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基于正交频分复用的线性最小均方误差信道估计改进算法
摘要：传统的线性最小均方误差(LMMSE)信道估计要求已知信道的统计特性，而实际应用中无线信道的统计特性往往是不可知的。针对无线信道的不确定性，根据时域信道上能量分布的稀疏性特点，在最小二乘(LS)算法的基础上提出了一种改进的LMMSE信道估计算法。该算法从当前信道置信度较高的频率响应出发，把相邻子载波信道估计误差的比值作为信道响应的加权系数，然后通过加权平均的方法计算出多径信道下的信道响应。该算法避免了繁琐的矩阵求逆与分解运算，能够有效降低算法复杂度。实验结果表明，所提算法总体性能优于LS算法及经过奇异值分解的线性最小均方误差(SVDLMMSE)估计算法，且其误码率接近于传统的LMMSE算法。
关键词：正交频分复用;无线信道;均方误差;误码率;信道估计
引言
正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing， OFDM)是现代通信系统多载波调制中的一项关键技术。该技术的核心思想是将传输信道分解成若干个正交子信道，使高速传输数据流转换成并行的低速子数据流，经逆傅里叶变换后分别在每个子信道上进行传输。在多径条件下使用OFDM技术可以增加系统的鲁棒性，使其能够较好地对抗无线信道的频率选择性衰落和窄带干扰，并有效提升系统的频带利用率。为保证信号传输的可靠性，OFDM系统对子载波间的正交性要求非常严格，而信道估计则是其中的一项关键技术。通过跟踪接收端信道频率响应的变化，该技术可以对接收到的信号进行恢复和校正，以减小信道多径衰落对系统的影响，因而其精确程度将直接影响OFDM系统的总体性能[1]。常见的信道估计算法一般可分为3类：盲信道估计、半盲信道估计和非盲信道估计。盲信道估计具有较好的频带利用率，且不需要辅助信息，但其算法复杂度高、收敛速度慢且精度较低。半盲信道估计算法是基于盲信道估计的一种优化，它虽然克服了盲信道估计算法复杂度高、收敛速度慢等的缺点，但其算法精确度相对较低，因而在实际应用中受到一定的限制。而非盲信道估计则是一种基于导频的信道估计算法，该类算法运算复杂度较低，且具有较高的精确度和频带利用率，因而逐渐成为人们的研究热点。
现阶段对于非盲信道估计算法的研究主要集中在低秩算法和自适应低秩算法。文献[2]提出了一种低复杂度的线性最小均方误差(Linear Minimum Mean Square Error， LMMSE)信道估计算法，该算法仅仅考虑了自相关矩阵对角线上的一些重要信息，以牺牲系统总体性能为代价来降低算法的复杂度。文献[3]利用托普利兹矩阵来计算信道的自相关矩阵及其逆矩阵，但该算法在求解托普利兹矩阵的自相关矩阵及其逆矩阵的计算过程中复杂度较高，具体实现起来较为困难。文献[4]提出了一种采用循环梳状导频结构的算法来提高信道估计的总体性能，但该算法的整体效率相对较低。文献[5]利用双对角矩阵算法来降低运算的复杂度，该算法虽然避免了逆矩阵的求解，但需要预先知道信道统计特性，而对于无线信道而言，其统计特性往往是不确定的。
针对上述问题，文中提出了一种改进的低复杂度LMMSE信道估计算法，该算法可在信道特性未知的情况下进行有效的信道估计。算法首先对信道的时域能量进行分析，根据无线信道的稀疏特性[6]，选择当前信道置信度较高的频率响应作为预估计值，以相邻子载波信道估计误差之比值作为估计算法的加权系数，然后通过加权平均的方法估计子载波的信道响应，进而完成对整个系统的信道估计。仿真实验结果表明：该算法总体性能优于最小二乘(Least Squares， LS)算法及经过奇异值分解线性最小均方误差(Singular Value DecompositionLinear Minimum Mean Square Error， SVDLMMSE)估计算法，且精确度逼近于传统的LMMSE估计算法。
一、OFDM系统模型
图1所示为OFDM系统收发机模型框图。OFDM发射机将信息比特流映射成一个相移键控(Phase Shift Keying， PSK)或幅度正交调制(Quadrature Amplitude Modulation， QAM)序列，再把符号序列转换成N个并行的符号流，最后将其分别调制到N个不同的子载波上进行传输。
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图1OFDM系统原理框图
