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数形结合在高等数学中的应用价值论文
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摘要：
数形结合是重要的数学思想之一，教师在引导学生学习相应的数学知识时，也需要善于引导学生树立起数形结合的分析解题思想，从而使得学生能够迅速把握数学问题本质，提升其数学学科素养。在本文中，笔者以高等数学教学工作为例，具体分析数形结合思想在高等数学教学中的应用，旨在为广大教学同仁提供参考。
关键词：
数形结合；高等数学；教育；数学思想；应用；
引言：
前言：简单来说，数形结合思想就是将数学图形与数量关系结合起来，通过相互转换、转化来分析、解决相应的数学问题。高等数学中蕴含着十分丰富的数形结合数学观念，加之高等数学本身具有较强的抽象性与逻辑性，故而在教师的具体教学工作中，引导学生合理运用数学思想则是帮助学生掌握相应数学知识的关键所在[1].通过运用数形结合思想，并将其运用优势充分发挥出来，不仅能够有效地降低高等数学知识学习难度，还能够进一步培养学生的综合数学学科素质。在下文中，笔者以数形结合思想在高等数学教学中的应用价值为论述切入点，并探究了数形结合思想的相关应用策略。
1、数形结合在高等数学中的应用价值
1.1深化理解数学概念
在学生们学习高等数学过程中不难发现，不少数学概念都是通过抽象的数学语言来表达的，此时，在理解数学概念的时候不少学生都较为吃力。但借助数形结合思想进行概念理解的话，则可以很好的帮助学生加深对于数学知识的理解及记忆[2].例如，教师在为学生讲解"导数"的相关概念时，教师可以先从变速直线运动的瞬时速度、平面曲线的切线斜率等实际问题着手，从变化的曲线、直线运动中概括出相应的数量关系，使得学生可以初步形成"导数的概念为变化率的极限"这一基本认识。又或者是教师在为学生们讲解双曲抛物面的相关内容时，由于学生们刚刚接触这部分内容，他们比较难以去理解双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程及其构成图形。此时，教师则可以运用平行切割法将双曲抛物面形成的动态过程为学生们进行展现分析。高等数学知识概念相对抽象，且具有一定的逻辑性、层次性，因此教师在教学时，可以积极地借助几何图形来引导学生逐步观察、分析，最终以形助数，使其完全掌握所学的数学概念与知识。
1.2直观解释数学定理
大多数学生们认为高等数学知识学习难度较大通常是因为这门课程的相关内容与知识点相对繁琐，所要求积极、理解的定理、公式更是数不胜数。但在数形结合教学模式时，教师则可以将抽象性的内容以具象化的情境或过程呈现在学生眼前，达到辅助学生学习的目的。例如，罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理的结论都是切线平行于弦，教师在为学生们讲解"罗尔定理"的相关内容时，则可以运用微课教学形式将相应的定理文字以直观形象的图例进行展示说明，以此有效激发学生们的探究兴趣，活跃其思维。接着，为顺利地引出"拉格朗日中值定理",教师还可以运用flash动画演示软件倾斜图形，此时，学生们则能够更加积极地认识到"拉格朗日中值定理的一般情形是罗尔定理"、"拉格朗日中值定理更一般的情形是柯西中值定理"等数学根本。由此可见，借助数形结合数学思想，可以有效地反映出图形与数量之间的关系，而通过这样的教学形式，学生们对于各定理之间的联系也或更加了然于心，这对于提升其数学知识学习效率、质量均具有重要推动作用。
1.3增强学生求简意识
