铁丝围矩形问题的教学探索
摘要：在教学活动中实施有效教学，使学生的基础性学力、发展性学力和创造性学力都得到很好的发展。
苏科版教材九年级数学上册第四章第三节中用一元二次方程解决铁丝围矩形的“动态”问题，设置了有一定挑战性和思考性的现实问题情境。学生通过自主探索研究，可以提高分析问题、解决问题的能力，从而获得更多的解决问题的方法和经验，更好的体会数学的价值。教师只需加以适当的引导就可以了。下面加以简要分析：题目：现有总长度为22m的栅栏，能否围成面积是30m的矩形花圃?能否围成面积是32m的矩形花圃?并说明理由。
学生独立思考，举手并尝试分析：如果设这段栅栏围成的矩形花圃的一边长是xm，那么矩形花圃的另边长是(22-2X)/2m。学生据此可以列出方程求解。
教师请两名同学到黑板板演，其余同学在下面做。解题过程如下：
解：设这段栅栏围成的矩形花圃的一边长是xm，那么矩形花圃的另一边长是(11-x)m。
(1)如果矩形花圃的面积是30m ，那么x(11-x)= 30，解这个方程，得x1=5，x2=6，从而算出长22m的栅栏能围成面积是30m2的矩形花圃。
(2)如果矩形花圃的面积是32m2，那么X(11-x)=32，整理，得x2-11x+32=0因为b2-4ae=(-11)2-4 x 1X32=121—128=-7<0，所以此方程没有实数解。因此长22m的栅栏不能围成面积是32m2的矩形花圃。
学生的解答过程较好。教师激疑：难道说，一段长22m的栅栏可围成的矩形花圃的.面积是有范围的吗?学生认可。
教师：那么面积有怎样的范围?学生陷入深深地思考，并急于想获知结果。同学们将思考聚焦在X(11-x)上，然后终于有学生有所发现，阐述观点：设这段栅栏围成的矩形花圃的一边长是xm，那么矩形花圃的另一边长是(1l-x)m，X(11-x)=一X2+11x=-(x-5.5)2+30.25,不论x取任何实数，X(11-x)的值总不大于30.25。同学们这才恍然大悟，原因、病根、症结找到了，对问题的理解就更透彻了。
教师给予肯定。教师追问：哪位同学还会有其他发现?学生：当一边长为5.5m时，矩形的面积为最大，是30.25mz，此时四边形的形状为正方形。教师对同学们的细心发现表示赞赏。教师激疑：如果要用给定长度的栅栏围成一个最大面积的四边形区域，那么应当把这一区域的形状选成什么四边形?学生：正方形。教师继续追问：如果要用给定长度的栅栏围成一个最大面积的区域，那么应当把这一区域的形状选成什么图形?凭借以前的知识积累，学生回答是圆。教师：你们如果能用实验说明，就更好了。学生讨论交流，尝试举例。如：可以在一块四周均匀拉紧了的自行车内胎薄膜上，用针划一个细小的小口，它必然会变成近似圆形的小孔。或拿一根柔软的皮圈，水平放在一块玻璃板上(皮圈与玻璃板之间无空隙)，向皮圈中间缓慢倒水，皮圈会变成圆形，而由于水的特性会保证水占有尽可能大的面积，所以问题得证。
学生的思维一旦发散，就像打开泄洪的闸门一样，一发不可收拾。学生试图利用液体的表面张力去探寻。教师组织学生小组合作，实际动手操作演示：先用细线打一个小圈(线要较软，不要太长)，放在一个沾有肥皂水并形成薄膜的铁丝圈上。再用针将线圈内的薄膜刺破，这时由于线圈外的薄膜要收缩到最小面积，而将线圈拉成圆形，即空出来的面积最大。
学生小组合作，兴致盎然，课堂气氛热烈。在教学中，如何通过设问引导学生积极思考是很多教师的疑难问题。对于这道题笔者从x(11一x)=30的有解，到X(11-x)=32的无解，激发学生重新审视x(11-x)，得出了x(11-x)有着自身特有属性，进而探究给定长度的栅栏围成一个最大面积的四边形区域是什么形状?又从学生已有的知识经验水平与最近发展区之间的问题人手，让学生举例，并通过实验演示，验证围成一个最大面积的区域是圆形的结论，通过连续提问，诱导学生去发现问题、探究问题、创造性地解决问题。学生对给定长度的线段围成的最大面积的区域是圆的生活体验，教师事先也无法了如指掌，学生的想法与思维既有“归队”的时候，也有“出轨”的时候，但也只有这样切合学生的实际，才会真正体现数学的“返璞归真”。作为教学设计的实施环节，课堂教学实践永远是教师发挥创造性的最大舞台。只要教师在课堂教学中注重培养学生的自觉反思习惯，善于抓住培养学生反思意识的切人点，定能使学生学会用数学的眼光看问题，学会用数学的头脑去发现问题、分析问题、解决问题等，学生将会终生受益，这也正切合数学教学所要达到的最终目的。
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