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导数在函数中的应用
【摘 要】新课程利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值。导数是分析和解决问题的有效工具。
【关键词】导数 函数的切线 单调性 极值和最值
导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。
有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。
一、用导数求函数的切线
例1.已知曲线y=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，求切线方程。
分析：根据导数的几何意义求解。
解：y′ = 3x2-6x ， 当x=1时y′= - 3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3 = -3(x-1)，即为：y = -3x.
1、方法提升：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0， y=f(x0)）处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0， y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0) ，相应的切线方程为y-y0= f′(x0)(x-x0)。
二、用导数判断函数的单调性
例2．求函数y=x3-3x2-1的单调区间。
分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。
解：y′= 3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。
由y′<0 得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。
故 所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为 (0 ，2 )。
2、方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。
三、用导数求函数的极值
例3．求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值
解：由 f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.
当x变化时，y′、y的变化情况如下：
当x=－2时，y有极大值f(-2)=－（28/3），当x=2时，y有极小值f(2)=－(4/3).
3、方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′(x)；（2）求f′(x)= 0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值。
四、用导数求函数的最值
五、证明不等式
5、方法提升：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值”。
总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。
参考资料：
1、普通高中课程标准实验教科书（北京师范大学出版社）
2、高中数学教学参考
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