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浅谈数学元认知策略
在学习时，学习者要学会使用一些策略去评估自己的理解，预计学习时间，选择有效的计划来学习或解决问题。
元认知策略大致可分三种：
①计划策略
②监控策略
③调节策略
通过几个案例分析，来说明教师应如何帮助学生提高他们的数学元认知意识。
一、关于元认知理论的回顾
（一）元认知理论
元认知是20世纪70年代心理学中新兴起的研究内容。在学习的信息加工系统中，存在着一个对信息流动的执行控制过程，它监视和指导认知活动的进行，它负责评估学习中的回顾，确定用什么学习策略来解决问题，评价所选策略的效果，并且改变策略以提高学习效果。执行控制功能的基础是元认知。
1、元认知结构。1976年，美国心理学家弗拉维尔（Flavell）在其著作《认知发展》一书中明确提出了元认知概念。根据弗拉维尔的观点，元认知就是认知的认知，具体地说，是关于个人自己认知过程的知识和调节这些过程的能力，对思维和学习活动的知识和控制[1]。元认知具有两方面的成分：①对认知过程的知识和观念（存储在长时记忆中），即元认知知识——知道做什么。②对认知行为的调节和控制（存储在工作记忆中），即元认知监控——知道何时、如何做什么。
后来，我国北师大发展心理研究所的专家们（董奇、陈英和等）通过以元认知的大量研究，提出元认知过程实际上就是指导、调节我们的认知过程，选择有效认知策略的控制执行过程。其实质是人对认知活动的自我意识和自我控制。
2、元认知策略。学习时，学习者要学会使用一些策略去评估自己的理解，预计学习时间，选择有效的计划来学习或解决问题。元认知策略大致可分三种：①计划策略；②监控策略；③调节策略。
（二）数学元认知策略及作用。
通过大量教学实践表明，元认知在数学学习活动中存在并起着重要作用。
许多学者移植和借鉴一般元认知的研究成果，在数学学科中的应用，形成了数学元认知理论。如侧重定性研究的元认知在数学活动中的具体表现；元认知在数学教育改革的作用（《数学教育学报》1995.4）；元认知开发与数学问题解决（《教育研究》1996、1）；问题解决中的元认知策略训练（《数学通报》2002、9）；以及对数学元认知的性质和培养方面的定性研究。数学元认知策略是应用于整个数学学习过程的“导航器”，在这种策略的指导下，即使学习中思维受阻，也会及时校正思维方向，调整思维路径，形成合理的数学认知结构。大量研究结果表明，数学学习能力强的学生，其数学学习的元认知方面的发展水平都比较高，即他们对自己的数学学习过程与特点有较清醒的认识，具有较多的有关数学学习策略方面的知识，并善于灵活地应用各种策略，监控自己的数学学习。数学学习能力差的学生则与其相反。因此，在具备一定数学基础知识、基本技能的基础上，数学学习元认知，特别是策略应用方面的知识已经成为数学能力的关键。
几年来，我们对数学学习策略进行了一些研究。在实践中对数学元认知策略与数学学习活动关系进行了一些探索，下面以案例分析的方式阐述我们的一些不成熟的观点。
二、学生数学元认知策略和元认知水平的培养
数学元认知水平的提高与学生数学学习策略的掌握是密切联系。我们从提高数学元认知水平，提高元认知计划、监控、调节能力，增强学生数学学习活动中的情感体验等方面的探索与实践出发，给出几个案例分析，来说明教师应如何帮助学生提高他们的数学元认知意识。
〖案例1〗对数学学习活动的计划策略的案例
2002年12月25日，三年级《角和直角》的课堂实录
今天，我们大家一起来研究角和直角。出示课题《角和直角》。
陈老师提问：你们想研究角的哪些知识呢？
俞陈洁：角是怎么样的？
俞 杰：角的边怎么是直的？
吕冰心：角是三角形的。
陈 金：角是尖尖的。
俞 杰：角是平平的。
陈 金：角是由一个端点两条边的。
师：也就是说大家想研究角的形状（板书：角的形状怎么样？）
吕冰心：角的大小是怎么样的？（板书：角的大小？）