运用数形结合思想进行数学问题分析与解答，更有利于指导学生抓住数学本质，将复杂的数学问题简单化，从而提升解题效率，强化学生自身数学问题解题思路的形成[3].例如，"已知：函数f（x）=（x+a）2+|x+a|在区间（3,+∞）上单调递增，求a的取值范围？"在解答这一函数问题时，f（x）=（x+a）2+|x+a|可改写为f（x）=|x+a|2+|x+a|,改写后的函数又可以看成是由函数y=|x|2+|x|经过坐标平移得来的。此后，学生们则可以在不同的取值条件下，如当x≥0时、x<0时分别画出该函数的图像，将两个函数合并在一起后，我们则可以发现，图像的最低点为x=-a,在x<-a时，函数单调递减，在x>-a时，函数单调递增。结合已知条件给出的区间范围，则可以得出a的取值范围为a≥-3.又或者是"求解函数z=x+y在约束条件下x2+2y2=4时的最值",通过题干可知，解答这一问题时可以采用拉格朗日乘数法，但运用代数关系进行最值求解，这一过程无疑较为繁琐。此时，为了有效地简化解题过程，教师则可以引导学生运用数形结合思想发掘题目中所蕴含的几何规律。x2+2y2=4可以转化为椭圆轨迹理解，那么这一题目中函数z=x+y则可以理解为一条斜率为-1的直线，即整个题目可以视为"椭圆上的任意P点沿椭圆运动时，在x轴与y轴的截距最值问题".当题目被简化之后，学生只需求解直线x+y=z与椭圆x2+2y2=4相切的值即可。由此可见，在高等数学教学中教师引导学生运用数形结合思想，借助图形直观或几何理念可使数量关系形象化，此时，数学问题的解答也会变得更加简便。
2、数形结合在高等数学教学中的应用策略
2.1强化数形结合引导
在进行具体的高等数学知识教学是，教师自身应当有意识地引导学生利用数形结合思想分析、解决数学问题，无论是在讲解数学概念、解释数学定义、推导定理还是在解题计算时，教师都可以强调数形结合可有效降低学习难度、强化知识点记忆理解的应用优势[4].同时，在布置相应的数学习题时，教师也可以强调学生多运用数形结合来思考问题，以此加强教学引导来培养学生们主动使用数形结合思想的习惯。
2.2利用信息化技术
信息化教学手段深受广大教师的喜爱，在高等数学教学工作中，教师也应当善于借助微课、云课堂等教学工具，以图像、视频、动态图等多样化的信息手段来培养运用数形结合展开教学。在信息化学习模式中，原本抽象画的内容变得具象，而数量关系与数学图形的结合、动态与静态的结合都使得所学的高等数学内容生动起来，有效降低了相关知识点的学习难度，学生们在理解与接受后续的数学应用中也会更加得心应手。从另一角度上说，学生也可以根据自身的实际学习需求来调整学习速度、演示进度等，此时，图形的动或静、数和形的潜在变化都可以清晰、直观地呈现在学生眼前。
2.3形成常态化教学
数形结合思想的培养不应当是局限于某一知识点或者是某一教学单元中，而是应当涵盖学生整体的高等数学学习过程，将数形结合教学形成常态化，此时则更有助于促使学生形成科学的数学思维习惯。而在教师的教学过程中，则应当善于挖掘出教材中所蕴含的数形结合思想，并切实地从教学目标、教学内容、教学经过、课后练习等诸多缓解有层次地、分阶段地渗透数形结合思想。
结语：综上所述，作为数学思想的重要组成部分，在高等数学教学工作中有机融合、渗透数形结合思想是每位教师都值得深切思考的重点课题，而利用数形结合开展高等数学教学工作，无疑也是极大地优化了学生们的学习过程，帮助其充分提升了学习效率及质量，对于培养其数学学科素质具有重要的意义与价值。
参考文献
[1]宋大谋.数形结合法在高职专《高等数学》教学中的运用[J].才智，2019（13）：172.
[2]文利霞.例谈数形结合思想在高等数学教学中的应用[J].西部素质教育，2018,4（16）：162-163.
[3]郭倩茹，赵秋兰.高等数学的思维方式在统计学教学中的应用[J].陕西广播电视大学学报，2016,18（04）：44-46.
[4]王艳红.数形结合在数学解题中的应用分析[J].数学学习与研究，2014（15）：88.
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