浅议新课程理念下的数学证明教学论文

浅议新课程理念下的数学证明教学论文

　　摘要：数学证明是中学数学教学中的一项重要内容，因而倍受重视。但在数学证明的教学实施中仍有若干问题反复出现。本文在阐述数学证明和数学证明教学的内涵的基础上，探讨了数学证明教学的实施过程，并分析了数学证明教学中应注意的问题。

　　关键词：数学证明 数学证明教学 证明教学的实施

　　1数学证明与数学证明教学的内涵数学

　　证明是应用已确定其真实性的命题来论证或推出某一命题的思维过程。虽然数学证明的内涵不等同于逻辑推理的内涵，但由于大多数情况下，数学证明往往是以推理的形式出现，因而它直接关系到学生推理论证能力与逻辑思维能力的培养。从认知心理学的观点来看，可以将数学证明认为是学生将要证明的问题与认知结构中概念、命题联系起来，从已知的条件、概念和命题出发，推导出新的命题。总的来说，数学证明主要解决存在与不存在、相交与不相交、平行与不平行、垂直与不垂直、相似与不相似、相等与不相等的问题。

　　数学证明教学是对于寻求、发现和做出证明的思维过程的教学，对学生的学习、逻辑思维能力与推理能力等诸多方面发展具有重要作用。斯托利亚尔曾说过“数学证明的教学是对于思维过程的教学”，他认为教证明首先意味着教逻辑推理，并将证明教学分为两个基本水平：其一，证明中的推理规则呈现不明显的形式，集中于“证明内容”和“证明方法”两个问题;

　　其二，学生会对证明作初步的分析，弄清楚逻辑结构和推理规则。在教学的目的方面，传统上普遍关注的是学生逻辑思维能力的培养，而面向新世纪的全日制义务教育《数学课程标准》(实验稿)中指出证明教学关注的主要是证明必要性、证明基本方法和证明过程，而不是所要证明的命题的数量和证明技巧。证明教学目的主要是促进学生理解数学证明方法、发展学生的逻辑思维能力和养成学生严谨思考问题的习惯。

　　2数学证明教学的实施过程

　　美国的贝尔认为，学生学习数学要达到两个目标，一是属于知识范畴的，称为数学教学的直接目标，即：要掌握数学的事实、概念、技能和原理;二是属于能力范畴的，称为数学教学的间接目标，即：要具备证明定理的能力、解决问题的能力、迁移知识的能力、掌握学习方法的能力、独立探究的能力等。

　　当代著名认知心理学家安德森将知识划分为陈述性知识和程序性知识两种。其中，陈述性知识是由人们所知道的事实组成，以抽象和意象的形式表现出来，并可以用语言进行交流;程序性知识是由人们所知道的做事技能组成，以具象的形式表现出来，知识的具体内容很难用语言表达。因此，在这两种知识中，陈述性知识是基于个人有意识的提取线索而能直接陈述的知识，程序性知识是基于个人没有有意识的提取线索而是借助某种作业的形式间接推测。教学生学习数学证明，要首先教给学生基本的概念、原理等陈述性知识，然后再让学生学会证明的具体步骤、方法、和思路等程序性知识。因此，在进行数学证明教学时，教师要注重传授陈述性知识，首先要向学生讲授证明所需要的概念、定理和法则，在学生准确理解和熟练掌握这些陈述性知识后，再转入具体证明的教学，向学生传授程序性知识。

　　在教学实践中，教学生数学证明要从三个方面着手：“证明内容”、“证明方法”和“证明过程”。其中，“证明内容”是指所要证明的问题是什么，要明确认识与要证明的命题有关的定理的内容和条件;“证明方法”是指采取什么样的方法才能推得要证明的命题，由哪些已知的命题可以推出要证明的命题或结论;“证明过程”是指如何从已知的前提条件和定理出发，推导出要证明的命题的步骤和顺序。

　　学生在学习证明问题过程中会遇到两个方面的问题：一是证明思路不清楚，表达也不清楚;二是证明思路清楚，却表达不清楚。为此，要采取措施加以解决。其中，解决“证明思路不清楚的方法”是教师在总结教学内容的基础上，讲解常用的直接证法和间接证法的类型和模式，帮助学生对一些典型题目进行分类、比较，找出证明命题的类型、思路和方法，并在学生运用证明方法的过程中进行启发、诱导和鼓励。解决“证明思路清晰，但表达不清楚”需要教师的耐心鼓励和理解，不能简单粗暴地对待学生。另外，教师在教学时要充分考虑到他们的心理承受能力和所处的运算阶段，引导学生由“具体运算”向“形式运算”过渡，增强学生进行数学形式论证的思维能力。

　　3数学证明教学中应注意的问题

　　(1)数学推理证明的基本要求是：推理要合乎逻辑，证明要有说服力。要达到这一目标，在教学中应注意以下几点：第一，注意推理证明通俗的教学。实践证明，结合具体教学内容，通俗地讲授一些必要的逻辑知识，有助于提高学生的论证能力。第二，注意推理证明规则的教学。为了达到推理合乎逻辑，证明具有说服力的目的，就应要求学生自觉遵守思维规律和逻辑规则。教学中随时纠正学生违反推证规则的错误。第三，加强分析。证明教学就是分析命题中已知和未知的矛盾，分析矛盾的产生、矛盾的关系、矛盾的运动，从分析中找出解决的办法。第四，认真练习。掌握推证方法是要有个过程的，养成良好的思维习惯也不是马上就能达到的，这就需要加强练习。但练习不等于学习，有时候不一定导致学习，对于同一类型的证明题只需适量练习，掌握方法即可，切勿走入题海战术的误区。

　　(2)证明教学的重点应放在结论的推导中，而不应放在结论的证明上。证明教学应该注重对证明方法的理解、对证明过程的讲授，而不应追求所证题目的数量以及证明技巧。为了发展学生对数学的理解，应鼓励学生通过观察、实验、归纳、类比等方法探索规律，提出猜想，然后进行证明。

　　(3)证明教学应注意学生对于证明模式的积累。学生在完成一个复杂的证明题之后，能够主动的反思，不但有助于加强对该题的理解，而且还可以与其它类似的题目进行比较、归纳、分类，有助于形成思维定势。只有让学生先形成一定的思维定势，头脑中储存有一定的证明模式，才能在实际解题时应用模式，最后达到突破思维定势的高度。

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