试析在“高等数学”教学中培养学生的数学素养
论文摘要：“高等数学”课程不仅要传授知识，更要传授数学的精神、思想和方法，以培养学生的思维能力和数学素养。阐述了数学素养的内涵及培养数学素养的重要性，以及在科学思维、科学方法指导下通过“高等数学”教学培养学生数学素养和创新能力的基本思路。论文关键词：高等数学教学；数学素养；科学思维能力；启发式教学
数学的许多理论与方法已经广泛深入地渗透到自然科学和社会科学的各个领域之中。随着知识经济时代和信息时代的到来，数学更是“无处不在，无所不用”。数学在各个领域的应用对大专院校的“高等数学”教学提出了更高的要求。“高等数学”是非数学专业的一门重要的专业基础课，该课程除了使学生收获到必要的数学知识以外，更重要的是学生能收获到让他们终生受益的良好的数学素养和数学思维。只有掌握了正确的科学思维方法和具备了良好的数学素养，才能提高应变能力和创新能力。
一、数学素养的内涵
由经济合作与发展组织（OECD）领航的国际学生评测计划（PISA）对数学素养的界定是：数学素养是一种个人能力，能确定并理解数学对社会所起的作用，得出有充分根据的数学判断和能够有效地运用数学。这是作为一个有创新精神、关心他人和有思想的公民，适应当前及未来生活所必须的数学能力。
南开大学数学科学学院顾沛先生认为数学素养是通过数学教学赋予学生的一种学数学、用数学、创新数学的修养和品质，也可以叫数学素质。具体包括以下五个方面内容：主动探寻并善于抓住数学问题中的背景和本质的素养；熟练地用准确、严格、简练的数学语言表达自己的数学思想的素养；具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出数学猜想、数学概念的素养；提出猜想后以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的道路的素养；善于对现实世界中的现象和过程进行合理地简化和量化，建立数学模型的素养。
二、培养数学素养的重要性
数学与人类文明、人类文化有着密切的关系。数学在人类文明的进步和发展中，一直在文化层面上发挥着重要的作用。数学素养是人的文化素养的一个重要方面，而文化素养又是民族素质的重要组成部分。因此，培养学生的数学素养，可以为民族素质的提高和发展创造有利的条件。
培养数学素养还有利于学生适应社会的发展，有利于今后的可持续发展。大多数非数学专业的学生在今后的工作中所需要的数学知识并不多，如果他们毕业后没什么机会去用数学，那么他们很快就会忘掉在学校所学的那些作为知识的数学，包括具体的数学定理、数学公式和解题方法。对此，日本著名数学教育家米山国藏认为：“不管学生们将来从事什么工作，深深铭刻在心中的数学精神、数学的思维方法，研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却将随时随地发生作用，使他们受益终身。”他还说：“对科学工作者来说，所需要的数学知识，相对的说也是不多的，然而数学的研究精神、数学的发明发现的思想方法、大脑的数学思维训练，却是绝对必要的。”由此可以看到，对学生今后的发展起到最大作用的并非他们在课堂上学到的数学知识，而是在循序渐进的数学学习过程中获得的数学的精神、科学的思维方法、分析问题的逻辑性、处理问题的条理性、思考问题的严密性。这些良好的数学素养对人的发展起着不可或缺的作用。
三、在“高等数学”教学中培养学生数学素养的具体做法
1.重视数学的灵魂——概念和观念的教学，培养学生善于抓住问题本质的素养
“高等数学”中的很多基本数学概念，如极限、导数、积分和级数等都是从实际应用问题中产生并抽象出来的，数学概念的提出和完善过程最能反映抽象思维的过程。而且只有深入分析并透彻理解数学概念才能指导学生将其应用于解决其他相关问题，从而提高应用能力。如果将教学的重心放到解题方法和解题技巧上，而忽略了真正的灵魂——概念和观念的教学就是本末倒置了。从美国优秀微积分教材中对概念的阐述及美国AP（Advanced Placement）微积分计划中受到启发，对重要概念的教学进行了改革。例如，在导数概念的引入过程中增加一些有趣的新颖的例子，让学生体会从实际问题中抽象出数学概念的方法。同时在课外练习中增加很多概念理解型的题目，帮助学生深刻理解导数概念的本质；在引入偏导数和全微分概念的时候，通过实例引导学生思考如何能在一元函数导数和微分的定义基础上进行相应地修改或做一定的变化得到多元函数的类似概念；讲授微分概念时，着重强调以直线段代曲线段、以线性函数代非线性函数的思想。另外，还简单地介绍离散化、随机化、线性化、迭代、逼近、拟合及变量代换等重要的数学方法，让有兴趣的学生课后查找资料深入学习。这样做可以让学生学会解决实际问题的根本方法即抓住问题的本质，并在探究的过程中体会到乐趣和成就感，同时培养学生抽象的能力，联想的能力以及学习新知识的能力，有利于提高学生的数学素养。
2.在课堂教学中渗透数学史，让学生感受数学精神、感受数学美
