函数概念的“源”与“流

时间：2023-03-29 03:17:56 理工毕业论文我要投稿

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函数概念的“源”与“流

函数概念的“源”与“流
1.1函数概念的“源”
马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中的不定方程的研究，由于罗马时代丢番图对不定方程已有相当的研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽。
自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙的中心，它本身又有自转和公转，那么下降物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上？行星运行的轨道是椭圆，原理是什么？还有，研究在地球表面上抛射物体和路线、射程的影响问题，既是科学家力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题。函数概念就是从这些运动研究中引申出来的一个数学概念。在伽利略的力学著作《两门新科学》中用文字语言叙述了一些函数关系。如：“从静止开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比”。“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑时间与平板的长度成正比”。[5]等等这些叙述只需引进适当的数学符号就可表示为简洁、明确的数学关系，这些文字语言是早期函数概念的雏形。
17世纪上半叶，笛卡尔把变量引入数学，他指出了平面上的点与其数对之间的对应关系。当动点作曲线运动时，它的坐标和坐标相互依赖并同时发生变化，其关系可由包含的方程式给出。相应的方程式就揭示了变量和y之间的关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义。
从现存文献中可知，最早提出函数概念的，是17世纪德国数学家莱布尼兹。于1673年他用“函数”一词表示幂，如都叫函数。随后在他的一部手稿里，他又用“函数”一词来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量——例如：切线、法线、次切线等的长度以及纵坐标等。[6] 莱布尼兹的函数概念使用范围狭窄，后续的数学家在此基础上做了许多扩展工作。
1698年，莱布尼兹的学生，瑞士数学家约翰、伯努力提出新的函数概念：“由变量x和常数所构成的式子叫做x的函数。”[7]1718年他又进一步规范了这一定义：“一个变量的函数指由这个变量和常数任意一种方式构成的一个量。”[8]伯努力所强调的是函数要用公式表示。后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式表达上，只要一些变量变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式表示就不作为判别函数的标准。
1734年，瑞士另一数学家欧拉，首次使用了符号表示变量数，他的例子是，后人据此发明了表示变量x的函数值。[9]1755年，欧拉在其论著中把函数定义为：“如果某些变量以某种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些变量是后一些量的函数。”在此定义中，就不强调要用公式表示了，由于函数不一定要用公式表示，欧拉曾把画在坐标系里的曲线叫函数，他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”
1797，法国数学家拉格朗日，从分析学的角度对函数概念做了扩展：“所谓一个或几个变量的函数是任意一个适合于计算的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中。”无独有偶，1822年法国另一个数学家傅里叶，在他的名著《热的解析理论》中定义为：“通常函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的毎一个都是任意的……我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个。”在该书里，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数。[10]证明在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了。
19世纪是数学大发展的时代，除了创立大批新的数学分支和分析基础严密是其显著特色。数学家他们在考虑巩固数学基础的同时，对函数概念“发散”状况也做了种种规范，主要是突出了变量与对应关系。
1823年，法国另一数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变量间存在一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其它变量的值可随着而确定时，则将最初的变量叫自变量，其它各变量叫做函数，在柯西的定义中，首次出现了自变量一词。
1834俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样一个数，它对于毎一个x都有确定的值。并且随着x一起变化，函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”这个定义指出了对应关系，可以求出毎一个x的对应值。
1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的任何一个值，总有一个完全确定的y值与之对应，则y是x的函数。”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只需一个法则存在，使得这个函数取值范围中的任何一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其它形式。这个定义比前面的定义更具有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便，因此这个定义曾被长期使用。
19世纪中叶以后，数学家从函数的适用范围对这一概念做了不同程度的扩展。例如德国的黎曼1851将变量推广到复数；英国的布尔和德国的佛雷格又将变量扩展到逻辑符号；德国的戴德金则直接使用“元素”和“映射”表示变量，使函数概念由具体描述上升到抽象概括。

1.2函数概念的“流”
随着近代数学的发展，人们对函数的认识越来越深刻。到了19世纪70年代，德国数学家康托集合论的产生后，建立了函数的结合对应定义，也就是用“集合”与“对应”来叙述：“给定两个集合A和B，如果按照某种确定的对应关系，对A的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，则这种对应关系称为从A集合到集合B的函数。类似于现在高中数学课本中的函数定义。
    20世纪初，生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐的矛盾。20世纪20年代，人类开始研究微观物理现象，1930年量子力学面世，在量子力学中需要用到一种新的函数—— -函数，即。[17]
- 函数的出现，引起了人们激烈争论，按照函数原理定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“ ”作为数，另外对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零的函数，这也是不可想象的。然而， -函数确实是实际模型的抽象。例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力，从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点处压强是，其余点处，因为无压力，故无压强，即，另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即。
   函数概念在这样的历史条件下能动地向前发展，20世纪60年代以后，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念——“关系”。设集合X、Y，我们定义X与Y的积集（笛卡尔积）为，积集中的子集R称为X与Y的一个关系，若，则称x与y有关系R，记为，若，则称x与y无关系。则从集合X到集合Y的函数有如下定义：1）是X与Y的关系，即，2)如果，必有，那么为X到Y的函数。[11]在此定义中已在形式上回避了“对应”的术语，全部便用了集合论的语言了。
   目前，推广的函数概念的定义中把诸如“算子”和“泛函”（函数的函数，包括某些广义函数）等名词都包含进去了，以适应日新月异发展的数学。我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及相邻学科的发展。
    回顾函数概念的“源”与“流”，我们看到，函数概念逐渐从直观到抽象，从含糊到精确；大致经历了三个阶段：从罗马时代到17世纪中叶：朴素直观、通俗易懂但不严格的描述阶段；17世纪末到19世纪60年代：大致为常量与变量的表述阶段；19世纪70年代到当今：发展到集合与对应，映射与关系抽象定义阶段。这个发展流程与学生认知函数的过程基本一致。因此历史上许多定义都对我们今天的教学有启示作用。例如，早期的函数定义谈到的“解析表达式”、“由曲线确定关系”、“依赖变化”等，尽管其范围狭窄、表述不明确，但生动直观，学生容易理解，所以可以作为正式定义前的铺垫材料；中期的定义除了“变量”、“对应”这两个概念未明确外，总的来说比较严谨，学生也可以接受，所以略加修改就可以作为函数的正式定义。后期的定义只用到集合概念，严谨抽象，中学生不易接受，但对函数的进一步学习与研究以及加深对函数概念的理解大有用处。
   当然，在进行数学教育时，根据教育对象理解程度不同而采取不同的函数定义是必要的，有时候还常常借助于几何直观（函数图像）来理解函数概念。人们认识由浅入深，由片面到全面，函数概念也随着学习数学的进步而不断更新完善的。以上我们分析了函数概念的整个发展历程，下面我们来看看数学中真正使用了哪些定义。

