浅谈数学的开放题
一 数学开放题的概述
关于什么是数学开放题，现在还没有统一的认识，主要有如下的论述：
（１）答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放题；(2)开放性题是条 件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题；(3)有多种正确答案的问题是开放题。这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法；(4)答案不唯一的问题是开放性的问题；(5)具有多种不同的解法，或有多种可能的解答的问题，称之为开放性问题；(6)问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余。一个问题是开放还是封闭常常取决于提出问题时学生的知识水平如何。例如，对n个人两两握手共握多少次的问题，在学生学习《组合》知识以前解法很多，是一个开放题，在学习组合知识之后则是一个封闭题。
二 数学开放题的特征
数学开放题一般具有以下特征：
1． 所提的问题常常是不确定和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题。
2． 没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。
3． 有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建。
4． 常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。
5． 在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般，更有概括性的结论。
6． 能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。
7． 教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者和指导者。
三 数学开放题的分类
1、条件开放型
即未知的要素是条件。例如，在北师大版七年级（下）的概率教学中有这样一个问题：（P108试一试）用10个球设计一种摸球游戏，使摸到红球的概率为0.2？我们在不增加太大难度的`情况下把它改为：例1、设计一种摸球的游戏，使摸到红球的概率为0.2，可以怎样放球？这就是一个非常开放的问题，学生都可以根据自己原有的认知水平，得到不同的方案。①在袋中放入1个红球和4个白球。②在袋子中放入球的数量只要满足红球与白球的数量比为1：4就可以了，比如红球与白球的个数可以分别是5和20或6和24等等。③只要满足红球与非红球的数量之比为1：4就可以了，比如1个红球，2个黑球，1个黄球，1个白球；或2个红球，2个黄球，6个黑球等等。这样的问题设计有助于培养学生的创新意识，发展创新能力。
2、结论开放型
即未知的要素是判断
例如，老师给出一个条件，两条直线平行，甲、乙、丙同学各指出这个条件的一个特征：
甲：被第三条直线所截，同位角相等；
乙：被第三条直线所截，内错角相等；
丙：被第三条直线所截，同旁内角互补。
3、策略开放型
即未知的要素是推理
如：一张桌子可坐6个人，若按图乙方式摆放，2张桌子可坐几个人？按图乙方式继续摆放桌子，则n张桌子可坐几人？
（甲） （乙）
学生可以从不同的角度思考，得到不同的策略：①一张桌子可坐6人，每增加一张桌子增加4人，几张桌子增加4（n-1）人，因此n张桌子可坐[6+4（n-1）]人，即（4n+2）人；②桌子无论增加几张，左右两侧始终只能坐2人，而每张桌子的上下两侧都可坐4人，故有（4n+2）人；③每张桌子可坐6人，那么n张桌子按理可坐6n人，但要减去每两张桌子重合的2人。列式得6n-2（n-1），等于（4n+2）人；④一张桌子的一半可坐（2+1）人，n张桌子的一半可坐（2n+1）人，因此，n张桌子可坐2（2n+1）人，即（4n+2）人。这一系列问题的设计给学生的不同见解留下了足够的空间，学生可以在自己原有的知识结构中进行同化，多角度、多方位地去寻找解题策略。
4、设计开放型
例如，(课程标准华东师大版《数学》七年级（上）第13页习题第5题)某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆和正方形的个数不限），并且使花坛的面积约占矩形面积的二分之一左右。请画出你设计的方案，用一两句话表示你设计的思路。
5、举例开放型
请根据你生活经验，对代数式2a给出一个实际背景的解释： 。
6、实践开放型
例如，(课程标准华东师大版《数学》七年级（下）第118页习题第1题)现有三个普通的正方体骰子，投掷这三个骰子，请说出三个确定的事件和三个不确定的事件。
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