现代数学的体系犹如“茂密的森林”，容易使人身陷迷津，而数学史的作用正是指引方向的“路标”，给人以启迪和明鉴。数学的发展历史中，包含了许多数学家无穷的创造力。很多数学问题并非靠逻辑推理就能一步步解决的，而是起源于某种直觉，某种创造性构建，甚至把许多表面不相关的东西牵连在一起思考，然后再通过严密的逻辑推导过程来完善它。如果在课堂上适时适当地引用数学史的知识作为补充和指导，不但可以活跃课堂气氛，还可以激发学生的学习兴趣。比如在讲授微积分的内容时介绍它是人类数学史上的重大发现，介绍牛顿-莱布尼兹定理产生的历史背景；在讲授解析几何时，将笛卡尔引入坐标方法用方程表示曲线并创立解析几何的思维过程展现给学生，使学生明白学习解析几何的意义。通过数学史可以了解知识的逻辑源头，理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想，体验寻找真理和发现真理的方法，体会数学家的创造性，有利于培养学生的创新能力。另一方面，数学的发展并非一帆风顺的，数学史是数学家们克服困难和战胜危机的斗争记录，是蕴涵了丰富数学思想的历史。了解数学史的同时会为数学家们的科学态度和执着追求的精神而感动，这是能够引领学生一生的精神食粮。除此之外，数学无论是在内容上还是在方法上都具有自身的美。数学之美体现在多个方面，如微积分的符号集中体现了数学的简洁美，众多微积分公式体现了数学的对称性和协调性，线性微分方程解的结构体现了数学的和谐美。在讲授“高等数学”的时候引导学生欣赏数学的美，则数学的学习将不再枯燥，学生的审美情趣也会在对美的享受过程中逐步提升。 3.采用启发式和研究式教学，提高学生的思维能力
选择适当的内容，有针对性地安排讨论课，精心设计讨论的问题，让学生各抒己见，可以极大地激发他们求知和创新的欲望，培养了学生的创新思维和创新意识。例如，选择微分中值定理进行讨论，这部分内容理论性强，对初学者来说短时间内较难理解。选取一些典型的难度适当的习题，让学生认真思考后自由讨论。通过讨论学生不仅对构造辅助函数的方法有了深刻的印象，而且加深了对抽象数学理论的理解，同时还锻炼了数学语言的表达能力，培养了逻辑推理能力，增强了学生主动参与课堂的意识和创新的意识。又如，在高阶线性微分方程的教学中，从一阶线性微分方程解的结构入手，引导学生做大胆的猜想，并尝试对猜想的结论进行分析和论证；接着再从最简单的二阶常系数齐次微分方程和开始，引导学生通过观察找到方程的通解，然后再引导学生尝试如何得到一般的二阶常系数齐次微分方程的通解；如此逐步发现这类方程的通解形式实际上是由特征方程的根决定的，最后归纳出求解二阶常系数齐次微分方程的特征方程法，并将此方法和换元降阶的方法对比，讨论用哪种方法求解更好。采用启发式和研究式相结合的教学方法使学生更乐于积极地思考问题，并从中体会到发现的快乐，激发了学生的学习热情及研究兴趣，也培养了学生分析问题解决问题的能力。
4.在“高等数学”教学中渗透数学建模思想，培养学生应用数学的意识和创新意识
数学建模是将数学思想与方法应用到解决实际问题中的有效途径，是培养学生分析问题解决问题的能力、灵活运用数学知识处理实际问题的能力，是激发学习兴趣、增强协作意识、培养创新能力的最佳手段。建立数学模型是数学活动中最具有开创性的工作。在各种数学新领域的开辟工作中，建立数学模型起到了奠定基础、勾画蓝图、提出新思想、新方法的作用。运用数学理论解决实际问题也具有较强的创新性。要解决一个问题首先要判断它是否为数学问题，其次要将问题数学化，然后才能运用数学理论来解答它。实际上，在“高等数学”课程中就有很多数学建模的实例。如，由LRC串联电路建立二阶常系数线性微分方程，为了求流体的流量而引入对坐标的曲面积分，根据条件建立目标函数求最大值和最小值等。在教学中对这些例子加以剖析，渗透数学建模的概念，可以使学生对数学建模有一个初步的认识。即将具体问题简化、一般化，从而得出问题原型的一个数学化的抽象，就是数学模型。换言之，模型是对原型的抽象，而使用数学语言将原型抽象化的结果，就是数学模型。为了配合后继数学建模课程的教学和数学建模竞赛，在“高等数学”教学中增加了一定学时的数学实验，结合具体实例让学生学会利用计算机的绘图和计算功能作出图形或计算出结果，使学生对相关概念或结论获得较直观的认识，既减轻了学生在接受和理解抽象知识上的困难，也为后期的建模打下基础。
数学来源于实践并应用于实践，在“高等数学”教学中渗透数学建模思想可以使学生充分认识到数学的应用价值，培养学生的应用意识和创新意识，对于发展学生的数学思维也是非常重要的。
四、结束语
数学的应用是时时存在，处处存在的，数学的影响是潜移默化的。数学的精神、思想和方法是数学教育的根本目的之所在。“高等数学”课程是培养非数学专业大学生数学素养的重要载体。在“高等数学”的教学中要把培养和提高学生的数学素养放在重要的位置，不断地寻找有效的手段使学生在学习数学知识的过程中理解数学的精神、思想、观念和意识等；能够灵活地运用数学的思想方法，掌握正确的学习方法、工作方法和思想方法，弘扬数学研究中的科学精神；能够认识和欣赏数学的美。数学素养的养成不是一朝一夕的，在教学中务必要坚持注重培养学生科学思维的品质，让数学素养能够在每一个学生身上沉淀和积累，为他们今后的可持续发展奠定坚实的基础。
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