令Xl(k)表示第k个子载波上的第l个发送符号(其中k=0，1，…，N-1，l=0，1，…，∞)，由于经过了串并转换，所以N个符号的传输时间扩展为NTs，因此单个OFDM符号的持续时间Tsym=NTs。令Ψl，k(t)表示第k个子载波上的第l个OFDM符号[7]，即
Ψl，k(t)=
ej2πfk(t-lTsym)，0 0，其他 (1)
则其对应的基带信号为：
xl(t)=∑∞l=0∑N-1k=0Xl[k]ej2πfk(t-lTsym)(2
在t=lTsym+nTs时刻(Ts=Tsym/N， fk=k/Tsym)，对式(2)中的基带信号xl(t)进行采样，可得到相应的离散时间OFDM信号，即：
xl(n)=∑N-1k=0Xl[k]ej2πknN; n=0，1，…，N-1(3
离散时间信号xl(n)经过快速傅里叶逆变换(Inverse Fast Fourier Transform， IFFT)后加入循环前缀(Cyclic Prefix， CP)，用以消除符号间干扰(Inter Symbol Interference， ISI)，且CP长度大于信道多径时延。经过输出端广义平稳非相关散射信道后，在接收端去除该信号的CP并进行FFT，最后得到解调信号[8]： Y(k)=X(k)·H(k)+σ(k); 0≤k≤N-1(4)
其中：Y(k)为接收端解调的第k个子载波符号，H(k)为接收端第k个子载波上的频域响应，σ(k)是均值为0、方差为σ2的高斯噪声。由于信号是在无线信道中传输会产生一定程度的畸变，为了对变换后的信号进行校正和恢复，通常需要对接收到的信号进行信道估计，下面介绍几种传统的信道估计方法。
二、传统信道估计算法
2.1LS信道估计
文献[9]采用了一种最小二乘(LS)信道估计算法，该算法可在信道特性未知的情况下，根据发送端已知的导频信号X和接收端接收到的信号Y计算导频位置处的信道特性，并选择适当的插值算法来获得完整的信道响应。LS信道估计准则如下：
H^ls(k)=X(k)-1Y(k)=H(k)+σ(k)X-1(k)(5)
其中：H^ls(k)为LS信道估计的估计值，H(k)为信道的频率响应，σ(k)为高斯白噪声。LS算法的均方误差(Mean Square Error， MSE)可表示为：
MSE=βSNR(6)
其中，β为调制常数，该系数的取值跟信道特性有关。输入信噪比(SignaltoNoise Ratio， SNR)为：
SNR=E{X2}σ2(k) (7 )
由式(5)、(6)、(7)可知，由于LS估计算法不需要知道信道先验知识，因而噪声σ(k)对信道估计的影响较大，所造成的误码率(Bit Error Ratio， BER)和均方误差(MSE)较高。
2.2LMMSE信道估计
为了解决LS算法精确度较低的问题，文献[10]提出了一种性能更好的最小均方误差(Minimum MeanSquared Error， MMSE)信道估计算法。由式(8)可以看出，该算法考虑了噪声对信道造成的影响，因而其精确度比LS算法有较大提高。
H^mmse(k)=Rhh[Rhh+σ2n(XXT)-1]-1H^ls(k)(8
由于MMSE信道估计算法考虑了噪声的影响，所以该算法能够获得较低的误码率与较高精确度。但是，随着算法精确度的提升，其复杂度也相应增加，在实际应用中受到了一定的限制。
文献[11]提出了一种线性最小均方误差算法(LMMSE)。该算法将式(8)中的(XXT)-1替换成期望值E[(XXT)-1]，得到相对简化的LMMSE信道估计准则：
H^lmmse(k)=RhhRhh+βSNR-1H^ls(k)(9)
其中，β是调制类型常数，若信道采用16QAM调制，则β取17/9; 若采用QPSK调制，则β取1。LMMSE的协方差矩阵σ2可表示为：
σ2=Rhh-RhhRhh+βSNR-1H^ls (10
LMMSE信道估计的均方误差(MSE)为：
MSElmmse=1Ntr{σ2}(11)
其中，tr(·)是迹算子，其所有元素都在矩阵的对角线上。式(10)中，信道的相关性β与SNR可以设为固定值，在求解矩阵Rhh+βSNR的逆运算时只需要计算一次，因而减小了算法的复杂度。但随着SNR的增加，逆矩阵的求解也将变得更为复杂。因此，LMMSE信道估计的主要缺点仍然在于复杂的矩阵求解运算。
三、改进的LMMSE信道估计算法
3.1信道的时域特性
