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类型空间离散的不完全信息二维价格博弈研究
摘 要：本文通过分析类型空间离散的不完全信息二维静态价格博弈和单独博弈与二维博弈的均衡结果比较，并经过算例验证，得出了结论：分析证明了当两种产品无相互替代性时，分别采取价格策略的双寡头一维静态博弈模型是本文二维静态价格博弈模型的特殊情形;当两种产品具有一定替代性时，对每一种产品进行单独博弈的均衡策略劣于联合对两种产品进行二维博弈的均衡策略。
关键词：多维博弈;价格;贝叶斯纳什均衡;不完全信息
一、引言
在现实经济活动中，企业之间存在多个具有相互影响的博弈问题，如企业对具有一定替代性的多种产品的生产进行博弈的问题。当企业对每一种产品进行博弈时，除了要考虑竞争对手同类产品策略对本企业产品的影响外，还要考虑其他替代性产品策略对该产品的影响，这就构成了多维博弈问题。
谭德庆在论文中系统的介绍了多维博弈的定义和基本理论，并给出了完全信息和不完全信息下的静态和动态博弈基本模型和均衡解;[1]其后又分别研究了产量――价格策略多维静态博弈、类型空间连续的不完全信息多维静态价格博弈、类型空间离散的不完全信息多维静态产量博弈以及不完全信息动态二维价格博弈等多种多维博弈模型;文献[2]则研究了关于具有一定替代性的新旧两种产品在完全信息下的动态产量-价格策略下的双寡头二维博弈模型及其均衡，并与单独博弈的情形作比较，体现了多维博弈在具有替代性产品的博弈中的优越性;文献[3]比较了完全信息与不完全信息下具有替代性产品的古诺竞争的均衡结果，表明了不完全信息下产品的替代性对均衡产量和利润均有影响;本人也曾在论文中探讨了不完全信息条件下的产量――价格策略二维静态博弈模型及均衡[4]。
在实际的市场竞争中，企业在进行产品竞争时，对产品采取价格策略来争夺对手顾客。针对这种情况，已有讨论针对完全信息下的静态双寡头价格策略二维博弈模型及其均衡和类型空间连续的不完全信息双寡头价格策略博弈模型。本文将其拓展到类型空间离散的不完全信息情况下进行相关研究，以期填补这一空缺。
二、类型空间离散的不完全信息二维静态价格博弈
为构建博弈模型，现提出以下假设：
第一，某一地区有两个企业――企业1和企业2――均生产甲乙两种产品，这两种产品具有一定的相互替代性，两个企业生产产品同类但不完全同质，即所生产的同种产品在质量上有一定差异;
第二，两个企业对该地区的产品市场形成垄断，且生产的产品完全供给该地区;
第三，企业1生产的甲乙两种产品的单位生产成本是完全信息，即企业1和企业2均确切知晓企业1所生产的甲乙两种产品的单位生产成本;
第四，企业2所生产的甲产品单位生产成本是完全信息，即企业1和企业2均确切知晓企业2所生产甲产品的单位生产成本;企业2所生产的乙产品单位生产成本为类型空间离散的不完全信息，即企业2确切知晓本企业生产乙产品的单位生产成本，而企业1只知道其生产成本的可能取值及其相应概率。
在静态价格博弈模型下两个企业将同时做出选择，决定自己所生产产品的价格，从而使各自的总利润达到最大。由于其成本信息是类型空间离散的不完全信息，就形成了一个类型空间离散的不完全信息二维静态价格博弈。模型的具体构建过程如下：
设企业i将两种产品的市场价格定为(p，p)≥0，(i=1，2)，(p，p)∈p×p，其中第一个下标表示企业，第二个下标表示产品，p×p则表示企业i两种产品可选择的价格策略集合，即价格策略空间。由于两种产品之间存在一定的相互替代性，那么对于企业的一种产品，其需求量不仅受市场上同种商品(本企业和竞争对手企业的该种产品)价格的影响，同时也受本企业和竞争对手企业的另一种产品价格影响，用函数的形式表达即，企业i第j种产品需求函数为。假设，不同企业生产的同种产品在市场上相互间的影响程度相同(即，如果企业i的甲产品价格对企业j的甲产品需求量的影响系数为，那么企业j的甲产品价格对企业i的甲产品需求量的影响系数也是);某种产品的市场均价对其他产品的需求量影响系数相同(即，如果乙产品的市场均价对企业i的甲产品需求量的影响系数为r1，那么乙产品的市场均价对企业j的甲产品需求量的影响系数也是r1)。根据以上假设关系，可发现企业某种产品的需求量受本企业该产品价格、竞争对手企业同种产品价格、市场上替代性产品平均价格的影响。假设需求函数为如下的线性关系：
(1)
(2)
其中，i，j=1，2，i≠j;、(，>0)分别表示企业j的甲、乙产品价格对企业i的甲、乙产品需求量的影响系数;r1(r1>0)表示乙产品的平均市场价格对甲产品需求量的影响系数，r2(r2>0) 表示甲产品的平均市场价格对乙产品需求量的影响系数。
在模型讨论中，只考虑产品生产的单位成本(忽略产品生产的固定成本)，并假设其为常数。企业1的甲和乙产品的单位生产成本分别为C11、C12，企业2的甲产品的单位生产成本为C21，为共同知识;企业j的乙产品的单位生产成本有两种可能，以的概率取低成本C，以1-的概率取高成本C，其中可能成本取值及其相关概率为共同知识。
