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钢管混凝土拱桥稳定性的计算理论简述
论文关键词：钢管混凝土拱桥 稳定性 非线性
论文摘要：钢管混凝土拱桥作为一种承受压力的空间曲杆体系，不可避免的涉及到稳定问题。随着钢管混凝土跨径不断的增大，对于其稳定性计算必须考虑非线性的影响，本文主要是介绍当拱桥稳定性计算理论及非线性分析理论。
随着钢管混凝土组合材料研究不断深入，施工工艺的大幅度改进，钢管混凝土拱桥在全世界范围内，特别是在我国得到了广泛的应用。据不完全统计，自从1990年我国第一座钢管混凝土拱桥建成以来到目前为止，我国已建或在建钢管混凝土拱桥有200多座。钢管混凝土拱桥之所以发展如此迅速，主要具有如下特点：（1）施工方便，节省费用；（2）有较成熟的施工技术作支撑；（3）跨越能力大，适应能力强；（4）造型优美，体现了民族特色；（5）大直径钢管卷制工业化，有力地促进了我国钢管混凝土拱桥的发展。
随着钢管混凝土拱桥的跨径的增大，刚度越来越柔，作为以受压为主的结构，稳定成为制约其发展的关键因素之一。不少学者根据不同的拱桥形式在不同的参数下，提出了不同的假设，推导出了很多简化的稳定公式。这些稳定公式将为有限元发展提供了理论基础。本文主要是对拱桥稳定计算理论进行简单的阐述。
1 稳定计算理论
1.1 概述
稳定问题是桥梁工程常常遇到的问题，与强度问题同等重要。但是，结构的稳定问题不问于强度问题，结构的失稳与材料的强度没有密切的关系。结构失稳是指结构在外力增加到某一量值时，稳定性平衡状态开始伤失，稍有挠动，结构变形迅速增大，从而使结构失去正常工作能力的现象。在桥梁工程中，总是要求其保持稳定平衡，也即沿各个方向都是稳定的。
在工程结构中，构件、部件及整个结构体系都不允许发生失稳。屈曲不仅使工程结构发生过大的变形，而且往往导致结构的破坏。现代工程结构中，不断利用高强轻质材料，在大跨度和高层结构中，稳定向题显得尤为突出。
根据上程结构失稳时平衡状态的变化特征，存在若干类稳定问题。土建工程结构中，主要是下列两类：
（1） 第一类稳定问题（分枝点失稳）：以小位移理论为基础。
（2） 第二类稳定问题（极值点失稳）：以大位移非线性理论的基础。
实际工程中的稳定问题一般都表现为第二类问题，但是，由于第一类稳定问题是特征值问题，求解方便，在许多情况下两类问题的临界值又相差不大，因此研究第一类稳定问题仍有着重要的工程意义。
研究压杆屈曲稳定问题常用的方法有静力平衡法((Eular方法)、能量法(Timosheko方法)、缺陷法和振动法。
静力平衡法：是从平衡状态来研究压杆屈曲特征的，即研究荷载达到多大时，弹性系统可以发生失稳的平衡状态，其实质是求弹性系统的平衡路径(曲线)的分支点所对应的荷载值(临界荷载)。
能量法：表示当弹性系统的势能为正定时，平衡是稳定的；当势能为不正定时，平衡是不稳定的；当势能为0时，平衡是中性的，即临界状态。
缺陷法：认为完善而无缺陷的力学中心受压直杆是不存在的。由于缺陷的影响，杆件开始受力时即产生弯曲变形，其值要视其缺陷程度而定。在一般条件下，缺陷总是很小的，弯曲变形不显著，只是当荷载接近完善系统的临界值时，变形才迅速增大，由此确定其失稳条件。
振动法从动力学的观点来研究压杆稳定问题，当压杆在给定的压力下，受到一定的初始扰动后，必将产生自由振动，如果振动随时间的增加是收敛的，则压杆是稳定的。
以上四种方法对于欧拉压杆而言，得到的临界荷载是相同的。如果仔细研究一下可以发现它们的结论并不完全一致，表现在以下几个方面:
静力平衡法的结论只能指出，当P=P1、 P2、…、Pn时，压杆可能发生屈曲现象，至于哪种最有可能，并无抉择的条件。同时在P≠P1, P2,…、Pn时，屈曲的变形形式根本不能平衡，因此无法回答极限系数的平衡是不稳定的问题。
缺陷法的结论也只能指出当P=P1、P2 ,…、Pn时，杆件将发生无限变形，所以是不稳定的。但对于P在P1、P2…、Pn各值之间时压杆是否稳定的问题也不能解释。
