函数看成是多项式且区间知识不牢，表示混乱，这种情况同样是他们没有吃透“数形结合”的函数思想，以致这种混乱思想会困扰学生做其它与函数有关的问题，如求函数的值域问题。学生在初学阶段解题往往把函数图像与函数的解析式孤立对待，难以把图像的特点与解析式所反映出来的性质结合起来。随着学生阅历的增加，学生的认知水平不断上升。持“变化过程”的函数这一表象的这一类学生，对问卷２和问卷３的第１道题的回答中，有：函数是有定义域、值域和解析式的整体；函数反映的是因变量随着自变量变化而变化的式子。此类学生比前类学生自身的认识能力即抽象能力明显高，但还是不能对函数概念做出正确的解析，忽略了函数定义中的关键之处，任意一个自变量对应唯一一个因变量。随着知识的加深以及练习难度的加深。学生掌握函数也在深入。例如调查问卷２中第２题中的第二类解法的学生，将函数配方后得且，故当时，取最小值，当时，取最大值。以及第三类解法的学生画出函数图像，利用图形求出最值和的解法都正确，但是比较起来两类学生有较大的区别。后一类学生能活用函数图像的功能，前一类学生并没有真正将数与形结合起来。已形成了作为“对应关系”的函数的学生对新知识的领悟能力较强，能正确地描述函数的定义。由此学生对函数概念的认知发展并不是每一个学生都能完成的。个人对概念的理解与其所具有的理解力有密切联系。人的能力因人而异并不完全相同，对函数概念的理解也不尽相同。
３．２．２学生对函数认知发展的阶段性。
初中、高中、大学课程里对函数的不同定义，以及学习者自身数学背景的变化使得不同年龄段的学生对函数的理解出现了较大的差异。如初三学生的调查中发现，学生在理解函数的过程中，首先把这一概念与自己已有的知识相联系。如二次函数的表达式的书写形式“ ”与一般的表达式的书写形式类似，学生容易把函数与代学式混淆，并在解题中相互替代从而导致错误。另外初次接触变量，对变量的理解不透彻。如问卷１的第２题，两个学校都有超过半数以上的学生重新解了“新方程”。大学生与高中生的比较中发现，大学生在学习了多值函数定义后，有些学生会与中学学习的函数概念产生混淆。有学者曾指出，当学生第一次面对某一个数学定义时，他们将几乎不可避免地只遇到一个极其有限的可能范围，这就会使他们的概念表象带上某些特定的痕迹，这会导致后来对概念的认知发展学习中产生冲突。在函数学习中，学生在初中接触的函数概念与在高中学习的函数概念以及大学遇到的多值函数概念是有明显的差异的。这就使得他们在进一步理解函数的过程中产生冲突。笔者给数学专业的老师和数学专业的大四学生和非数学专业的本科生做了相同的问卷３。在这里给出他们对相同题目回答的正确率的对比表。
正确率
题目
非数学专业学生
数学专业学生
数学专业老师

９２.８％６０％９７％

８０％８５％９４％

８０％８５％９４％
小明小华小黄的对应身高７０％７５％９５％
从表中可以看出有些问题数学专业的学生还不如非数学专业的学生。
３．２．３对内潜于现实中的函数关系的感知。
几个年级的学生都对给出解析式的函数关系较为熟悉，而对于函数关系不很明显或以一个较为熟悉的生活现象出现时，学生对做出的答案显得明显不够自信。而让学生自己举出一些生活中接触到的函数时，学生觉得更困难了。举出来的例子大都是平时教科书或习题中出现得比较多的与生活有联系的问题。这说明学生对于内潜于现实生活中的函数现象不敏感。不善于将生活问题转化为数学问题。分析其中的原因，可能之处在于以往的学校函数教学中，虽然让学生明确了函数的形式化定义。但给学生提供的函数例子多为以解析形式给出，从已有的函数关系出发，去加以研究，学生较小经历或没有经历过在已有实验数据的基础上，自己总结出来的函数关系的过程。因此这样的函数教育都是在没有背景下学习函数，很少把函数知识一开始就镶嵌于生活现象中，这样的教育已不适应当今数学教育改革的潮流了。正如丁尔升教授所提出的：各年龄段的学生都必须经常探索学校数学中学到的比较原始的模式与紊乱的现实世界实际资料数学据间的关系，现实数据比编造的更可信。
３．２．４专家——新手对函数问题解答的对比分析。
随着学习的发生和胜任能力的获得，人的知识和各个部分将会日益相联系起来。专家对记忆中的这些信息作了因果顺序的组块处理，由此将问题情境中的目标与子目标相互联系起来，这样便能在下一步的行动中提供反馈。[25]专家型的个体遇到问题时便能提取一些具有内在条理性的信息组块，而不是一些支离破碎的信息。在不同的学科领域里，新手型个体（或初学者）的知识前后不联贯,头脑中只是一些孤立的定义和对核心术语及概念的肤浅理解。具体到面对有关函数这一知识问题来说，专家型个体马上就可提取出函数是一种特殊的对应关系，特殊在任一自变量都对应而且只对应唯一的因变量。因而在判断问卷３中的第３题和第４题时，专家型个体能迅速抓住“任一个“ ”只有在都对应唯一个“ ””的情况下，才是函数。问题就变得非常容易了。而对于新手型个体，头脑中的知识结构模糊，有些同学只记得定义中有“ ”，因而误认为“ ”不是函数，因为根本就没有“ ”的出现，同样对判断是否存在函数与图像对应时，也是瞎猜。有些人头脑中有一些错误的函数定义的表征，因为函数的表示法中有图像法，错误地认为凡是图像都有相应的函数与之对应。故专家型个体的正确率明显高于新手型个体。在平时的教学中我们应该注意促使学生头脑中的知识具有条理性和相互联系并成为易于提取的较大的知识组块，便于在解题时迅速提取。
对问题的一定的表征形式总是同人是否能够发现任务中的蛛丝马迹，或执行一系列的解题步骤相关联。通过对比分析充分认识到专家型个体在接触到问题或任务时则能作出推论，并能鉴别出能统率这些表面结构的一些原理。而新手型个体只依照问题或任务中的一些表面特征在进行运作。如在问卷３的第６题的调查结果发现，相当于新手型的高中生很难选全，其实问题并不难，只要抓住了切入点。新手型个体容易被问题中一些假象所迷糊，甚至有人定势地认为题中给出的图像就是蚂蚁行走的折线图,没有完全弄清题意，仔细思考。

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