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数控机床误差分析技术问题的研究(一)
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绪 论
1.1课题的提出与意义
数控机床是制造业实现自动化、柔性化、集成化生产的基础，其水平的高低和拥有量多少是衡量一个国家工业现代化的重要标志。工业发达国家把数控机床视为具有高技术附加值和高利润的重要出口产品。数控机床已成为关系到国家战略地位和体现国家综合国力的重要基础性产品[1]。高速、高精度是数控机床发展的一个主要方面，据统计从上世纪中叶至今的50年里，机床的加工精度每隔8年就提高一倍[2]。随着数控加工技术的广泛应用，对数控加工精度的要求日益提高。对工厂而言，提高产品质量在一定程度上意味着需要淘汰一批精度低的现有机床，但这对我国大多数数控机床用户来说是一笔不小的投入。若维持现有设备成本，很可能无法满足用户对数控机床精度的要求，若从根本上提高数控机床的制造精度，无疑将导致生产成本的大幅度上升，影响用户购买的积极性。针对我国数控机床生产和应用的具体情况，如何经济有效的提高数控机床的精度是一个极有研究价值的课题。
在研究影响加工精度的因素时，应当对机械加工的全过程进行分析。分析表明，影响加工精度的误差主要有几何误差和动误差两个方面。几何误差包括加工原理误差、工件的装夹误差、调整误差、刀具误差、机床主轴回转误差、机床导轨导向误差和机床传动误差。动误差包括测量误差、刀具磨损、工艺系统受力变形，工艺系统受热变形、工件残余应力引起的变形。其中，几何误差和由温度引起的误差占机床总误差的70%[3]。
在机械制造业中，被加工零件的尺寸精度、形状精度和相对位置精度是机械加工精度的重要指标。为了提高机床加工精度，各国学者作了大量的深入，提出了很多行之有效的方法。纵观这些方法，可以将他们分为两大类：误差防止法和误差补偿法[3，4]。
误差防止法是通过提高机床零部件的加工与装配精度，加大机床系统的刚度以及严格控制机械加工环境等方法来提高机械加工精度，即在制造和设计过程中来消除可能的误差源。该方法有一个致命的弱点，即机床的性能与造价成几何级数关系增长。同时，由于数控机床的机构复杂，零部件非常之多，机床的工况复杂等问题，使得单纯采用误差防止法来提高机床的加工精度是十分困难的。
误差补偿法是通过分析影响加工精度的不同误差来源，建立空间误差数学模型，利用前馈预报技术对机械系统误差进行修正，从而提高机械加工精度。该方法可用普通的机床加工出高精度的产品，实现“不使用精密加工设备的精密加工”[5]。因此，非常适合于我国制造工业发展现状：即工业底子薄，中、低档数控设备比率较大，且在短期内难以对现有设备进行大量的更新和改造[6]。我国工业基础差，与发达国家有很大差距，再加上资金少，使用的数控设备档次较底，基本上都是中底档数控设备，且难以对现有的设备进行大量的更新和改造。而误差补偿技术的最大的特点就是在无需大量投入资金的情况下提高加工精度，创造更大的效益。误差补偿技术对我国机械制造业的发展意义更为重要。攻克误差补偿技术难关，进而进行广泛推广，这肯定会使我国机械行业整体质量有很大的提高，创造巨大的经济效益。因此，对误差补偿技术的深入研究与应用，不仅有利于我们跟踪世界前沿课题，达到技术领先优势，而且更重要的是，该项工作是我国机械行业目前亟待解决的关键课题之一[4]。
综上所述，对数控机床误差分析技术问题的研究，不仅有利于我们跟上世界前沿的课题，而且更重的是，针对我国制造业的发展现状，对机床加工工件精度的提高提供了重要的技术方法，对我国制造业加工现状有很明显的经济效益，对我国的经济快速发展提供了新的动力。
1.2 课题研究的背景综述
机床精度的高低是用误差来衡量的。一般的说，数控机床机械部件主要由床身、立柱、转轴、拖板、工作台及传动部件组成。每个部件都可能导致误差的产生。影响数控机床的误差源大体可划分为[7,8]：
1） 机床部件及构造导致的几何误差；
2） 运动误差；
3） 热变形产生的误差；