本文算法是在加性高斯白噪声(Additive White Gaussian Noise， AWGN)信道下基于导频的OFDM信道估计。假设无线信道传播环境服从非线性散射分量(NonLineOf Sight， NLOS)，接收端信号概率密度函数服从瑞利分布。设第k个OFDM符号在时间间隔Ts内的离散信道脉冲响应(Channel Impulse Response， CIR)[12]为：
h(n)=∑Ll=1αk，lδ(n-τl); n=0，1，…，N-1(12)
其中：αk，l为第l条路径在第k个OFDM符号内的复增益，且其随时间变化而变化; τl表示离散路径l的归一化时延; L是离散路径的个数; δ(n)为Kronecker函数。假定信道离散路径之间彼此独立，则经过AWGN信道之后的信道其时域表达式可表示为：
h^ls[n]=
h[n]+ω[n]，0≤n≤L-1
ω[n]，L≤n≤N-1 (13)
其中ω[k]表示信道噪声分量，可表示为ω[n]=IDFT{σ[k]X[k]}。
对于AWGN的信道能量可用时域信道响应的自相关函数表示：
E[h^h^H]=diag{2h(0)，2h(1)，…，2h(N)}(14)
其中，2h=σ2h+βSNR，diag{2h(0)，2h(1)，…，2h(N)}为对角矩阵，其对角元素即为各路径的平均功率。
传统的基于导频信道估计方法均假设信道是稠密多径的，利用大量的导频来获取信道状态信息的研究，这样做的结果就是会导致频谱资源利用率低，且其信道噪声和残余信道间干扰(Inter Channel Interference， ICI)都会在一定程度上影响估计算法的MSE，因而对于时变无线信道的真实特性我们很难把握。针对这样的问题，在对AWGN的时域特性进行了研究的同时，发现信道的能量并不是均匀地分布在这L条信道路径中，而是集中在里面的某N条路径上[13]。如图2所示，n表示信道中子载波个数，整个信道时域响应h(n)分布较为集中，因此可以将其余路径上的信道能量视为噪声方差σ2g，通过加权系数将期望值较高的σ2g分配到这AWGN信道上。于是AWGN信道的能量可表示为：
E[h^gh^Hg]=diag{2h(0)+σ2g，2h(1)+σ2g，…， 2h(N)+σ2g，σ2g，…，σ2g}(15)
其中：2h(N)为第N径信道的能量，σ2g为信道的噪声方差。
图片
图2信道的时域特性
3.2改进的LMMSE算法
针对信道的稀疏特性，本文算法通过对信道的时域能量进行分析，并与加权系数求平均相结合的方法来计算信道子载波的频域响应。图3所示为文中改进的LMMSE估计算法模型。对于传统的LMMSE而言，信道自相关矩阵Rhh在频域上的能量主要集中在低频部分，而在时域上对应的是Rhh矩阵中相关性较高的元素[14]。因此按照式(15)所述信道能量分布的特点，对时域信道前N条路径上的信道响应进行估计，忽略其他多径信道上非重要信息的影响，进而更加准确快速的进行信道估计。算法从信道能量观点出发，避免了传统LMMSE信道估计中复杂的矩阵求解及其逆过程的运算等问题。
图片
图3采用加权系数LMMSE信道估计模型
设OFDM系统的子载波路径数为L，符号训练周期为S。估计算法首先对第N路信号流lN进行初始信道估计及预滤波，得到信道响应[N]，然后将相邻子载波的信道估计误差之比作为信道响应的加权系数K[s]，然后对[N]进行加权平均得到估计的子信道响应值 h^[N]。按照上述方法依次对前N路子信道递推，估计出前N路子信道中所有子载波的信道频率响应，进而完成信道估计。
具体的加权算法描述如下：
1)采用算术平均的方法计算出置信度较高的子载波信道频域响应h^[N]：
h^[N]=∑Ss=1[s，N]/S(16
2)根据无线信道缓慢变化的特性，以当前信道响应h^[N]作为相邻子载波在N-1处的信道响应实际值，并计算其估计误差，得到符号加权系数K：
K[s，N-1]=δ2[s，N-1]∑Ss=1δ2[s，N-1](17)
式中，δ2[s，N-1]为相邻子载波间的估计误差：
δ2[s，N-1]=[s，N-1]-h^[N]2(18
3)计算N-1处子载波的信道响应估计值h^[N-1]：
h^[N-1]=∑Ss=1K[s，N-1][s，N-1](19
同理，由式(17)～(19)可计算出子载波在N-2处的信道响应h^[N-2]。
4)重复步骤2)～3)，依次计算出子载波在N-2，N-3，…，0处的信道响应，直到获得所有子载波的信道响应。