能量法和振动法都指出，P>P1之后不论P值有多大，压杆直线形式的平衡都是不稳定的。这个结论和事实完全一致。
由于钢管混凝土系杆拱桥的复杂性，不可能单依靠上述方法来解决稳定问题，日前大量使用的是稳定问题的近似求解方法。归结起来有两种类型:一类是从微分方程出发，通过数学上的各种近似方法求解，如逐次渐进法;另一种是基于能量变分原理的近似法，如Ritz法。有限元方法可以看作为Ritz法的特殊形式。当今非线性力学把有限元与计算机结合，使得可以将稳定问题当作非线性力学的特殊问题，用计算机程序实现求解，取得了很大的成功。
1.2 第一类稳定有限元分析
根据有限元平衡方程可以表达结构失稳的物理现象。在T.L列式下，结构增量形式的平衡方程为：
(1-1)
0[K]0——单元刚度矩阵；
0[K]σ——单元初应力刚度矩阵;
0[K]L——单元初位移刚度矩阵或单元大位移刚度矩阵;
0[K]T——单元切线刚度矩阵。
U.L列式下，结构的平衡方程为:
(1-2)
发生第一类稳定前，结构处于初始构形线性平衡状态，因此式(1-1)中大位移矩阵。0[K]T为零。在U.L列式中，不再考虑每个荷载增量步引起的构形变化，所以，不论T.L还是U.L列式，结构的平衡方程的表达形式是统一的:
(1-3)
在结构处于临界状态下，即使{AR}→0，{△u}也有非零解，按线性代数理论，必有:
(1-4)
在小变形情况下，[K]σ与应力水平成正比。由于假定发生第一类失稳前结构是线性的，多数情况下应力与外荷载也为线性关系，因此，若某种参考荷载{ }对应的几何刚度矩阵为[ ]σ，临界荷载为{P}cr=λ{ }，那么在临界荷载作用下结构的几何刚度矩阵为:
（1-5）
于是（1-4）为
（1-6）
式(1-6)就是第一类线弹性稳定问题的控制方程。稳定问题转化为求方程的最小特征值问题。
一般来说，结构的问题是相对于某种特定荷载而言的。在桥梁结构中，结构内力一般由施工过程确定的恒载内力(这部分必须按施工过程逐阶段计算)和后期荷载(如二期恒载·活载·风载)引起的内力两部分组成。因此，[K]σ也可以分成一期恒载的几何刚度矩阵 [Kl]σ和后期恒载的几何刚度矩阵[K2]σ，两部分。当计算是一期恒载稳定问题时，[Kl]σ=0。[K]σ可直接用恒载来计算，这样通过式(3-6)算出的 λ就是一期恒载的稳定安全系数;当计算的是后期荷载的稳定问题时，恒载[K]σ可近似为一常量，式((1 - 6)改写成:
（1-7）
形成和求解式(1-7)的步骤可简单归结为:
1)按施工过程，计算结构恒载内力和恒载几何刚度矩阵[Kl]σ。;
2)用后期荷载对结构进行静力分析，求出结构初应力(内力);
3)形成结构几何刚度矩阵[K2]σ和式(1-7)
4)计算式(1-7)的最小特征值问题。
这样，求得的最小特征值兄就是后期荷载的安全系数，相应的特征向量就是失稳模态。
1.2 第二类稳定有限元分析
第二类稳定是指结构在不断增加的外载作用下，结构刚度发生不断变化，当外载产生的应力使结构切线刚度矩阵趋于奇异时，结构承载能力就达到了极限，稳定性平衡状态开始丧失，稍有挠动，结构变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的现象。
从力学分析角度看，分析结构的第二类稳定性，就是通过不断求解计入几何非线性和材料非线性的结构平衡方程，寻找结构极限荷载的过程。
全过程分析法是用于结构极限承载力分析的一种计算方法，通过逐级增加
工作荷载集度来考察结构的变形和受力特征，一直计算至结构发生破坏。
2拱桥的平面屈曲
2. 1拱桥平面屈曲的基本概念
拱顶的竖直变位v及水平变位u与外荷载q的关系曲线
当拱所承担的荷载达到某一临界值时，在竖向平面内，拱轴线偏离初始纯压或主要为受压的对称变形状态，向反对称的弯压平面挠曲转化，称为拱的面内屈曲。拱的面内屈曲有两种不同的形式，第一种形式是在屈曲临界荷载前后，拱的挠曲线发生急剧变化如图1所示，可看作是具有分支点问题的形式，桥梁结构中使用的拱，在体系和构造上多是对称的。当荷载对称的满布于桥上时，如果拱轴线和压力线是吻合的，则在失稳前的平衡状态只有压缩而没有弯曲变形。当荷载逐渐增加至临界值时，平衡就出现由弯曲变形的分支，拱开始发生屈曲。