4） 力产生的误差，包括：载荷变形误差、轴加速时偏心力产生的误差及切削力产生的误差。
5） 材料不稳定导致的误差；
6） 检测系统的测试误差；
7） 机床装配导致的误差；
8） 磨损产生的误差，这包括刀具系统的磨损；
9） 定位产生的误差；
10) 外界干扰误差，主要指环境条件的扰动和运行工况的波动所引起的误差。
最传统的误差补偿方法应算是借助凸轮、靠模、校正尺等机械式补偿机构，实现对精密机床系统误差进行修正的方法，虽然机械机构式的误差补偿方法取得了一定的成果，但该方法存在着设计周期长、结构复杂、笨拙、成本高、柔性差等问题，难以满足单件、小批等生产的要求[9]。
随着计算机技术及检测技术的不断发展，以及人们对机床运动规律的认识不断深入，以机床运动模型及功能芯片为主体的误差补偿方法，逐步替代了传统的机械机构误差补偿方法，在当今数控误差补偿研究中一直占主导地位，并取得了明显的效果[4]。
现在，以数控机床误差模型为基础的误差补偿实施方法主要可分为两类[10]：其一是软件补偿法，其二是硬件补偿法。目前使用的误差补偿方法主要是硬件误差补偿方法，该方法是通过开发以微处理器芯片为核心的误差补偿控制器及专用接口电路，向数控机床传送空间点位误差补偿信息而达到误差补偿的目的。数控机床的基本功能模块有数控系统、伺服单元、反馈环节。相应的误差补偿器也分为三类：NC型、前馈补偿型和反馈修正型。反馈修正控制器由美国技术和标准局的Rogel和D.Kilmer负责研究，并取得成功。该方法通过修正反馈的脉冲数，实现了对三坐标加工中心的空间误差进行修正。该方法虽不受数控系统类型的限制，但仍存在两大弱点：其一是对每个轴的位置反馈环节必须加一套修整方案，成本高，不利于调试和维护；之二是反馈环节增加误差修正环节改变了数控机床本身的机电动态特性。总体来说，误差补偿控制器对数控系统有很大的依赖型，由于数控系统、伺服系统的多样性和封闭性，严重阻碍了该项技术的普及推广。
与硬件补偿法相对应的是软件补偿方法，软件误差补偿是通过修改数控加工代码或者执行补偿指令来实现加工误差的补偿。这样，采用软件补偿方法就可以在不对机床的机械部分做任何改变的情况下，使其总体精度和加工精度显著提高。
1.2.1 几何误差建模技术研究现状
数控机床空间误差（几何误差、热变形误差和承载变形误差）建模，是软件误差补偿的关键技术之一[11，12]。关于几何误差建模的方法，一直是国内外学者的研究的重点，先后经历了几何建模法、误差矩阵法、二次关系模型法、机构学建模法、刚体运动学法，多体系统理论建模法几个阶段[13]：
1977年，Schultschick 用矢量表达法建立了三轴坐标镗床的空间误差模型；
1977年，Hocken用矩阵变换对坐标测量机(CMM)进行几何误差建模；
1986年，Donmez等人推导了机床的广义误差合成模型，该模型既考虑了几何误差，又考虑了热误差；
1992年，Chen得人在研究中去除了刚体运动假设，可以对非刚体误差进行补偿，而且通过标准其次坐标变换方法建立了几何误差和热误差两者的模型；
1993年，Kiridena等人用机构学推导了五坐标机床的空间几何误差模型；
2000年，Rahman等基于其次坐标矩阵建立起多轴数控机床的准静态误差综合空间误差模型，该模型还包含了几何误差、回转轴误差、热误差和机床部件弹性变形误差。
在国内，1994年天津大学章青博士利用多体系统运动学推到了任意结构机床误差建模方法；2003年北京那个工业大学的范晋伟教授使用多体系统理论推到三坐标数控机床通用几何误差补偿算法，该算法在北人印刷集团实地试验取得明显的误差补偿效果[14]。
由于机床机构复杂，工况多变，加上环境因素的影响，热变形误差早已引起人们的注意，也是补偿技术的难点之一[10]。几何误差和热误差是数控加工时的主要误差源，占数控加工总误差的70%左右。相对来说，几何误差比较稳定也比较容易测量从而便于进行补偿，而热误差的补偿却不那么容易，因为热误差的产生是一个动态过程，具有非线性、时滞等特点，用传统的方法很难对其进行补偿。
