教学论文：促进小学生数学认知理解的策略
【摘要】理解不仅是手段，理解本身也是目的，但它是一个中间目的，而不是最终目的。我们强调理解在数学教学与学习过程中的核心作用，不是把理解当作教学最终要实现的目标去追求，而是把它当作一个中心环节去给予充分的关注，毕竟从某种意义上说，没有理解就不能有真正意义上的学习，它是对知识进行掌握、应用的前提，也是进行后继学习的基础。
【关键词】数学理解本质剖析自主建构 知识网络
在数学教育界，很多专家和学者提出：学生应该要理解数学。原因何在？因为数学理解对于学生的数学学习具有非常重要的意义。理解不仅是手段，理解本身也是目的，但它是一个中间目的，而不是最终目的。显然，我们要求学生学习数学，是希望学生在掌握数学知识的基础上，能从数学角度去思考问题、理解问题、解决问题，进而锻炼思维、培养情感，最终成为富有创造力的人。所以，我们强调理解在数学教学与学习过程中的核心作用，不是把理解当作教学最终要实现的目标去追求，而是把它当作一个中心环节去给予充分的关注，毕竟从某种意义上说，没有理解就不能有真正意义上的学习，它是对知识进行掌握、应用的前提，也是进行后继学习的基础。
1数学理解的涵义
关于数学理解，着名数学家希尔伯特等认为：“一个数学的概念方法或事实被理解了，那么它就会成为个人内部网络的一个部分……理解的程度是由联系的数目和强度来确定的。”王光明教授将数学认知理解界定为“学生在已有数学知识和经验的基础上，建立新知识的个人心理表征，不断完善和发展头脑中的知识网络，并能将纳入知识网络中的新知识灵活地加以提取以解决问题的思维过程。”陈琼教授认为：“数学理解是学习者先认识数学对象的外部表征，构建相应的心理表象，然后在建立新旧知识联系的动态过程中，打破原有的认识平衡，将数学对象的心理表象进行改造、整理、重组，重新达到新的平衡，以便抽取数学对象的本质特征及规律，从而达到对数学对象的理。”《全日制义务教育阶段数学课程标准》实验稿将理解解释为能描述对象的特征和由来，能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。
以上关于数学理解含义的阐述，主要是针对数学学习中的理解而言的，它们可以统称为数学认知理解，本文所探讨的数学理解即是指数学认知理解。本人认为数学认知理解是指学习者联系自己已有的知识和经验，通过数学学习活动，认识数学学习对象的外部表征，并构建相应的心理表象，然后经过思维加工，打破原有的认知平衡，将数学对象的心理表象重新加以解释，重新建构其意义，从而把新的学习内容纳入已有的认知结构，逐步认识数学对象的本质特征和规律的一种思维活动。
2促进小学生数学认知理解的策略
数学教师要注重学生的认知理解，但“工欲善其事，必先利其器”，为了促进学生的数学认知理解，就必须采用有效的教学策略。
2.1注重提供典型的感性材料，促进数学概念的获得
在新知教学中，为使学生建立起清晰的表象，要借助直观手段向学生提供丰富而典型的感性材料。
例如在教学《认识周长》时，老师用多媒体演示蚂蚁、瓢虫、蟋蟀三种小动物在树叶上的锻炼情景（蚂蚁、瓢虫沿着树叶边线运动，蟋蟀沿着树叶中间的茎运动；其中瓢虫跑完一周，而蚂蚁没有跑完一周）。然后引导学生“边欣赏边观察这些小动物的运动路线有什么不同”，并对小动物运动的`路线进行分类，周长概念的引入便自然和谐。在这样有典型具体材料做支撑点的学习中，学生们学习热情高涨，劲头十足，对周长概念的印象非常深刻。
2.2注重联系具体的生活原形，促进数学概念的形成
一位教育学家说过：“任何数学概念都可以在现实生活找到它的原型，这样看来，丰富多彩的现实世界应当是学生学习数学的背景。”课堂教学要从学生喜闻乐见的生活情境出发，使抽象的数学学习变得具体形象起来，把原来枯燥的数学变的生动起来，这样学习学生就不会感到抽象，而且容易形成生动活泼的学习气氛。