5)采用加权后的信道频率响应估计准则可写为H^glmmse[N]=Kn·h^lmmse[N]的形式。而当h^lmmse[N]的均方误差最小时可用一个对角矩阵来表示，则此时信道的频域特性可表示为：
H^glmmse[N]=Kn·h^lmmse[N]=Kn·
diag2h(0)2h(0)+βSNR，2h(1)2h(1)+βSNR，…，2h(N)2h(N)+βSNR·h^ls(20
因此，改进后的LMMSE的均方误差(MSE)为：
MSElmmse=1N tr{E[(h-h^glmmse)×(h-h^glmmse)H]}=
1N∑Ni=0tr{diag[2h(i)]} (21
由于文中采用的是高斯多径信道，所以不同路径的信道衰落之间可以认为是互不相关的。考虑到无线信道的时变性和散射性，信道估计过程中必须根据实际的通信环境选取适当的载波参考位置。在算法进行预滤波及初始信道估计时，子载波位置N的选择尤为重要，其位置变化将直接影响信道估计的性能： 如果N值过大，则进行信道估计时噪声能量将会显著增加; 如果N值偏小则可能会过滤掉信道中的有效多径分量，从而产生“平底”效应。
3.3改进LMMSE算法复杂度分析
对于式(20)的信道频域响应准则，可将其写成向量累加的形式：
H^glmmse[N]=Kn·∑Ln=0∑Ns=02h(s)2h(s)+β/SNR·h^ls=
∑Ln=0KnFnh^ls(22)
其中：Kn表示加权系数矩阵K的一个行向量，Fn=2h(s)2h(s)+β/SNR表示一个常数。将行向量Kn与常数项Fn相乘需要N次乘法运算，KnFn再与h^ls列向量相乘需要N次乘法运算，则计算一个Fn需要的乘法运算次数为2N，那么L个Fn共需要次乘法为2LN。由于Kn与Fn相乘无需加法运算，KnFn与h^ls相乘需要N次加法，L个Fn共需要LN次加法。
表1所示为LS、LMMSE、SVDLMMSE，以及本文提出的改进LMMSE算法的乘法、加法的运算次数以及算法的运算时间。相对于传统的LMMSE以及SVDLMMSE而言，本文提出的改进LMMSE算法在乘法运算及加法运算次数上有所降低，而且在运算时间中也相对较少。数据表明：相比前两者而言，本文所提出的改进LMMSE算法总体复杂度较小。
表格(有表名)
表1算法计算复杂度比较
算法乘法次数加法次数运算时间/s
LSN035.3209
LMMSE4N3+18N-124N3+18N-188.5014
SVDLMMSE3LN2LN-L-N62.4173
改进LMMSE2LNLN55.5429
四、仿真结果及分析
对文中所提算法在Matlab 2007平台上进行仿真，使用误比特率(BER)和均方误差(MSE)来衡量信道估计的性能。仿真实验采用16QAM高效调制方法，使用基于块状导频结构的OFDM系统，信道类型为高斯多径信道。假设系统同步，每个OFDM符号子载波个数为256，子载波间隔取 7.815kHz，循环前缀长度为16，多径数为5，信号采样频率为1024Hz，最大多普勒频率为2GHz。
图4、图5所示为LS算法、LMMSE算法、SVDLMMSE，以及文中所提改进的LMMSE算法在不同信噪比(SNR)情况下的均方误差(MSE)和误码率(BER)对比分析。由图4可知，随着SNR的增加，文中所提改进算法的MSE明显优于LS算法和经过奇异值分解的SVDLMMSE算法; 而且在信道特性未知的条件下，改进算法的MSE非常逼近理想条件下的LMMSE算法(该算法需要预先知道信道特性)。从图5中可以看出，在信噪比大于10dB的时候，相同SNR条件下文中所提改进LMMSE算法的BER要明显低于LS算法和经奇异值分解的SVDLMMSE算法。由于文中所提算法采用加权系数估计的方法，可以实时地对信道频率响应的变化5结语
本文针对非盲信道估计算法在实际应用中的一些不足，提出了一种改进的LMMSE信道估计算法。该算法通过对信道中子载波时域部分频率响应进行加权平均，使其在信道统计特性未知的条件下表现出良好的估计性能。由于系统中每个OFDM符号在训练周期内加权系数只与当前子载波之间的误差δ有关，因此无需考虑无线信道中多径时延带来的影响。仿真实验结果表明，本文所提改进的LMMSE算法整体性能明显优于LS算法和奇异值分解SVDLMMSE算法，精确度逼近于理论上最优的LMMSE信道估计。由于需要兼顾信道估计算法的复杂度与精确度等问题，在不增加系统复杂度的前提下，能否更加有效地利用导频方案来提升信道估计系统的性能，将是下一步研究的重点。
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