载荷误差主要体现在大型或重型机床上，如镗铣床的滑枕悬臂的下垂变形，龙门铣床主轴箱移动引起横梁变形等。综观现有文献，对误差载荷的处理方法主要有两种：一是在线测量法[15]，该方法是在机床的特定位置上安装一些标准快，通过大量的实验拟合出载荷误差与标准快的变形之间的关系，机床工作时通过测试在线检测标准快的变形，利用拟合的数学关系间接的得到载荷变形误差值。另一种是理论计算法，因为数控机床的载荷变形主要表现为结构变形和结合面变形。结构变形通常用有限元和边界元等方法计算，结合面载荷变形通常用接触变形理论来处理，利用大量的实验拟合影响结合面载荷变形的特性系数[16，17]。
本研究课题不考虑热变形误差及承载变形误差，在只考虑几何变形误差条件下，对数控机床进行建模。
1.2.2 软件误差补偿技术研究现状
国外软件补偿大体经历了一下的发展阶段[18]：
1967 年，French 和 Humphries 提出在数控程序的编程阶段解决数控机床的误差补偿问题；
1970 年，产生了以通用微机平台和误差修正算法软件为主体的软件误差补偿思想；
1977 年，由Hocken 等人首先提出了以微机平台及数控指令修正算法为主体的软件误差补偿思想，其着重应用于坐标测量机检测数据的误差修正，而在数控机床加工领域的应用还不多见；
1985 年，G. Zhang 成功的对三坐标测量机进行了误差补偿。测量了工作台平面度误差，除在工作台边缘数值稍大，其它不超过1μm，验证了刚体假设的可靠性；
1994 年末，Kiridena 和P.M.Ferreira 在其长期从事的误差补偿研究与实践经验总结基础之上，再次强调了软件误差补偿的重要性，并进一步指出通过软件误差补偿有可能获得很高的补偿精度；
1998-1999 年有关重复加工中，检测己加工工件的误差，进而通过修正刀具路线的方法，提高待加工工件加工精度为内容的软件误差补偿技术文献日益增多，反映出软件误差补偿技术具有很强的发展趋势；
在2000 年美国Michigan 大学Jun Ni 教授指导的博士生Chen Guiquan做了有意的尝试，运用球杆仪(TBB)对三轴数控机床不同温度下的几何误差进行了测量，建立了快速的温度预报和误差补偿模型，进行了误差补偿。
在我国应用极其广泛的是中低档数控机床，几何误差约占机床总体误差的70%左右，国内学者对机床几何误差也进行了深入研究：
1986 北京机床研究所开展了机床热误差和坐标测量机的补偿研究；
1997 年天津大学的李书和等进行了机床误差补偿的建模和热误差补偿研究；
1998 年天津大学的刘又午等采用多体系统建立了机床的误差模型，给出了几何误差的22 线、14 线、9 线激光干涉仪测量方法，1999 年他们还对数控机床的误差补偿进行了全面的研究，取得了可喜一定的成果；
1998 年上海交通大学的杨建国进行了车床热误差补偿的研究；
1996到2000年在国家自然科学基金和国家863计划项目的支持下，华中科技大学开展了对数控机床几何误差补偿以及基于切削力在线辩识的智能自适应控制的研究，并取得了一些成果；
在2003 年，北京工业大学范晋伟教授使用多体系统理论运动学推导出三坐标数控机床通用几何误差补偿软件，该软件在北人印刷集团实地实验取得明显的误差补偿效果。
图1.1 软件误差补偿技术流程图
这样可以修正由于机床几何运动所引起的误差，可以提高加工精度，当然机床的加工精度还受到其他因素的影响，如刀具磨损、载荷、温度、湿度等，但由于这些因素产生的误差相对于机床的几何运动误差还是较小的，本文提出的误差补偿方法的是机床几何运动误差，对于其他因素的影响没有考虑在内。
自误差补偿技术问世以来，经历了传统误差补偿、硬件误差补偿和目前日趋成熟的软件误差补偿。传统的误差补偿方法存在着设计周期长、结构复杂、笨拙、成本高、柔性差等问题，难以满足单件、小批、灵活、多变的现代生产及市场竞争要求；而硬件补偿法对数控系统又有很大的依赖性，由于数控系统的多样性和封闭性，并且开发的控制器和接口电路会影响机床的机电匹配特性等问题，严重阻碍了该项技术的应用与推广；在这种背景下，人们逐渐开始重视软件误差补偿法，该方法实现了“不使用精密加工设备的精密加工”，具有极高的性能价格比，已逐步发展成为当今提高机床加工精度的主要方法。
