浅析材料力学与弹性力学的研究差异
摘要：材料力学与弹性力学作为力学的重要分支学科，尽管在研究内容和目的等方面相似，但其研究方法却有明显差异，本文将就两者的差异进行综述。
关键词：材料力学;弹性力学;研究方法
概述
力学作为一门研究物质机械运动规律的科学，其在建筑、机械、航天、航海等关系国计民生、国家安全等重大项目上发挥着重要作用。材料力学(Mechanics of materials)和弹性力学(Theory of elasticity)都是力学的重要分支学科，尽管他们都是研究和分析各种结构物在弹性阶段的应力和位移，但在研究对象和方法上仍然具有很大的差异。材料力学主要研究物体受理后发生的变形、由于变形而产生的内力以及物体由此而产生的失效和控制失效准则[1]。其主要的研究对象是杆状构件，即长度远大于高度和宽度的构件及其在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。材料力学除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析之外，通过试验现象的观察和分析，忽略次要因素，保留主要因素，引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，大大简化了数学推演。虽然解答只是近似的，但是可以满足工程上的精度要求。弹性力学作为固体力学的一个分支，研究可变性固体在外部因素如力、温度变化、约束变动等作用下产生的应力、应变和位移[2]。其研究对象既可是非杆状结构，如板和壳以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构，亦可是杆状构件，并且其不引用任何假定，解答较材料力学更为精确，常常用来校核材料力学里得出的近似解答。
材料力学与弹性力学同样作为变形体力学的分支，在解决具体问题使，需要将实际工程构件的研究对象抽象为理想模型。作为理想模型，在建立其已知量和未知量的推导关系时，要满足如下基本假设：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、小变形假设、完全弹性假设。下面本文将就在一下具体问题的解决中，探讨材料力学和弹性力学在研究方法上的差异。
1.直梁在横向荷载作用下的弯曲研究
1)在纯弯曲梁中，对于平截面假定的验证
材料力学在研究梁的弯曲应力时，采用纯弯曲段分析。通过观察对比梁变形前后表面横向线和纵向线的几何变形，推测梁内部横截面在变形后仍为平面。在弹性力学中，证明了其横截面是否为平面的过程如下：
假定平面应力情况，已通过多项式解答取φ=ay3，求得纯弯曲矩形梁的应力分量，将应力分量代入物理方程、几何方程，并积分变换得位移分量的表达式：u=MEIxy+f1(y)ν=-μM2EIy2+f2(x)
通过数学变换求得位移分量为：
u=MEIxy-ωy+u0
ν=-μM2EIy2-M2EIx2+ωy+ν0
其中ω、u0、ν0为刚体位移
由上式可得，铅直线段的转角为：
β=uy=MEIx-ω
在同一个截面上，x是常量，因而β也是常量。可见，同一横截面上的各铅直线段转角相等，即横截面保持平面。
2)对于截面弯曲应力的修正与分析
在材料力学中，根据平面假设和单向受力状态导出了应力公式。但此公式仅限于纯弯曲梁，当梁受横向外力作用时，梁发生横力弯曲，此时变形后已不再是平面，单向受力状态也不成立。针对此问题，材料力学一般做简化处理。对于跨长与横截面高度之比大于5的梁，用纯弯曲正应力公式σ=MIy进行计算，结果虽然有误差，但足以满足工程上的精度要求，近似用该公式得到的结果作为横力弯曲的正应力计算公式。
而在弹性力学中，采用半逆解法严密的推导了各应力分量。以均布荷载下的简支梁为例，假设应力分量形式σy=f(y)，由应力函数与应力分量的关系导出应力函数，并代入相容方程得到各应力分量的表达式。考虑主要边界与小边界后，得截面上的应力分量为：
σx=MIy+qyh(4y2h2-35)
σy=-q2(1+yh)(1-2yh)2
τxy=FSbI