例如，平行线概念的教学，让学生辨认一些熟悉的实例，像操场跑道直道、窗框的上下两条边、黑板的上下边缘、五线谱谱线等，唤起笔直的直跑道线、窗框的上下两条边等学生熟悉的事物的表象。然后设问：如果把这两条跑道线都向两端无限延长，它们会相交吗？这两条窗框的上下两条边、两根谱线呢？通过比较可以发现，它们的共同属性是：可以抽象地看成两条直线；两条直线在同一平面内；彼此间距离处处相等；两条直线没有公共点等，最后抽象出本质属性，得到平行线的定义。这样引入，使学生已有的生活经验成为学习新知的基础，并借助于想象活动，较好地解决学生因抽象思维能力较低而造成的学习障碍。
2.3注重数学知识本质的剖析，促进数学知识的真正理解
数学知识在其形成过程中，往往附带着许多无关特征。因此教学中应抓住重点，引导学生剖析关键词语的真实含义，从而把握知识的实质，尽量减少不利因素的干扰。例如教学《认识周长》时，学生只有对周长概念中的“边线”、”一周”、”长度”等关键词语的真实含义弄清了，才会对周长这个概念有深刻的理解。
如何在教学中剖析数学知识的本质呢？一是狠抓关键词。小学数学中很多数学概念往往是由若干个词或词组组成的定义。这些数学语言表述精确，结构严谨，对这一类事物的本质属性作了明确的阐述。在教学时就要紧紧“抓”住这些本质的东西不放，让学生建立起正确的概念。如平行线的定义是“同一平面内不相交的两条直线”，在学习这一概念时，就应抓住“同一平面内”、“不相交”和“两条直线”这几个关键词不放，引导学生想一想，如果概念中的关键词去掉一个后，会发生什么变化。如平行线的定义中去掉“在同一平面内”，学生便发现会产生图1的情形；去掉“不相交”就会产生图2的情形；去掉“两条直线”中的“直”字，就会产生图3的情形，
显然，这些都不是平行线。从而让学生明确成为平行线的三个基本要点，加深对平行线意义的理解。二是巧用变式。就是不断地变换所提供的事例或材料的呈现形式，改变非本质属性，使学生透过现象看本质，使概念的本质属性更加突出，达到化难为易的效果，由此帮助学生准确形成概念。如在三角形的高概念教学中，通过不同形态（锐角三角形、直角三角形和钝角三角形）、不同位置的三角形的底和高进行比较，就可以帮助学生分清哪些属于三角形高的本质属性，从而准确地理解三角形高的概念。三是加强对比辨析。加强对比辨析、举反例等进行概念教学是行之有效的方法。例如在教学“二分之一”这个概念时，出示大小不同的一个圆形和一个长方形，要求学生分别用涂色部分表示它的二分之一。教师接着提问：“涂色部分的大小、形状都不一样，为什么都用“二分之一”这个数表示？”学生通过比较辨析的方法深化了这个概念。学生说：“阴影部分都表示这个图形的一半，所以用二分之一表示。” 又如教学射线、直线这两个概念后，老师提问：“小胡同学认为，在一条直线上任意点一个点，就得到了两条射线，因此，直线比射线长。”你同意他的观点吗？通过辨析，同学们清晰地认识到直线和射线都是无限长的，他们之间是不能比长短的。设计对比辨析，泛化现象就不会发生，同时概念也得到进一步深化。
新课程的数学教材，在注重数学本质的同时，对一些概念的定义、法则等适当地作了淡化处理。但这并不是不重视概念的教学了，而是为了使学生更好地领悟概念，真正理解概念，体会数学的本质。从这个意义上说，适当的“淡化”是为了真正的“强化”。
2.4注重经历新知的形成过程，促进学生自主建构知识
学习是学生主动建构知识的过程，学生不是简单被动地接受信息，而是对外部信息进行主动选择、加工和处理，从而获得知识的意义。小学数学教学的核心环节就是给学生足够的、充分的时间和空间，让学生经历数学新知的形成过程。同时学习的过程是自我生成的过程，这种生成是他人无法取代的，是由内向外的生长，而不是由外向内的灌输，教师的任务主要是在师生、生生的互动中帮助学生自己建构知识，而不是把前人的知识宣讲给学生。有一种说法：一个好的教师应该是一个建材超市的经理，为学生提供各种建筑材料，然后让学生自己动手去建造自己的房屋。而不是一个房地产的经纪人，把盖好的房子卖（教）给学生。因此在教学中要着重引导学生经历观察、操作实践、猜测、判断、归纳、类比、交流等数学活动，充分体现出概念本质特征的形成过程，体验概念“再创造”的过程。