1.3 主要研究内容
本课题以如何提高数控机床加工精度为目的而展开的，主要针对三坐标数控机床的误差补偿问题，研究一下几个内容：
1. 分析多体系统的建立方法，对多体系统进行简单的描述，并对多体系统的低序体阵列进行补充，建立多体系统的运动模型和误差模型。
2. 数控机床是多体系统的一个特例，将多体系统运动学理论具体的应用到数控机床的误差建模中去，对机床的结构进行分析并且用机床结构二叉树来描述，建立不考虑几何运动误差的数控机床多体系统通用模型，给出工件坐标系和刀具坐标系上的给定点在惯性坐标系中实际位置的数学模型。
3．保证数控机床刀具中心的实际轨迹与待加工工件上的理论刀具中心轨迹完全一致，建立考虑几何误差影响的数控机床机构运动学模型，并且给出工件坐标系和刀具坐标系上的给定点在惯性坐标系中实际位置的数学模型，同时建立了有误差情况系的通用数控机床精密求解方程。
4．描述三坐标数控机床的几何误差，建立了ZK7640三坐标数控铣床的运动模型，同时给出了该铣床的精密加工条件方程。
5．数控机床误差分析软件的程序总体设计
采用MATLAB软件进行编程，根据ZK7640数控铣床的精密加工条件方程，分析理想条件下已知刀具路线坐标值求解数控指令坐标值，已知数控指令坐标值求解刀具实际轨迹，用迭代法求出精密加工数控指令坐标值，最后具体分析数控指令坐标值修正前后的加工误差变化，同时绘制出相应的仿真图。
多体系统运动模型和误差模型的建立
2.1多体系统理论概述
多体系统理论是研究多体系统问题的一门科学，具有很好的通用性、系统性，尤其是电子计算机高速发展的今天，多体系统理论利用计算机程序和算法进行复杂系统动力学和运动学的计算，满足了经典动力学和运动学理论不能解决的复杂问题分析计算的需要。多体系统是对工程实际中大量涌现的多个刚体或柔体通过某种形式联结的工程对象的概括和抽象，是分析和研究机械系统的最优模型形式。任何机械系统都可以通过概括、抽象，提炼成多体系统。多体系统理论已在机器人、多轴机床等机构的运动分析与控制中得到应用。但是迄今众多体系统理论流派均侧重于多体系统动力学的研究，而对多体系统运动学理论的运用研究多集中在理想刚体的运动情况，未建立起实际条件下的多体系统运动学理论，这也在一定程度上阻碍了多体系统运动学理论的实际应用。
2.2 多体系统拓扑结构的描述
多个物体通过没有特定的形式连接起来就构成多体系统。对多体系统的拓扑结构加以描述并建立多体系统的低序体阵列，是多体系统理论的基本问题。机械系统结构形式多种多样，如床身有立式、卧式、龙门式等，通过拓扑的方法描述，可以将复杂的结构抽象成简单的体的形式。图2-1就是一个典型的多体系统，通过低序体阵列，可以将任何一个物体追溯到大地坐标系中去。设惯性坐标系为体，任选一体为体，然后沿远离体的方向，以增长数列标定每个物体的序号，从系统的一个分支到另一个分支，直到全部物体标定完为止，图2-2是对图2-1系统的编号的结果，令标定脚码与各数字对应。
图2-1 多体系统
图2-2 对图2-1多体系统的编号
可见除以外，每个物体都有一个相邻的较低序号物体。当推导运动学和编制计算方法时，需要为系统中每个物体的较低序号物体制定一个表格，用表示，称为“较低序号物体阵列”，表示物体的序号。令为待研究系统所在的参考系，把看作的较低序号物体，则的序号应为0。
对图2-2的系统，当时，为
（2-1）
多体系统低序体阵列描述了开环多体系统的拓扑结构的特点。根据多体系统示意图就能写出反之，已知就能画出多体系统示意图。
图2-2所示的多体系统的低序体阵列描述，见表2-1。
表2-1中为多体系统中典型体的序号，为典型体的n阶低序体的序号，可表示为
（2-2）
式中 ——为低序体算子；n, k ——为正整数。
由式（2-2），典型体的相邻低序体可表示为
（2-3）
且补充定义
（2-4）
（2-5）
表2-1 多体系统的低序体阵列
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 1 1 5 6 6 8
0 0 1 0 0 1 5 5 6
