一道不等式证明问题的感想

时间：2024-09-21 22:15:50 数学毕业论文我要投稿

相关推荐

一道不等式证明问题的感想

　　不等式的证明对高中学生来讲是难点，因为不等量关系比等量关系难以理解更不好利用，再加上不等量变形的技巧妙趣无穷，下面这道不等式的证明将给你一种全新的感觉。

一道不等式证明问题的感想

　　例题：设a∈R，函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)，若|a|≤1，证明：|f(x)|≤5/4。

　　一、构造意识为主线，合理放缩是关键。分析：最大值是5/4，构造二次函数达到目标是比较理想的结果，只是条件;|x|≤1,∣a∣≤1不好利用，只有巧妙的放缩才能完成二次函数的构造。

　　证明一：|x|≤1,|a|≤1.|f(x)|=|a(x2―1)+x|≤|a(x2―1)|+|x|=|a||x2―1|+|x|≤|x2―1|+|x|=|1― x2|+|x|=1―(|x|)2+|x|=―(|x|―1/2)2+5/4≤5/4

　　二、标准模型为目标，合理换元是高招。分析：要证|f(x)|≤5/4 ，只需证 ―5/4≤f(x)≤5/4。这是常规的思路，寻此思路再附以恰当的换元不难找到证明方法。

　　证明二：∵|a|≤1，|x|≤1，可设 x= sinα， a=cosβ ，α，β∈R

　　则f(x)= cosβsin2α+ sinα―cosβ=cosβ(sin2α―1)+ sinα

　　∵―1≤ cosβ≤1， ―1≤sin2α―1≤0

　　∴ sin2α+sinα―1≤f(x)≤―sin2α+sinα+1，

　　即( sinα+1/2)2-5/4≤f(x)≤―(sinα―1/2)2+5/4 ∴―5/4≤f(x)≤5/4

　　∴|f(x)|≤5/4。

　　三、一次函数雾里现，比较大小看增减。分析：f(x)的解析式中把a当成自变量就是一次函数，并且斜率为负数或0，由函数的单调性f(x)的取值范围(不等关系)容易找到。

　　证明三：f(x)= a(x2―1)+x看作是a的一次函数g(a)，

　　由|x|≤1得(斜率)x2―1≤0

　　(1) 当x2―1<0 时，关于a的一次函数g(a) =f(x)是减函数，

　　∴g(1)≤f(x)≤g(―1)

　　∴ x2―1+x≤f(x)≤―(x2―1)+x ，

　　∴ (x+1/2)2―5/4≤f(x)≤―(x―1/2)2+5/4

　　∴―5/4≤f(x)≤5/4 ∴|f(x)|≤5/4。

　　(2)当x2―1=0时， g(a) =f(x)= x

　　∴∣f(x)∣=|x|≤1，显然|f(x)|≤5/4。综上可知|f(x)|≤5/4。

　　四、变量转换出新意，纲举目张非奇迹。

　　分析：把变量a当成主线，变量a的范围可以牵出f(x)的范围，它体现出变量转换的神奇，当然这并不影响变量之间的内在联系，却为不等式的构造开辟了新的途径。

　　证明四：(1)当x2―1<0 时，f(x)=ax2+x―a变形为：a= (f(x)―x)/ (x2―1),

　　∵|a|≤1，∴|(f(x)―x)/ (x2―1)|≤1 ∴ ―1 ≤(f(x)―x)/ (x2―1)≤1 ，

　　去分母得：x2―1+x≤f(x)≤―(x2―1)+x

　　∴ (x+1/2)2―5/4≤f(x)≤―(x―1/2)2+5/4

　　∴―5/4≤f(x)≤5/4

　　(2)当x2―1=0时，f(x)=x∴|f(x)|=|x|≤1，显然|f(x)|≤5/4。

　　综上可知|f(x)|≤5/4。

　　五、常规思路也见效，分类讨论须知道。

　　分析：这本来就是二次函数f(x)在闭区间(x∈[―1,1])内极值的问题，只要就对称轴 (x=―1/2a)的不同位置分别讨论就可得到结论，当a=0时f(x)为一次函数也不要忘记。

　　证明五：函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)，

　　(1) 当a=0时， f(x)=x∴|f(x)|=|x|≤1，结论显然成立。

　　(2)当a≠0时，二次函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)的对称轴是x=―1/2a，由于|a|≤1 ，x=―1/2a∈(―∞，―1/2]∪[1/2，∞)①当|―1/2a|≥1时，无论二次函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)图象开口如何，x∈[―1,1]都是单调区间，必然有|f(x)|≤|f(1)|或|f(x)|≤|f(―1)|，而|f(±1)|=1，∴|f(x)|≤5/4显然成立。②当|―1/2a|﹤1时，二次函数f(x)=ax2+x―a=a(x+1/2a)2-(4a2+1)/4a(―1≤x≤1)(端点处已无须考虑)，在顶点处|f(x)|=|(4a2+1)/4a|=|a+1/4a|≤5/4,a=±1时“=”成立。综上可知|f(x)|≤5/4。

　　不等式的证明本来就没有一定的模式，是发挥学生想象力的领域，上面五种方法充分做到了这些。

【一道不等式证明问题的感想】相关文章：

概率方法证明不等式03-07

不等式证明方法的综合讨论03-07

凹凸函数及其在不等式证明中的应用05-12

势函数解决附不等式约束平差问题的研究03-07