由上式可见，在弯应力σx的表达式中，第一项是主要项，和材料力学中的解答相同，第二项是弹性力学提出的修正项。对于通常的浅梁(跨高比大于5)，修正项很小，可以忽略不计，对于较深的梁，则必须考虑修正项。
应力分量σy是梁各层纤维之间的挤压应力，它的最大绝对值是q，发生在梁顶。在材料力学中，由于单向应力假设，认为纵向线之间互不挤压，一般不考虑该应力分量。
切应力τxy的表达式和材料力学完全一样。
从表达式中可以看到，当l>>h时，σx最大，τxy次之，σy最小，且σx中的qyh(4y2h2-35)是高阶小量。因此进一步说明了，材料力学的公式可以近似满足工程梁的计算精度，而弹性力学推导相对复杂因此材料力学具有较强的实用性。
2.切应力互等定理
在材料力学中，以圆杆的扭转为背景，考虑了一个特殊的简单应力状态，并加以推理得到了切应力互等定理。在沿杆轴线方向取微段dx，垂直于径向的平面截出一无限小的单元体，则很容易得出内外表面无应力，只在左右两个面上有切应力τ。则该单元体将会转动不能平衡，所以推定在上下两个纵截面上必定存在着τ'。由于面积很小，近似认为切应力在各面上均匀分布。
由平衡方程ΣM=0得到
(τdydz)dx=(τ'dxdz)dy
从而得到：τ=τ'
而在弹性力学中，则从最普遍的情况出发，不作任何假设。取微小的平行六面体，根据平衡条件导出应力分量之间的关系。由对中心点的力矩平衡方程，得到：
(τxy+τxyxdx)dy×1×dx2+τyxdy×1×dx2-(τxy+τxyydy)dx×1×dy2+τyxdx×1×dy2=0
将上式两边同除dxdy，合并同类项，并命dx dy趋于零，得到τxy=τyx 从而验证了切应力互等定理。
从切应力互等定理的导出我们可以发现，材料力学在推导过程中运用了一些推理和假设，而弹性力学的推导过程是比较严密和精确的。
总结
弹性力学与材料力学同样作为力学的分支，基本假定和理论体系是相同的。在力学史上，首先出现了研究变形体力学的理论，属于弹性力学的研究范畴，但由于当时相应的数学水平得不到相应问题的解析解，才在求解过程中引入一些关于变形和应力分布的假设，形成材料力学这门学科。
在研究对象方面，材料力学的研究对象是杆状构件，而弹性力学的研究对象则有杆、梁、柱、板等结构。因此弹性力学有更广的适用性，而材料力学具有一定的局限性。
在解决具体问题是，材料力学常采用截面法，即假想将物体剖开，取截面一边的部分物体作为截离体，利用静力平衡条件，列出单一变量的常微分方程，以求得截面上的`应力，在数学上较易求解。弹性力学解决问题的方法与材料力学的方法是不相同的。在弹性力学中，假想物体内部为无数个单元平行六面体和表面为无数个单元四面体所组成。考虑这些单元体的平衡，可写出一组平衡微分方程，但未知应力数总是超出微分方程数，因此，弹性力学问题总是超静定的，必须考虑变形条件。由于物体在变形之后仍保持连续，所以单元体之间的变形必须是协调的。因此，可得出一组表示形变连续性的微分方程。另外，在物体表面上还必须考虑物体内部应力与外荷载之间的平衡，这样就有足够的微分方程数以求解未知的应力、应变与位移，所以在解决弹性理论问题时，必须考虑静力学、几何方程、物理方程以及边界等方面的条件。因此需要研究人员具备较扎实的数学基础。由于数学上的困难，弹性理论问题不是总能直接从求解偏微分方程组中得到答案的。
在计算精度方面，材料力学在计算过程中引入一些假设以简化计算，得到的计算结果虽然精度偏低，但已经能够满足工程上的精度需要，并且受力模型简单，能够很快的得到应力分布，实用性较强。而弹性力学通过严密的推导，虽然计算过程繁琐但精度高。
综上，材料力学和弹性力学两门力学分支学科关系密切，适用范围互补，研究方法及精度各有长处，将他们综合应用，才能在我们的学习和科研中取得更好的效果。
[参考文献]
[1]刘德华， 黄超. 材料力学， 重庆大学出版社， 2011.
[2]李兆霞， 郭力. 工程弹性力学， 东南大学出版社， 2009.
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