干涉光的变场现象-(续2)

干涉光的变场现象-(续2)

概述：本文在扬氏干涉基础之上，增加了一个成像光学系统，以实验观测双相干光源成像的位置变化和能量分布变化，从中得到一个值得再探讨的新现象。
关键字：干涉、成像、分离、变场

19世纪的扬氏干涉实验对后世的物理学影响极大，至今它仍是物理学中的一个基础实验。对于扬氏干涉实验，人们一直是将双相干光投射到相干区内，以观察干涉的明暗条纹。我们普遍认为(1)式成立。
(1)
式中： 和 是单缝场。
和 是双缝场。
(2-1)
(2-2)
参见图一。请参考有关资料。

实际上，我们并没有什么理由认为(2)成立，而将(2)的成立认为是“默认的、应该的”。

现在，我们将这个实验加以引申，采用成像的方法，即采用光束“分－合－分”的方法，将相干区内的相干光分离成像，并观察干涉光分离后的成像位置和能量分布状况。作者从实验的结果中，得出了一些新现象。

一、扬氏干涉中的场分布
扬氏干涉如图一中(a)。按照光的波动说：缝光源A和B在空间中传播的电磁场分布值，不会随光源A或B的存在与否而变化，即从A和B所发出的光波在整个光路传播过程中是相互独立的。这样，单缝场 和 被认为与双缝场 和 是相同的，如图一中(b)和(c)。参见(1)式。

图二 干涉光的成像分离
我们在干涉区后增加一个正透镜，用于对逢AB进行成像，如图二。这样单缝成像和双缝成像的像A`或B`位置和能量分布是不变的。它们分别由 和 决定，也可以说由 和 决定。
但是，在实际中，像A`或B`的特性是变化的，(1)式并不成立，即：
(3)
式中： ，
由于这种在干涉区内的电磁场分布发生了变化，导致像位置和能量分布是变化的，我们不妨将这种现象称之为“变场”。这种变化量有多大？下面的干涉光源的成像实验可以证明这种现象的存在。
在论述光学系统中干涉光源的成像问题之前，我们先回顾一下目前有关光学理论的成像原理。

二、物光源在共轴球面系统中的成像规律
图三 双缝光源A和B成像光学图
Ÿ物体或像箭头由纸面向上 ª物体或像箭头向纸面里
按高斯光学，物空间中的一个点、一条直线或平面经光学系统后，在像空间中有其一一对应的点、线或面存在。例如，有缝光源A、B和正透镜L组成一个成像光学系统，L的焦距为f [正透镜为圆形，在空气介质中]，物、像距离正透镜L的物、像方主平面K和K’分别为u和v，如图三。
在图三中，缝A、B对称垂直于主光轴Z，但不与主光轴Z相交，且偏离主光轴Z都为d。定义AB缝所在平面为Q面。我们在Q面上建立x-y坐标系，y轴平行于光缝，x轴方向向纸外且垂直于主光轴Z，其坐标原点在主光轴Z与Q面的交点上，如图三中(a)。
在距正透镜主平面K前(左侧)s处取一平面P，P面与主光轴Z垂直，则P面到Q面的间距为 。在P面上建立x-y坐标系，如图三中(b)，图中x轴方向向纸外，y轴平行于AB缝，并且方向相同，其原点在主光轴Z上。
同样，在像平面R上建立x-y坐标系，如图三中(c)。