1.3函数概念的不同表述
初中教材中函数概念的表述：“一般地设在一个变化过程中有两个自变量与，如果对于的毎一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数。”[12] 该表述与狄利克雷的函数定义类似。此表述的特点很直观，并且明确指出自变量在某一给定范围可以取任意值,因变量按一定规律也相应每次取唯一确定值。而此表述相对于初中要掌握的常量、变量、函数（一次函数、二次函数、及其图像、反比例函数和性质）完全够用。而且这个表述对初中生来说，也是容易理解的。
工具书上的定义：《中国大百科全书、数学》为函数单列一条，在讲明“函数是一类依赖关系的一种数学概括” 后定义：“设D是一非空的实数集，是某一法则。如果对于毎一个数，唯一地确定出一个相对应的实数，则称为定义于D上的一个函数。”[13]
《数学百科辞典》指出：“目前在数学中，函数一词一般是在和映射完全相同的意义下使用的。”在集合A、B之间，当给出使A的各元素对应B的某几个元素的规则，称确定了由A到B的映射。映射也称为函数或者变换。函数在这里已不称其为函数了，成了映射或变换的代名词。[14]
高中教材中的定义1：如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射：就叫做A到B的函数，记作：，其中，原象的集合A叫做函数的定义域，象的集合叫做函数的值域，函数符号表示“ 是的函数”，有时简记作函数。[15]
高中数学教材中定义2:设A,B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数 ,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称 :A B为从集合A到集合B的函数,记作: 其中叫做自变量, 的取值范围A叫做函数的定义域,与值相对应的的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.[16] 高中教材中的定义与康托尔集合论出现后所给出的函数定义类似。是在集合基础上用对应的方式给出的（先定义映射也是用对应的方式给出的），这两个定义更简明、严谨。定义2避开了映射这个定义也避开了映射学习对后继学习的影响。高中要学的所有函数（幂函数、指数函数、对数函数、函数的单调性奇偶性、反函数、三角函数、反三角函数）等均可用这两个定义表示，而且这两个定义相对于高中生的认知水平，也是可以接受的。
数学分析中的定义:给定两个实数集和 ,若一个对应法则 ,使内每一个数 ,都有唯一的一个数与它对应,则称是定义在数集上的函数,记作：（）。数集称为函数的定义域。对于中的每一个根据法则所对应的中的数 ,称为在点的函数值,常记为。全体函数值的集合称为函数的值域。[17]
高等数学中的定义：设在一个变化过程中有两个变量和，若对于的取值范围内的每一个值，按照某一个确定的对应法则，有唯一确定的值与之对应，则称是函数，记作，变量称为自变量，变量称为因变量。自变量的取值范围称为函数的定义域。当自变量在定义域内取定某个值时，按照确定的对应法则所得到的因变量的相应值称为函数在处的函数值，记作，并称函数在处有定义。当自变量在定义域上取值时，相应的函数值全体称为函数的值域。[18] 由以上的两个定义可以看出，大学教材中的定义是在中学教材中的定义的基础上做了适当修改。

1.4引入函数概念的意义
从人类数学发展的整个历程来看，一个根本的转折点是17世纪中叶，笛卡尔引入变量。恩格斯给予了高度评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成了必要，而它们也就立刻产生。”[19]也正是由于人们对变量、函数概念的认识，数学科学由初等数学时期（或称常量数学时期）进入了高等数学时期（或称变量时期）。函数概念不仅使得人类数学思维发生了质的飞跃，而且导致了数学科学的蓬勃发展，数学中的许多概念或由函数派生，或由函数统率,或可归之为函数观点研究。因此，可以毫不夸张地说，函数是近、现代数学的基石。
函数在数学教育中的重要性体现在：函数是中学数学教育内容中重要的基础概念之一。进一步学习的数学分析，包括极限理论，微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本的概念和研究对象的。其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具。此外函数的教学内容还蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义教育和爱国主义教育的好素材。函数的思想方法广泛地渗透到了中学数学的全过程和其它学科中。通过对函数概念的学习，对学生的思维发展具有重大作用，它将使学生通过这一概念的形成引发对思维水平质的飞跃，并引导其由形式逻辑思维范畴进入辩证思维范畴。

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