师引导：今天我们研究角与直角，你想知道直角的什么知识？
俞陈洁：直角的形状是什么样的？（板书：直角的怎样的？）
梁 伟：直角与角有什么不同？
陈碧辉：怎么来判断这个角是什么直角？（怎样判断直角）
计划策略包括设置学习目标、浏览阅读材料、产生待回答的问题以及分析如何完成学习任务。
资料来源：陈琦 刘儒德 《当代教育心理学》 北京师范大学出版社 2002年版199
分析：《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”这就是说，数学教学活动要从以学生的发展为本，要把学生的个人知识、直接经验和现实世界作为数学教学的重要资源。
（1）任何一个学生学习任何一项新知识，都不是从一无所知开始的，他们在学习之前就已经具备与新知识有关的知识和技能。从学生简单而直接的回答可以看到这一点。如学生提出：“角是怎么样的？”、“角的大小是怎么样的？”、“直角与角有什么不同？”。有学生自己的脑海中肯定出现相应概念意象（概念名称相联系的思维图象以及描述它们所有特征的性质……）。只不过不一定是科学的。从神经科学的研究得出，这种已有经过加工（生活经验积累）的老信息，对新信息（新知识）处理起着关键性作用。当然，我们从一系列学生的问题，可以看出整堂课的学习目标。
（2）从学习信息加工论的视角看，要使学习得以发生，必须有被激发起动机的学习者，要促进学习者的学习就要使其具有一种达到某种目标的动力。只有上述的学习目标建立，学习者想达到目标才会与自己的学习行为联系起来，才会在一项认知活动之前计划各种活动，预计结果、选择策略，想象出各种解决问题的方法，并预估其有效性。
综上所述，数学学习开始阶段，明确所学内容的性质（如数学概念学习还是数学规律学习，是巩固性练习还是综合性问题解决等），对问题情境中的各种信息有准确的知觉和分类，并对有效信息作出迅速选择，调动头脑中已有的相关知识，安排学习步骤，选择学习和解决问题的方法，并估计各方法的趋势和成功可能性，等等，这是学生对自己的数学学习过程进行监控的前提。
〖案例2〗数学学习活动监控策略应用案例
2001年5月17日，四年级学生俞××向陈××老师提出问题
生：陈老师，这几天学习应用题，上课听懂了，当天作业也做对了。但回家做课外作业时，好象无从下手，也不知为什么（情感体验——困惑）？如题目：“同学们参加建校劳动，陈刚4次搬砖20块。照这样计算，他再搬3次，一共搬砖多少块？”
师：读题时要学会自问：这道应用题告诉我们什么条件？什么问题？条件与问题有什么关系？
生：“陈刚4次搬砖20块”、“他再搬3次”。
师：这些条件可以知道什么？
生：（想了一会儿）明白了，前面的可求出每次搬了20÷4=5（块），后面的（又思考了一会儿）可知共搬了7次。
师：不要急于列式，要学会理解题意，去分析条件与问题的关系。
监控策略是指在认知过程中，根据认知目标及时检查评价认知活动。如检查学习内容是否被领会，知识的预备度或熟练度是否不足，策略的选择是否有效，目标设定是否过高或过低等等，把偏差找出来，有监视然后才有调节。
资料来源：北京教育学院心理系 《教师实用心理学》 开明出版社 2000年版112
分析：（1）学习数学的主体对自己的学习和所学知识总有一个评价，评价包括结果的正确性、解法的有效性、程序的简捷性，计划的可行性，对问题的理解的正确性等。实质上这就是元认知监控，当然学生并不知道这一点。学生对自己学习的形成评价，对数学认知活动起收敛作用——数学方法的总结、数学思想的提炼，使学生对数学问题的整体意识，认知层次更清楚。俞××同学对自己理解这个题的评价结果是向老师请教解该类题的解决方式（知所以然）。这是一种对数学认知活动的监控，表现为对数学思维活动中的错误及时纠正，对所存在的问题及时觉察。