按照几何光学来说：不论双缝光源A和B是相干光或非相干光，它们在像空间中所成像的特性[像位置和像的能量分布]不变，这是由光线传播过程中的三个基本定理决定的：直线传播定理、独立传播定理、反射和折射定理。另一方面，按照光的波动说：缝光源A和B在物空间和像空间中传播的电磁场分布值，不会随光源A和B的相干性与否而变化，即从A和B所发出的光波在整个光路传播过程中是相互独立的，在空间任意一点的总场值是两者之和。设p(x,y)为P平面上任意一点，如图三中(b)。定义它们的各自波动方程为：
A缝光源在p(x,y)点的波动方程： (4)
B缝光源在p(x,y)点的波动方程： (5)
波函数EA(t)经正透镜L后，会在像空间的成像平面R上的xA处成倒像A’，像A’的特性只与(4)式有关，而与(5)式无关，如图三中(c)；同样波函数EB(t)在像空间R平面上的xB处成倒像B’，像B’的特性只与(5)式有关，而与(4)式无关。重申：(4)式和(5)式描述的场分布是相互独立的。
那么，在P面上的相干光EA和EB的相位差δ为：
(6)
式中：Δ是光程差

图四 QPR平面上的光源图、干涉图和成像图
当我们在P面上加入光阑，并限制部分EA和EB的能量通过后，EA和EB同样会在像空间内的R平面上xA、xB处成倒像A’和B’，这是由于光在传播过程中的独立性所决定的。
我们可以画出在Q面上AB缝光源的位置，如图四中(a)。
图中：w为A和B的缝宽
h为A和B的缝高
2d为AB双缝内边间距，2d的中心在x-y坐标系的原点上

假设AB缝在P面的干涉条纹如图四中(b)。
图中：Dx为相邻干涉极大值或极小值的间距
Dy为单亮纹或暗纹的高度
光阑的宽度为a，高度为b

我们可以画出相干光缝AB在P面x轴上的电磁场功率密度分布图，如图五中(a)。在图中，画出了Dx和光阑的宽边位置。

图五 P平面上的电磁场强度分布图
在光阑的b＞Dy和a＞nDx（n是可观测干涉条纹个数。在图四中，我们取n=5）的条件下，AB对应的成像图如图四中(c)。
图中：W为像A’和B’的像宽
H为像A’和B’的像高
xA和xB为像A’的左边位置和B’的右边位置
2D为双像A’B’的内边间距，


图六 单逢A的QPR面上亮暗条纹图
由于电磁场EA[或EB]在传播过程中的独立性，见(4)式[或(5)式]。因此，当我们遮挡缝B时，缝A在Q面、P面和R面的条纹如图六中的(a)、(b)和(c)。我们在P面上会观测到缝A对应的连续光带。
当我们遮挡缝A时，缝B在Q面、P面和R面的条纹类似如图六中的(a)、(b)和(c)。

图七 窄光阑时，QPR平面上的光源图、干涉图和成像图
那么，当我们减小光阑的宽度a=nDx[在这里，我们取n=3]，并使a>>λ(光波长)，而高度b不变时，双缝AB的干涉QPR图的结果如图七。由于光阑的作用，光阑与R面组成一个相当于夫琅和费单缝衍射。这样，单缝A或B在R面上各自的光纹宽度为：
(7)
式中：W是成像光条A’(或B’)两边的光强零值到零值的宽度
λ是光波波长，对应的角频率为ω
a是光阑的宽度

w是缝A(或B)的缝宽
u和v分别是Q面到主平面K和R面到主平面K’的距离
(7)式说明：在有光阑存在时，在R面上衍射成像条纹的宽度要大于无光阑时的成像条纹宽度。如图七中(c)所示。

在单缝A或B成像情况下，其结果与图六类似，不再画出，只是像A’和B’条纹的宽度增加了，如(7)式。我们可以画出相干光缝AB在P面x轴上的电磁场强度图，如图五中(b)。注意：我们可以选择适当的f、a、v和u值，使成像条纹A’和B’不相重合，即，使光阑的宽度a和像A’B’的间距2D足够大，让像A’的光强主极大值对像B’无影响，反之依然。在下面的讨论中，都满足以上条件，我们忽略光强的次极部分，而不再考虑它们的相互影响。这样，不论是单缝成像或双缝成像，我们都有如下的结论：
像A’的场分布值域范围都为： (8-1)
像B’的场分布值域范围都为： (8-2)
为固定不变域。


