秦汉时期的土地面积单位换算问题

时间：2024-05-26 02:34:31 数学毕业论文我要投稿

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秦汉时期的土地面积单位换算问题

　　秦汉时期的数学史料极其稀缺，每一次考古发现涉及数学的部分，都值得深入研究，以下是小编搜集的一篇相关论文范文，欢迎阅读参考。

　　1中国早期数学文献简介

　　2007年12月湖南大学岳麓书院从香港抢救性收购了一批秦代竹简，这批竹简是继1975年云梦睡虎地秦简和2002年湘西里耶秦简之后的又一次重要发现。其中涉及数学内容的竹简二百四十余枚，总字数6300字左右，完整算题80余例，另有解决某一类问题的单独术文。按照原简背面的标题，这部分被称为《数》，经研究确定其成书时间早于1983年出土于湖北张家山汉墓的《算数书》，成为迄今为止所发现的最早的系统性中国数学文献。

　　秦汉时期的数学史料极其稀缺，每一次考古发现涉及数学的部分，都值得深入研究。但其他一些涉及数学内容的竹简，仅记载零星的数学资料，如清华大学所藏战国竹简中有记载乘法运算的《算表》，2002年发现的里耶秦简中也有“九九乘法口诀”，其能提供的数学史信息均不够丰富。少有像《算数书》和《数》这样较为完整具、编排较成体系的着作。《算数书》自2001年简文公布以来，在数学史界产生了重大影响，关于其作者以及与《九章算术》的关系等问题，学界均作了深入研究和讨论，中国数学史的开篇将因此改写，《算数书》成为不可不书的重要一章。2012年12月《数》的原简照片出版公布，经考古学界和数学史界的初步研究发现，与《算数书》一样，《数》的题目类型、内容、表述方式和解题思路跟汉代成书的经典传世文献《九章算术》有密切联系，与《算数书》也有部分呼应，另外还出现了其他早期数学文献中罕见的驻扎营军问题。

　　而一直作为数学史界研究重点的《九章算术》，在有了《算数书》和《数》这两部出土文献作为文本上的“他者”(theother)的对照，也隐隐凸显出以往被忽略的一些特性，如更宏大的问题背景、更严谨的数据处理和更复杂的制度设计思想等。这或许意味着，在中国传统数学实用取向的基础上，还分化出不同的层次。有必要将传世文献《九章算术》与出土文献《算数书》《数》就其中的典型问题进行深入比较，进一步解释这三者之间的联系与区别，这将有助于我们加深对中国早期数学的理解和认识。

　　2秦汉时期的土地面积单位转换问题

　　上述三种文献中，关于面积单位换算有“平方步与亩”的换算和“平方里与亩”的换算两种。前一种在三文本中均比较常用，而换算的方式往往没有明确给出，有时暗含在术文之中，基本上可以认为这种换算是极为普通的背景知识，且亩在实际运用中是记录面积的最普遍单位标准。我们看到三种文本中凡是结果超过二百四十平方步的答案，全部转换为一亩(又)多少步的形式。

　　而对于第二种转换，三文本中都专门提及，称为“里田术”，但显然应用率不高，《数》中只有里田术文，无算例;《算数书》中有两种术文，一道算例;《九章算术》中有术文，配合两道极为简单的算例。除此之外，未有以里作为单位记录的长度，以及把平方里转换为亩的情况。这与单位里的长度过大有关，依秦制，一里等于300步，在日常的土地测量中用到这么大的计量单位较少。《算数书》中里田术仅有的一道例题后，“直(置)提封以此为之”一句也为我们提示了这一点。提封，亦称提封田。《汉书﹒地理志下》“提封田一万万四千四百一十三万六千四百五倾”，师古曰：“提封者，大举其封疆也。”

　　看来“平方里”的面积单位，在涉及边疆土地的丈量和划界中会使用到。但是，即便在经常处理宏大问题的《九章算术》中，这种计量和换算也很少见。

　　2.1平方步与亩之间的转换

　　《九章算术》中首次提到平方步与亩之间的换算是在方田术文里，“以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一倾”。《算数书》中第64题启广题题中使用了一亩等于240平方步的关系。“启广回从(纵)卅步，为启广几何而为田一亩?曰：启【广】八步。术曰：以卅步为法，以二百卌步为实。启从(纵)亦如此。”

　　求为田一亩时的广长，直接以240(平方)步作为被除数，显然是默认了这一转换关系。而在《数》中的第1714号简记录的“除田之术”为《算数书》和《九章算术》所没有，肖灿博士认为此处模糊的首字可训解为开、启，给出或张开、伸展之意，并转引邹大海先生的观点，认为这与《算数书》中的“启广”、“启从”问题同意，但从内容来看，这却为“启广”、“启从”的逆运算。