（2）学生在数学学习的认知活动中，必须伴随着情感体验，有的还是自觉意识，它常使学生依次来调节自己的学习行为。“如果说，老师有比学生强的地方，那就是老师容易看出哪些可能是弯路，哪些可能会成功，因而弯路走得少一些，成功的可能性大一些罢了。”我们应该能看到，这种能力要在不断的情感体验中来累积。小学生处于积极的情感体验与消极的情感体验交替状态。积极的情感体验能促使主体对原有目标修正，重新调整学习策略。即使遇到思考不清楚的问题时，也能有勇气、有自信心，想方设法克服困难。常常处于消极体验的学生，其表现则反之。因而，教师要细心观察学生的情绪变化。尽可能的让不同的学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。本案例中俞××同学对自己认知产生怀疑，教师通过在学习策略上的启迪，让学生自己经历找到解决问题的有效思路。本质的说，就是让学生自己消除了怀疑感。传统课堂教学上，教师关注的是学生是否会解这道题。教师强加性的反馈，如，“会了吗”、“知道了吗”、“懂了吗”。很多学生所谓的“会了”，实际上存在差异，如案例中的题，更多学生是认为此类复杂的归一问题是20÷4×(4+3)，用学生的话说即：“前面大数（20）除以小数（4），乘以小数（3）加小数（4）。”笔者认为，教师的教学观应从展现解法转向展现思路的寻找过程。在本案例俞××同学短暂的二段思考，就使她经历了“目标——结果”的梳理过程。这样的经历不仅让学生学会了解这道题，更多的是让学生感受到解应用题的内部机制。
〖案例3〗数学学习活动调节策略应用案例[1]
师：同学们，我们一起进行研究。你能用已经掌握的知识或经验来计算 ÷2吗？
学生活动：（1）学生独立探究，寻求计算方法。
（2）小组合作，交流算法。
师：下面我们一起来交流大家的研究成果，哪一个小组愿意先来汇报。
生：我们组有三种不同的计算方法
方法一：是化成小数计算，÷2=0.8÷2=0.4。
方法二： ÷2= =，就是4个，把4个平均分成两份，就是2个即。
方法三：÷2就是求的一半，的一半就是的是多少，也就是只要乘这个整数的倒数就可以了，÷2= ×= 。
师：同学们有没有发现刚才这个同学在汇报这种方法的时候，算式中有两个明显的变化，一是（学生齐说）除号变成了乘号，2变成了倒数。
生：我们组应用了商不变性质，÷2=（×）÷（2×）= ÷1=。
师：老师有一个小小的问题，这里为什么要把被除数和除数都乘呢？
生：因为乘的话就是把除数转化成1了，这样计算就比较简便了。
师：刚才老师发现这一组的同学有一种很好的方法，你们愿意来汇报吗？
生：我们组也是应用了商不变性质，÷2=（×5）÷（2×5）= ，把被除数转化成了整数计算也就简便了。
师；这种方法也很有意思。同学们真不简单，刚才我们创造了5种计算方法，现在我们能否对这些方法进行简单地整理呢？请同学们先仔细观察这些算式。
（观察思索，也有学生在跟旁边的同学低声商量）。
生：我把后面的两种归为一种，因为它们都是应用了商不变的性质来计算的。
生：我觉得其他的几种都可以单独归为一种。
师：大家觉得这两位同学有道理吗？
师：（根据学生的汇报移动板书，并相应地标上序号）
①÷2=0.8÷2=0.4
②÷2= =
③÷2= ×=
④÷2=（×5）÷（2×5）= 或÷2=（×）÷（2×）= ÷1= 。
师：现在请同学们以小组为单位，把这几种方法尝试着应用于（÷4）中，看看同学们是不是又什么新的发现。（合作前请各小组先合理地分好工）
生：我们发现÷4不可以化成小数计算，第一种方法不行。第二种分子直接除以整数的也不行。
生（同一组的学生）：我们组发现第三种和第四种方法都是行的。÷4= ×= ，÷4=（×）÷（4×）= ÷1= ，÷4=（×7）÷（4×7）=3÷28= 。
生（另外一组的学生）：我对刚才那个同学的意见有点想法，我觉得分子直接除以整数的这种方法也是可以的÷4= = = = 。
师：唉！同学们请看这位同学的方法，大家说怎样？
生：也可以的，就是比较麻烦了一点。
师：请同学们仔细观察这几种计算方法，现在大家又有什么新的想法呢？
生：第三种方法比较方便一点。