三、干涉光在窄光阑成像中的悖论
上面是从目前的理论框架下得出的结论。现在，我们可以从理论上推导出一个悖论。
在P面上，我们在习惯上只关心光强度的相对值，因此将同一介质中描述电磁场的系数 略去。单缝A和B在P面x轴上的光辐照度(光强)和为：
(非相干情况下)
式中：AP是逢光源投射在P面上的振幅[在近轴Z情况下]
图八 功率密度和功率图
光强IS代表逢光源A和B发射出的总功率之和，如图八中(a)。我们只求单缝A和B投射在P面[0,x]之间的光功率之和为：
(9)
式中：S是积分面积， 。
ES如图八中(b)。如果A和B缝在R面成像，则(9)式也是R面上像A’B’的功率和。当x=L时，(9)式变为：
(14)
在另一种情况下──在双缝干涉情况下，干涉光在P面x轴上的光强为：
(相干情况下) (11)
式中： ，见(6)式。由于 ， ，我们有：

式中： 是P面与Q面之间的距离
2d是缝AB间距
λ是相干光的波长
那么，(11)式变为：

光强ID如图八中(a)。当ID=IS时，可以解得 。我们求相干光在[0,x]之间的功率之和为：

(12)
式中：S是积分面积， 。
图九 功率比值与功率总和
ED如图八中(b)。那么，我们取(12)式与(9)式之比为：
(13)
我们将B与x之间的关系绘于图九中(a)。我们有；

上式说明：以L为周期，相干与非相干光在[n,(n+1)L]区段内的功率积分是相等的(n∈整数)。

图十
如果场EA(t)和EB(t)在空间中的传播是独立的，即不随单缝或双缝的成像条件变化而改变，那么，取光阑缝的位置为 ，其中：成立，如图十。我们可以求得对应光功率成像在R面上之和为：
(14)
式中： 是P面光阑区的积分面积， 。
即在R面上的像功率和等同于电磁场分别穿过P面光阑所对应分量的功率和，(14)式既适用于单缝成像，也适用于双缝成像的条件。这样，在双缝干涉成像，并取光阑的位置取为 时，我们计算在P面上 之间的功率与像A’B’的功率和为：

(15)
将E(x)画于图九中(b)。那么，当我们考察的时，有：
(16)

我们会得到这样的结论：当光阑缝取为 ，即 时，能量E(x)将最大限度地大于由AB缝发出的总能量之和ESL，能量有“超生”现象！其超出的功率如图九中(b)的阴影部分。同样地，当我们取光阑缝为时，会得出能量“隐含”的现象！但是，实际情况并非如此，这是一个悖论！问题出在哪？
那么，我们以实验来测量(8)式的结果，以判断像A’B’的域值范围。

四、干涉光的窄光阑成像实验
图十一 激光器Las和Q面上的档片
我们用实验来观测上面的结论，可以得到一个新现象。在双缝平面Q上的左侧沿中轴Z放置一个激光器Las，其光束的发散角近似为零，波长为λ=750nm。我们在Q面上安装一个档片，它可以在Q面上沿x方向左右移动，以遮挡缝A或B，可以完成单缝或双缝成像的选择，如图十一。我们在干涉面P上取部分光阑 的透光区进行成像。我们在成像面R上沿x轴上放置一个线阵ICCD接收单元，以测量倒像A’和B’在x轴向上的位置和能量分布状况。实验条件：
u是物方距离，u=131.1cm
v是像方距离，v=233.5cm
w是A和B的缝宽，w=0.1mm
f是正透镜的焦距，f=1.0m
h和H分别是缝AB的高度和像高度，h=1.0mm，H=4~5mm
d和D分别是缝AB物体和像偏离主光轴Z的距离，2d=0.7~0.8mm，2D=1.5~2.0mm
Dx为干涉面上相邻极大值或极小值的间距，Dx=1.1mm

实验测量的结果如下：
图中：曲线是双缝AB的像；曲线‚是单缝A的像；曲线ƒ是单缝B的像。
1.当a=2.0Dx时，干涉光的成像结果

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