第二种屈曲形式:在非对称荷载作用下，拱在发生竖向位移的同时也产生了水平变位。随着荷载的增加，二个方向的变位在变形形式没有急剧变化的情况下继续增加。当荷载达到了极大值，即临界荷载之后，变位将迅速增加，这类失稳为极值点失稳。求解这类稳定问题的极限荷载，需要采用非线性分析方法。
在实际结构中，当满布对称荷载时，拱轴线和压力线也不一定完全吻合，此时拱一开始加载就可能出现带有对称弯曲变形的平衡状态。然而当荷载达到一定的临界值时，拱仍然会发生分支点失稳现象。理论研究表明:初始的对称弯曲变形对拱的反对称屈曲的临界荷载的影响很小。因此，研究拱的平面屈曲时，我们可以近似的假设拱轴线与压力线是吻合的，采用分支点屈曲理论。
2. 2拱桥的平面屈曲
2. 2.1圆弧拱及抛物线拱的屈曲
(1)圆弧拱的屈曲荷载
圆弧拱轴线线形简单(如图2)，全拱曲率相同，施工方便。其拱轴线方程：
图2 受径向均布荷载的圆弧拱
由平衡条件和几何关系可以推导出屈曲微分方程：
（2-1）
解此微分方程，并代入边界，ψ=0，υ=0；ψ=2α，υ=0得两铰拱临界应力
把拱看成当量的压杆，引入有效屈曲长度的概念，转化为中心压杆的欧拉公式的标准形式
（2-2）
归结成求拱的计算长度的问题，也就是涉及到边界条件。
经过理论计算，加之经验和概率论数理统计，就得到了桥涵设计规范4.3.7给出的拱圈纵向稳定时的计算长度取值。
为了实用的方便也可转化为矢跨比和跨度作为影响因子
（2-3）
（2-4）
将结果K1、K1’按矢跨比做成表格，这就得到了拱桥设计手册上的表值。
通过理论的分析可以看出拱桥的稳定性随铰数的增加而降低，无铰拱稳定性好于两铰拱;再则，各种拱的临界荷载都在矢跨比0. 25～0. 3左右达到各自的最大值，因为在EIx和L相同的情况下，若矢跨比很小，则拱弧长虽短，但均布荷载所产生的压力大，反之，若矢跨比很大，则压力虽小，但弧长较长。
(2)抛物线拱的屈曲荷载
在均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。故对于恒载分布比较接近均匀的拱桥，可以采用二次抛物线作为拱轴线。其轴线方程为：
（2-5）
在均布竖向铅垂荷载作用下，虽然拱只承受轴向压力而没有弯矩，但是压力沿拱轴线是变化的，并且拱的曲率也是变化的，因而其平衡微分方程是变系数的，直接求解比较困难，一般只能用数值法进行计算。同圆弧拱一样，抛物线拱的临界荷载可按下式计算:
（2-6）
式中K1，为稳定系数，它的值可以查表得到。
2.2.2拱桥的平面压屈
大跨度拱桥的拱上结构常布置连续的加劲梁。这样当拱屈曲时，加劲梁将随同弯曲，因而增加拱的稳定性。要获得这类结构的临界荷载解析解是相当困难的，一般只能求得其数值解。
如果拱桥的立柱刚度远比拱圈和梁的刚度小，可以假定各立柱上下端均系铰结，以简化问题。通过数值计算，可把数值这种简化结构的临界荷载近似地写成:
（2-7）
式中:K1一只有拱时的临界荷载系数;
Elb一加劲梁的抗弯刚度;
EIa一拱平面抗弯刚度。
对于上承式柔拱刚梁组合体系，临界荷载可仿上式写成:
（2-8）
在这种体系中，除按上式验算总体平面屈曲外，尚须同时验算拱在立柱间的局部弯曲。
2.2.3拱桥的侧倾失稳
（1）单拱的侧倾
若拱在面外没有受到横向荷载的作用，对于横向刚度较小的拱，当拱所承受的面内荷载达到临界值使拱轴线向竖平面之外偏离而出现侧倾时，由于这一失稳过程中出现了平衡分枝，所以它属于第一类稳定问题。当临界状态下的应力小于屈服应力时，即为面外弹性屈曲，由于属于空间问题，所以精确解就更为困难，只能采用近似解法。
平 面的拱轴，在侧倾后是一个空间的曲线，其位移与几何关系·由曲线坐标(如图2)所示：