如循环小数的认识，首先，通过大自然中日出日落、春夏秋冬四季轮换等现象感悟“依次不断”、“重复出现”等“循环”的特征，然后让学生进行10÷3和58.6÷11的计算。当学生怎样计算都除不完而产生疑问时，再引导学生观察每次除得的商和余数，并让学生思考：当余数重复出现时，商会怎样变化呢？随后，通过交流研讨，从而自主建构循环小数的意义。
2.5注重知识的灵活运用，促进对数学知识深层次的理解
数学概念在学生头脑中建立后，要抓住时机，及时地多角度多层次地进行练习。练习的针对性要强，覆盖面要广，要涉及到概念所有的外延。
如在认识平行线概念后，可让学生举例说说生活中哪些物体表面有平行线，这类练习既加深了学生对平行线的认识，又能令所学知识运用到生活实际中，拓宽学生的视野，加强学生对所学知识的实际运用能力；还可以安排判断练习，下面图形中，哪些是平行线？哪些不是平行线？为什么？学生不难找出哪个是哪个不是，但关键是要学生说清楚“为什么”，这是学生对平行线概念的再认识，能加深理解和巩固记忆；再可安排找平行线活动，出示长方体模型，让学生找一找哪些是平行线？当学生指出长方体相对两个面的对角线是平行线时，引导学生讨论，同不同意这观点，学生争辩的焦点是这两条直线在不在同一平面内，这时，教师借助多媒体演示，使大家清楚地看到这两条直线在新创设的同一个斜面内，完全符合平行线的定义，在问题到圆满解决的同时，学生对平行线的定义就有了进一步的认识。
“理解是一种运用所学知识灵活地思考与行动的能力……也是一种与机械背诵与固守答案相反地实践能力。”（Wiske 1977）为此，教学中除了要重视加强数学知识的一般应用外，尤其要加强知识在新环境中的运用，如学习了长、正方形的周长后，可以让学生计算若干个小正方形拼成的长方形的周长，以提高使学生初步学会运用所学的数学知识解决一些简单的实际问题能力，进而能够在实践中主动体验教学的价值与魅力。
2.6促进数学知识的系统化，建立良好的知识网络结构
建构主义学习观一再强调：“要对知识形成深刻的、真正的理解，这意味着学习者所获得的知识是结构化的、整合的，而不是零碎的、只言片语的。教学到了一定阶段，要让学生找出知识间的纵向与横向联系，组成知识系统，穿线结网，转化成学生头脑中的认知结构，这种系统的认知结构不仅有利于知识的巩固、深化，也有利于知识的检索、提取和运用，促进学生知识的迁移，发展学生的数学能力。
例如， 在学生掌握了三角形、梯形等面积公式的推导以后，教师提出既然梯形的面积公式可以从多种图形的面积公式推导而来，那么梯形面积公式与这些图形面积公式之间有什么联系呢？教师运用电子白板演示：1.将梯形上底一个端点向右一侧平着拉伸，使之成为一个平行四边形，这时上底与下底相等，（上底+下底）×高÷2=底×2÷高×2=底×高，即得到了平行四边形面积计算公式了；2.将梯形下底两个端点向中间缩，使之成为一个长方形，这时梯形的上、下底就变成了长方形的长，高变成了宽，（上底+下底）×高÷2=（长+长）×宽÷2=长×宽，即得到了长方形的面积计算公式；3.将梯形上底逐渐缩短，最后缩成一个点，即上底为0，这时梯形面积就转化成了三角形的面积公式。使学生很直观地了解这些计算公式之间的内在联系，帮助学生从整体把握知识结构，从而加深对数学的理解。
总之，数学认知理解是数学学习的关键，教师要善于创设宽松的学习环境，提供丰富的学习材料，激发学生主动参与数学活动，引导学生经历知识的“再创造”过程，引导学生自主建构自己的知识体系，并灵活应用知识，形成对数学知识的深刻理解，不断提高数数学素养。
【参考文献】
［1］《学会数学地思维》 江苏教育出版社 2001.8
［2］《数学方法论入门》 浙江教育出版社 2006年版
［3］《为深层次理解而教》《江苏教育》2008.12
［4］《数学理解之面面观》华东师范大学课程与教学研究所博士生
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