0 0 0 0 0 0 1 1 5
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
作为低序体阵列的补充，其他三种阵列在推导运动学算法时也很有用。即“末端体阵列”、“分支体阵列”和“中间体阵列”。顾名思义，“末端”体即位于系统边界点上的物体，“分支”体是含有多于一个分支的物体，即非末端体，又非分支体，称为“中间”体。
在图2-2中的多体系统，末端体为、、 ，没有相邻更高体序号物体的那些物体即可判断为末端体，所以，末端体是表2-1中那一行没有列出的物体。在图2-2中，分支体为和，凡是有一个以上相邻更高序号物体的那些物体即可判别为分支体，所以，分支体是表2-1中那一行有重复序号的那些体。在图2-2中，中间体为、和，与末端体和分支体一样，也可由对行的检查而确定中间体，即中间体是在表2-1中那一行出现一次，且仅出现一次的物体。
2.3 多体系统中典型体的物理描述
图2-3 理想情况多体系统中的典型体及其相邻低序体
多体系统中的典型体及相邻体（）如图2-3所示。体的运动参考点为，它固定在上，其相对于原点用固连在体上的位置矢量描述。用相对于的位移矢量描述体相对于体的相对移动。在和体上分别固连了动坐标系：，，和：，，，分别称为体参考坐标系和体参考坐标系，则称右旋正交基矢组、、相对于右旋正交基矢组、、的变化就表示了体相对于体的转动。令变换矩阵的各元素分别为
（m，n=1，2，3） （2-6）
则右旋正交基矢组、、相对于右旋正交基矢组、、的关系表达为：
（2-7）
变化矩阵描述了相邻体参考坐标系间的相互变换关系，称之为相邻体变换矩阵。
2.4 多体系统运动模型的建立
运动学方程可分为：零级运动方程（描述位置和姿势），一级运动方程（描述速度和角速度），二级运动方程（描述加速度和角加速度），和高级运动方程（描述跃变和角跃变，即加速度的导数和角加速度的导数）。由于零级运动方程在制造系统运动误差分析中占有突出的地位，所以下面研究零级运动学方程。
根据图2-3，可得在惯性系中的矢量表达
（2-8）
式中： ——依照低序体阵列求和，且；
——含分支内任意体的位置矢量和位移矢量；
如令为体相对于R的变换矩阵，由于变换矩阵遵循传递法则，故有
（2-9）
式中：表示按低序体阵列连乘，且
典型体位置方程的矩阵表达式为：
（2-10）
式中： 为体参考点在参考系R中的位置矢量的分量阵列表达式；
，为和在中的分量阵列；
体上任意点P在R中的表达式为：
（2-11）
2.5 多体系统误差模型的建立
在有误差的情况下，多体系统理论理想表达式就不能准确的描述多体系统的运动状态。为了达到精度控制的目的，必须建立与误差条件相适应的新的多体系统的位置表达式。考虑误差后，相邻体相对运动示意图如图2-4所示。当位移为零，误差为零时，与重合。表示原点和原点间初始位置矢量，表示位置误差矢量。表示相对于的位移矢量，表示位移误差矢量。当数控机床部件发生位移时，位移既是位置增量。在位置矢量和位移量之间点增设一个坐标系，并将改写成，且定义为位置坐标系，为位移坐标系。
图2-4 有误差时多体系统中典型体及其相邻低序体
依图，根据矢量关系，可知
（2-12）
（2-13）
如不考虑方位误差,可得
（2-14）
式中 ——与相对位移间的方位变换矩阵；
——与相对位置间的方位变换矩阵，如式(2-15)；
（2-15）
式中 C——cos；
S——sin；
,,——相对于的相对位置变换矩阵卡尔丹角。
令,,表示位置方位误差。由于数控机床是较精密的设备，,,都是一个较小的值，可近似的取,,其余类推。故位置方位误差矩阵可简化为
（2-16）
又知，体相对于体的运动形式有平动和转动。当为平动时，位移变换矩阵为单位阵
体相对于体的转动主要有三种情况，绕的x轴转动α、绕体的y轴转动β以及绕体的z轴转动γ。与其相对应的变换矩阵分别是
如令表示位移方位误差，当方位误差很小时，可取其余类推。则位移的方位误差矩阵可表示为
（2-17）
当存在方位误差时，根据传递关系，则有
（2-18）
考察典型体上任意点（如图2-4所示），其在参考系中的位置方程为
（2-19）