　　除田之述(术)曰：以从(纵)二百卌步者，除广一步，得田一亩，除广十步，得田十亩，除广百步，得田一顷，除广千步得田【十倾】1714而笔者认为此处的意义更在于告诉了当从为240步、广为1步时的面积，240(平方)步即为一亩。并且间接提到了单位倾与亩之间的关系，“除广百步，(得百亩)，得田一倾”。在简0829、0954、0976、0761中都运用到了平方步与亩的换算。而可以推测简1714所在原简编连中的位置有可能在这些简之前，否则给出这样简单、化整的数据来说明一条术文，意义并不大。然而这个换算关系并非一直是统一的，“周代的田亩制度，一亩是一百平方步，到秦孝公时，商鞅废井田，开阡陌，制定的亩制是二百四十平方步。在汉武帝之前，周制与秦孝公之制并存，在秦地用的一直是二百四十平方步一亩，到了汉武帝时统一规定，均以二百四十平方步为一亩。”在三种文献的少广问题中，都暗含着一亩等于二百四十平方步的条件，这种换算是直接拿来使用的。

　　2.2平方里与亩之间的转换

　　我们再看介绍平方里与亩换算关系的里田术。《数》中的里田问题比较简单：

　　里田述(术)曰：里乘里=，〔里〕也，因而参之，有(又)参五之，为田三顷七十五亩。0947“叁之，有(又)叁五之”表示用3称，再用5连续称三次，这样一平方里就转化成了375亩，即三倾七十五亩。算术表示为：1(平方里)=1×3×5×5×5=375亩=3倾75亩。这与《算数书》中的一种表述十分类似：

　　里田术曰：里乘里，里也，广、从(纵)各一里，即直(置)一因而三之，有(又)三五之，即为回三顷七十五敌。其广从(纵)不等者，先以里相乘，已乃因而三之，有(又)三五之，乃成。我们先对这个1平方里=375亩的结果作个解释。因为1里等于300步，那以平方步来算，其面积为300×300平方步，再结合一亩等于240平方步的默认条件，得到(300×300)/240=375亩。这个结果与上面3×5×5×5的结果是完全一致的。但这个连乘式有何数学意义，分别为《算数书》和《数》作注释的彭浩先生和肖灿博士都没有给出。彭先生认为“此算法把一平方里为田三百七十五亩以3×(5×5×5)表示，省去把里化作平方步相乘，再以亩法相除的复杂数字计算，并以一位数代替多位数相乘，大大简化了运算。”

　　其实这里只是找到了一种等价的算式，而非简化了运算，(300×300)/240不能直接化简为3×(5×5×5)。其他数学换算思路也都无法得解。这里的算式有拼凑结果之疑，这种做法在《数》中一道盈不足算题里也可以体现。那《九章算术》在里田术方面是怎样记述的呢?

　　里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。亦是直接给出了换算结果，没有数据得来过程。即便连向来全面、严谨的刘徽在这里的注释也只写了“按：此术广从里数相乘得积里。故方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即得商数也”，没有提到任何3×(5×5×5)的步骤。另查沈康身、李继闵两位先生对《九章算术》的经典注释，也都是用(300×300)/240来解释此结果。我们可以怀疑是张苍、耿寿昌在编纂《九章算术》或刘徽在注释《九章算术》时，将当时流传的这个不合理的运算给删去了。若是这样，对数学结果的接受，但不取其不合理的运算过程，这是数学知识的进步，或是更严谨的数学体系(如《九章算术》)对非理性的运算的筛选和过滤。

　　此外，《算数书》中的里田术还记载了另外一种转换方式，“有(又)曰：里乘里，里也，【因而三之】，以里之下即予廿五因而三之，亦其顷亩数也。”忽略其三或五相乘的部分，最终其表示的是将三百七十五亩先化为三倾七十五亩，把三倾七十五亩按单位拆分为三倾+七十五亩。这样在转换平方里为“倾-亩”的单位时，分别拿平方里数乘以“三倾”和“七十五亩”，前者得到的结果单位是倾，后者得到的结果单位是亩。彭浩先生认为这使得庞大的数字计算简化，并为《夏侯阳算经》中“身外加(减)法”之先声。固然对于以算筹计算大数据相乘是有很大不便，但是后一种方法也需要在乘以七十五亩之后，将得到的结果再转化为“倾-亩”制，并与前一项以“倾”为单位者相加方可得到结果。

　　【参考文献】

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　　[3]转引自彭浩.张家山汉简《算数书》注释[M].北京：科学出版社，2001：126.

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　　[7]刘艳.张家山汉简《算数书》所见社会经济生活问题考察[D].2008：62.

　　[8]张家山汉墓竹简整理小组.张家山汉墓竹简(二四七号墓)[M].北京：文物出版社，2006：157.

　　[9]彭浩.张家山汉简《算数书》注释[M].北京：科学出版社，2001：126.

　　[10]郭书春.《九章算术》译注[M].上海：上海古籍出版社，2009：17.

　　[11]彭浩.张家山汉简《算数书》注释[M].北京：科学出版社，2001：127