师：大家都有同样的想法吗？所以我们把这种方法称为常用的一般的计算方法方法。
调节策略是在学习过程中根据监视的结果，找出认知偏差，及时及时调整策略或修正目标；在学习活动结束时，评价认知结果，采取相应的补救措施，修正错误，总结经验教训等等。
资料来源：北京教育学院心理系 《教师实用心理学》 开明出版社 2000年版113
分析：数学学习过程中的关键词：“数学反思”。所谓数学学习中的反思，即自己参与了数学活动，然后脱身出来，作为一个旁观者来看待自己刚才做了什么事情，把自己所做的过程置于被自己思考的地位上加以感悟，以便意识到深藏在自己行为后面的实质。数学反思不单是学习经验的总结，更是伴随整个数学学习过程的定向、监控、分析和解决问题的活动。根据反思时间的不同，Killion和Todnem将反思分为3种类型[1]：其一，对于活动的反思；其二，活动中的反思，自己的想法、做法进行反思；其三，这活动反思，这种反思是以上2种反思的结果，以上述2种反思的结果为基础来指导以后的活动。当前的数学学习存在一大缺陷，就是过分强调操作化。通常数学学习活动是凭借自己的知识经验（当然我们不能否认它的价值）进行简单重复的学习。这种活动所依赖的是那些通常并不清楚的经验和理解进行的自动化的、直觉的操作活动。大多数学生参与数学学习后，他们不知道这个知识是怎么来的，这样学习有什么有。张奠宙教授在“数学课程改革热点问题圆桌互动式研讨会”中就提出了我们忽视的主题：反思。他谈论到：“现在的数学课，往往是前半段课很热闹，学生展示问题，合作探究，但是对探究出的东西教师没能让学生进行进一步的领悟与反思。课堂不能光图热闹，我担心现在的课堂体验、经历多了，但是不能从体验中“悟出”一些高层次的东西，这样下来，学生得不到真正意义上的数学知识。学生对所学的知识进行反思，是一种更深层次的学习过程。”本案例中，整个学习过程，教师总是让学生在数学活动中对所学的数学知识进行领悟、反思，进一步对他们的思考进行梳理、提升。我们可以从二个层面的纬度来分析。纬度一，教师的整体设计渗透了让学生参与“反思”的意识。他从带有特殊性的知识点÷2引入。这样的引入容易激发学生探究的潜能。学生在活动的多种方法呈现就很好的说明问题。在此基础上，老师四两拔千斤，提出新的知识点÷4。让学生自主进行运用。纬度二，教师的引导让学生参与领悟、理解、整理、……。“生：我们组应用了商不变性质，÷2=（×）÷（2×）= ÷1= 。师：老师有一个小小的问题，这里为什么要把被除数和除数都乘呢？生：因为乘的话就是把除数转化成1了，这样计算就比较简便了。”老师的小小问题，老师自己真不懂吗？它给学生们又带来了什么？“刚才我们创造了5种计算方法，现在我们能否对这些方法进行简单地整理呢？”这样简单地整理，不是对几种方法的简单确地整理，而是对分数的一系列知识进行有联系的系统化。“把这几种方法尝试着应用于（÷4）中，看看同学们是不是又什么新的发现。”学生发现了数学的研究过程，学生发现了分数除法的内在本质。数学教学必须强调“数学本质”，数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼；数学理性精神的体验；等等。
文献参考：
[1]陈琦 刘儒德· 当代教育心理学【M】. 北京：北京师范大学出版社 2002年版
[2]北京教育学院心理系· 教师实用心理学【M】. 北京：开明出版社， 2000年.
[3]中国教育学会中学数学教学专业委员会· 迎接21世纪挑战的数学教育【M】. 北京：人民教育出版社， 1999年.
[4]郑毓信等· 数学学习心理学的现代研究【M】。 上海：上海教育出版社， 1998年。
[5]陈亮，朱德全· 数学探究教学的实施策略【J】. 数学教育学报， 2003.8（3）
[6]]范良火等· 华人如何学习数学（中文版）【M】。 江苏：江苏教育出版社， 2005年。
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