2.6 本章小结
多体系统是对工程实际中大量涌现的多个刚体或柔体通过某种形式联结的工程对象的概括和抽象，是分析和研究机械系统的最优模型形式。任何机械系统都可以通过概括、抽象，提炼成多体系统。本章对多体系统进行了概括，描述了多体系统的拓扑结构，对多体系统中的典型体进行了物理描述，建立了多体系统的运动模型和误差模型，为三坐标数控机床的运动和误差模型的建立做了理论准备。
三坐标数控机床运动模型与误差模型建模
3.1 数控机床结构描述
数控机床由床身、工作台、溜板箱、主轴箱和刀具等组成，为了建立通用的数控机床运动模型，对各种数控机床的结构进行总体概括、分析与抽象是必不可少的工作。经过对常用的数控机床分析，可将机床机构归结为两条运动链：一条为“工件——机架”运动链，另一条为“刀具——机架”运动链。从工件（工作台）到机架之间的运动链为“工件——机架”运动链，由m个运动副串联而成；从刀具（主轴）到机架之间的运动链为“刀具——机架”运动链，由n个运动副串联而成。在进一步分析可知，数控机床各运动部件之间只有单自由度的相对运动并且有三种约束类型，分别为刚性联接、销型（回转）和棱柱型（平移）。因此，数控机床只是一类特殊的多体系统，且为开环多体系统，它没有超出一般多体系统的研究的范围，可以用多体系统运动学理论来建立三坐标数控机床的运动模型与误差分析模型。
为了对数控机床的结构进行合理、清楚的表达，这里采用有源二叉树来描述（如图3-1所示）。图中左半部代表“刀具——机架”运动链，右半部代表“工件——机架”运动链，左右两运动链用包含转轴和线性轴的二叉树表示，通过分别在左右两运动链内选择转轴和线性轴的不同组合形式，可构成不同的数控机床。该树的每个中节点有一个前驱节点和两个后继节点，树叶节点仅有一个前驱节点没有后继节点，这些节点代表了机床的不同运动部件。树根节点无前驱节点，仅有两个后继节点，树根几点代表了机床床身，它的两个后继节点分别描述了刀具分支及工作台分支这一属性。除树根节点以外的其他节点，与去后续节点的连接，均描述了其后续节点的运动属性，如回转及回转方向或平移及平移方向。这样，通过这一形象且简单的数据结构，用户可以很方便的准确定义其所使用的数控机床。
图3-1 机床结构二叉树描述
3.2 数控机床通用运动模型的建立
数控机床是一类仅有两个分支的特殊多体系统，体与体之间的链接用到单自由度的平移和销链接。虽然数控机床一般最多只有五个运动部件，但这五个运动部件的运动形式以及各部件处于哪个分支却十分灵活多变，为给出各种数控机床的通用运动模型，特提出如图3-2所示的多体系统拓扑结构模型。
图3-2中共有两个分支，每个分支各含有五个运动体，相邻体间均以六个相对自由度来建模。该模型应用于具体的数控机床时，将根据上述数控机床二叉树数据结构，将多体系统中多余的物体参数约束为零，从而达到具体数控机床的准确描述。
图3-2 不考虑几何误差的数控机床多体系统通用模型
在图3-2的模型中，“工件—机架”运动链B—W由如下体链接而成： ，其中为5个运动体，相邻体之间的运动为平动或者转动；“刀具—机架”运动链B—T，由如下体链接而成：，其中为5个运动体，相邻体之间的运动为平动或者转动。
根据多体系统理论，在无误差情况下，典型体上点P在惯性坐标系R中的位置可表示为：
(3-1)
式中 ——不考虑误差情况下，典型体体坐标系相对于惯性坐标系的实
际变换矩阵，可表示为：
式中 ——理想情况下，低序体分支中体的运动参考坐标系相对于体
的体参考坐标系变化矩阵；
——理想情况下，低序体分支中体的体参考坐标系相对于其体运
动参考坐标系的变化矩阵；
由以上分析可以得出，对于图3-2的模型中“工件—机架”运动链，典型体W（工件）体坐标系上给定点P在惯性坐标系中的实际位置表示为：
(3-2)
式中 ——典型体（工件）坐标系中给定点P在惯性坐标系R中的位置列阵；
——典型体（工件）坐标系上给定点P在工件坐标系中的位置阵列；
——不考虑误差情况下典型体W体坐标系相对惯性坐标系的变换阵
(3-3)
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