根据平衡条件和几何关系可以推导出空间弯扭侧倾失稳微分方程：
相对面内屈曲，此方程更难获得解析解，一般都采用数值方法。
研究发现拱桥的侧倾稳定性随矢跨比的增加而提高;再则，用圆弧拱代替抛物线拱计算侧倾临界荷载，对坦拱是足够精确的。
（2）组拼拱的侧倾
组拼拱是指用横向联结系组拼起来的双肋拱或多肋拱，也称横撑拱。这类拱的侧倾临界荷载在很大程度上取决于撑架的刚度和布置方式。
对于组拼拱，以往一般采用“当量压杆法”验算其侧倾稳定性。这种方法的基本思想是忽略拱的矢跨比、拱肋的抗扭刚度和横撑绕顺桥向水平轴线的抗弯刚度，将拱轴拉直，近似地把它视为一当量的中心压杆并按有缀板的组合压杆屈曲临界荷载公式计算组拼拱的侧向屈曲临界轴力，通常取较大的稳定系数以保证桥梁的安全。研究结果表明:当量压杆法计算结果过于粗略，且偏于不安全。
下面简单的介绍一下对于平式横撑连接的双肋拱，采用能量法推导其侧倾临界荷载。
沿拱轴环向设置了一系列切向平放的横撑的组拼拱，当组拼拱在外荷载作用下发生侧倾失稳时，二根拱肋除发生了整体变形外，每根平式横撑将在切向平面内发生S形的弯曲变形，同时拱肋还发生了局部挠曲变形。
1.拱的整体变形能
通常组拼拱的横向联接系比较弱，在计算整体变形能时，只考虑二根拱肋独立产生的横向弯曲和扭转变形能，略去二根拱肋可能产生的轴向伸缩形成的拱截面整体弯曲变形能。一般组拼拱的二拱肋大小是相等的，故可只讨论单根拱肋的变形能
（2-11）
2.局部弯曲变形能
组拼拱侧倾后，拱肋点体变形绕Y轴的转角γ，设拱肋由于在节间内的局部变形在节点转动了γ2角，则由于刚性节点上各杆的夹角保持不变，横撑在节点的转角γ=γ-γ2。可推导出局部弯曲变形势能
（2-12）
3.外力势能
受径向均布荷载的圆弧拱，发生侧倾后，拱轴位置下降了v，外力势能T于q在V上所作的功的负值
（2-13）
4.临界荷载
组拚拱在侧倾时产生的总势能
（2-14）
利用最小能量驻值原理，对关于C的泛函取变分，考虑曲率影响，在拱肋局部变形部分乘上拱度影响系数，推导出平式横撑联结下临界荷载
（2-15）
上式中的前一项反映了横撑的刚度与其间距d对稳定性的影响，减小横撑间距和增大横撑刚度都有利于提高双肋拱的侧倾稳定性。
同样方法得到立式横撑、一般横撑连接的双肋拱的侧倾临界荷载。由于理论求解非常复杂，大部分形式的拱桥只能采用数值法求得近似值，建议采用空间有限元程序求解。
通过理论分析可以看出比较合理的方法是在拱顶或拱顶附近的区段设置关键性的几根立式横撑，以约束扭转角和拱顶位移，而其余区段则布置平式横撑。
3非线性分析理论
在钢管混凝土拱桥工程实践中，恒载压力线与拱轴线的偏离、施工预拱度的设置、施工偏差导致的初变形、非对称加载等因素使实际拱桥的失稳形态大部分属于第二类失稳，即极值点失稳问题。一般来说屈曲理论过高估计拱的临界力。正确的应考虑拱的变形影响和材料弹塑性的影响，按几何非线性和材料非线性理论来求得拱桥的失稳极限荷载，也通常称为压溃荷载。钢管混凝土拱桥随着跨径的增大、材料强度的提高，在第二类失稳破坏时结构表现出大位移、大应变的特点。因此应考虑结构的几何非线性和材料非线性问题。
3.1几何非线性分析
对线性问题，一般是假设结构发生小位移，根据变形前的位置来建立平衡方程。几何非线性问题通常是由于结构的位移已相当大，以致必须按照变形后的几何位置建立平衡方程。严格地说，所有平衡问题都应采用变形后的几何位置写出其平衡方程。不过，如果位移很微小，使得变形或位移对平衡条件影响可以忽略时，则可利用变形前的几何位置来建立平衡条件。由于位移变化产生的二次内力不能忽略，放弃小位移的假设，从几何上严格分析单元体的尺寸、形状变化，整个结构的平衡方程应按变形以后的位置来建立，荷载一变形为非线性，此时叠加原理不再适用。
不同理论导出的两种方法T.L列式与U.L列式，分别是采用参照描述和相关描述的方法，都是以已知位形为基准的，都属于Lagrangian描述，只是选取的基准有所不同。写成T. L列式
（3-1）
式中大变形刚度矩阵，