企业1：不知道企业2所有产品确切的单位生产成本，该博弈是不完全信息博弈。企业1在知道企业2乙产品可能成本取值及相应概率的情形下，只能最大化自己的期望收益。企业1盈利函数的期望为：
EU1=E[Q11(p11-C12)+Q12(p12-C12)]
={[a-p11+
企业2：乙产品的成本是固定的，该博弈为完全信息博弈。当乙产品采取低成本时，企业2的盈利函数为：
当乙产品采取高成本时，企业2的盈利函数为：
由于盈利函数光滑可导，对企业1的盈利函数EU1、企业2的盈利函数U和U，通过最优化一阶条件并整理为矩阵形式，可得企业1与企业2的向量反应函数。
为了计算和表达方便，联立三个反应函数方程，得出三个未知向量的贝叶斯纳什均衡解
企业1有唯一的贝叶斯纳什均衡解，即当企业2的成本和概率确定时，企业1的产品定价是固定的;企业2根据自己的成本高低选择相应的贝叶斯纳什均衡解。即企业1的策略为，企业2的策略为{}。此解可推广到两种产品成本均为不完全信息的情形，若企业2两种产品成本都有高低两种选择时，则有五个矩阵方程、五个未知向量，也可得解。
三、单独博弈与二维博弈的均衡结果比较
上面研究了不完全信息条件的双寡头价格策略二维静态博弈模型及其均衡，下面讨论其特殊情形。当甲乙两种产品在市场上不存在任何替代性(即)时，即两个企业分别通过对甲产品进行完全信息价格策略静态博弈，对乙产品进行不完全信息价格策略静态博弈时有关的均衡策略问题。
当两企业只对甲产品进行完全信息价格策略静态博弈时，企业1甲产品的盈利函数为：
U11=Q11(p11-C11)=(a-p11+)(p11-C11)
企业2甲产品的盈利函数为：
U21=Q21(p21-C21)=(a-p21+)(p21-C21)
盈利函数光滑可导，利用最优化一阶条件和求出唯一均衡解
(6)
(7)
当两企业只对乙产品进行不完全信息价格策略静态博弈时，企业1乙产品的期望盈利为：
当乙产品采取低成本时，企业2乙产品的盈利函数为：
当乙产品采取高成本时，企业2的盈利函数为：
盈利函数光滑可导，通过最优化条件求出均衡解为：
(8)
(9)
(10)
当甲乙产品不存在替代性时， ，代入式(3)、(4)、(5)，计算得到价格策略静态博弈(企业1和企业2对甲产品进行完全信息博弈、对乙产品进行不完全信息博弈)的贝叶斯二维纳什均衡解。通过比对贝叶斯二维纳什均衡结果式的分量与单独博弈的一维纳什均衡结果式(6)(7)(8)(9)(10)，二者完全相同。因此，对甲产品进行完全信息价格博弈、对乙产品进行不完全信息价格博弈的双寡头静态博弈模型的一维纳什均衡结果的简单组合，就构成了无替代性的两种产品不完全信息价格策略二维静态博弈模型的贝叶斯纳什均衡解。
四、算例分析
对具有一定相互替代性的两种产品进行定价，企业是二维博弈均衡策略的总利润更高，还是对每种产品进行单独博弈均衡策略的总利润更高，可以通过一个算例来进行比较。不失一般性地，假定a=10，b=12，=0.2，=0.3，=0.18，=0.2;企业1甲产品成本为C11=0.5，乙产品单位成本为C12=0.6;企业2甲产品成本为C21=0.7，乙产品单位成本为=0.4，=0.55，=0.5。
将参数值代入式(3)(4)(5)得贝叶斯纳什均衡下的最优策略向量;相应的各自总利润为。将参数值代入式(6)(7)(8)(9)(10)得单独博弈时纳什均衡下的最优策略为;相应的各自总利润为。
算例分析的结果显示，对具有一定替代性的两种产品进行价格博弈时，企业对两种产品进行多维博弈均衡下的总利润，大于对每种产品进行单独博弈均衡下的总利润，多维博弈均衡策略更优。
五、结论
本文研究了在信息不对称的情形下，两个企业对具有一定替代性的两种产品均采取价格策略，所建立的不完全信息静态二维博弈模型，并得到其贝叶斯纳什均衡解。分析证明了当两种产品不相关时，分别采取价格策略的一维静态博弈模型是本文二维静态博弈模型的特殊情形，即，在不存在替代性的情况下，不完全信息条件下的双寡头价格策略二维静态博弈会退化为两种产品双寡头采取价格策略一维静态博弈的组合。通过算例分析得出，对具有一定相互替代性的两种产品进行价格博弈时，对两种产品联合二维博弈的均衡策略优于对每一种产品进行单独博弈的均衡策略，所以此时将两种产品的相关决策联合起来考虑才会得到较高利润。
参考文献：
[1] 谭德庆.多维博弈及应用研究[D].成都：西南交通大学，2004.1.
[2] 刘军，李成金.产量-价格策略下的双寡头动态多维博弈[J].中国管理科学，2008.16(6)150-155.
[3] 王强，陈圻.不完全成本信息下差异产品厂商古诺竞争博弈分析[J].运筹与管理，2010.19(4)52-58.
[4] Xiang Xiaodong，Cao Bing. Multidimensional game of Cournot-Bertrand model with incomplete information and its analysis[J].Procedia Engineering，2012.29.895-902.
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