由于U.L列式中，平衡方程中的积分在t时刻单元体积内完成，因此代表大挠度的刚度矩阵可以省略，这是T.L列式与U.L列式最大的区别
（3-2）
3.2材料非线性
材料非线性是由材料的非线性应力一应变关系引起基本控制方程的非线性问题。这种非线性特点是材料不满足胡克定律。结构在承受超载时部分材料应力超过比例极限，进入塑性变形范围，破坏与损伤从这些区域开始，导致最终结构失稳。应力超过弹性极限后，材料弹性模量E不再是常数，而是成为应力的函数，导致基本控制方程的非线性。研究材料非线性问题，对于分析结构极限承载力，解冷桥粱非绘性稳宁问题有着十分重要的煮义。
考虑材料非线性后，弹性矩阵［D］将不再是常数，而是应变{ε}的函数，从而也是位移{d}的函数
（3-3）
其表达式为
（3-4）
材料非线性问题分析求解时，单元的EI，EA随受力历程不断发生变化，因而[k]不为常量，结构的整体平衡方程是如下的非线性方程组
（3-5）
式中： ——不平衡力； ——与位移相关的刚度矩阵；——节点位移列阵； ——节点荷载列阵。
3.3求解方法
求解非线性问题的方法基本可分为三类:迭代法，增量法和混合法。
（1）迭代法
迭代法(总荷载法)，即对总荷载进行线性化处理。采用循环减小内外不平衡力差值，不断逼近极限荷载，直到差值小到规定的值。其中有直接迭代法(割线法)、Newton-Raphson法(切线刚度法)、修正的Newton-Raphson法(初始刚度法)、拟Newton-Raphson法(割线刚度矩阵迭代法的主要应用)等等。
直接迭代法较为简单，但收敛速度慢，且可能出现迭代过程的不稳定，实际中较少采用此法。切线刚度法在求解下一个荷载步时会修正结构刚度矩阵，而初始刚度法则克服了在每次迭代过程中必须解全部新方程的困难，使用初始的刚度矩阵，但这样做收敛较慢。
用迭代法求解非线性问题时，一次施加全部荷载，然后逐步调整刚度，使基本方程得到满足。迭代法的计算量相对小一些，对计算精度也能加以控制。但迭代法不能给出荷载—位移过程曲线，适用范围也小一些。
在迭代法计算中，为了中止迭代过程，必须确定一个收敛的标准。实际应用中，有两种量是常用的:一个是用不平衡节点力;另一个是用位移增量。
（2）增量法
增量法(逐步法)，即对增量进行线性化处理。将整个荷载变形过程划分为一连串增量段，每一增量段中结构的荷载反应被近似地线性化。增量法实质是用一系列线性问题去近似非线性问题，用分段线性的折线去代替非线性曲线，逐步求解过程就是累积线性弹性解的过程。增量法的主要缺点是无法判断其解偏离精确解的近似程度。
常见的有荷载增量法、挠度增量法和曲率增量法，其中用后两种方法较易获得曲线的下降段。在荷载增量法中主要有:Euler-Cauchy法、修正的Euler-Cauchy法、半增量法等。
增量法的一个优点是适用范围广泛，即其通用性强;另一个优点是它可提供荷载—位移全过程曲线。但增量法不知道近似解与真解相差多少。
（3）混合法
混合法则是对同一非线性方程组混合使用增量法和迭代法。如Euler-Newton法、Euler-修正的Newton法、Euler-拟Newton法、Eule一次迭代法，等等。混合法综合了迭代法和增量法的优点，某种程度上克服了各自的缺点，虽然计算量更大，但计算精度提高了，而且可以判断每一增量步终了时刻解的近似程度，尤其在荷载，变形的全过程分析中，需要比较准确的输出每一荷载增量末的位移值，此时采用混合法是较好的选择。
4结语
众所周知，实际拱的失稳大部分属于第二类稳定，二类失稳实际是非线性作用的结果，目前采用的线弹性理论会过高的估计安全系数。所以，精确地给出计入非线性后对稳定计算的影响是非常重要的。随着拱桥跨度越来越大，原有的计算方法已经不能满足工程需要，对拱桥稳定性考虑非线性计算，已成为桥梁学者研究的方向。本文只是简单地介绍了一下稳定性计算理论和方法。
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