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2016学年九年级数学上期中试卷
如果不想在世界上虚度一生，那就要学习一辈子。下面是小编整理的2016学年九年级数学上期中试卷，欢迎大家试做。
一、选择题(每题3分，共24 分)
1.化简 的结果是( )
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9
2.下列二次根式中与 是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.下列命题中，真命题是( )
A. 两条对角线垂直的四边形是菱形
B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线相等的四边形是矩形
D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
4.估计﹣ +1的值( )
A. 在﹣3到﹣2之间 B. 在﹣4到﹣3之间 C. 在﹣5之﹣4间 D. 在﹣6到﹣5之间
5.关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0(其中a为常数)的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 可能有实数根，也可能没有
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
6.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )
A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等的四边形
7.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为( )
A. 30，2 B. 60，2 C. 60， D. 60，
8.如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若DE：AC=3：5，则 的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题2分，共20分)
9.计算： ﹣ = ;( +1)( ﹣1)= .
10.一元二次方程﹣x2=x的解是 .
11.使代数式 有意义的x的取值范围是 .
12.若关于x的方程x2﹣3x+k=0的一个根是0，则k值是 ，另一个根是 .
13.一组数据2，﹣1，0，x，1的极差是5，则x的值是 .
14.已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰长为3，则这个等腰梯形的周长为 .
15.如图，已知P是 正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是 度.
16.如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB的度数为 .
17.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，
按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为 .
18.如图，矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，EC=2cm，AD上有一点P，PA=6cm，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P与E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是 cm.
三、解答题(共20分)
19.计算：
(1) ﹣ + ;
(2)(π﹣2013)0+ +( )﹣1.
20.解方程：
(1)x2﹣12x﹣4=0;
(2)3(x﹣2)2=x(x﹣2).
四、解答题(共36分)
21.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
22.如图，在△ABC中，D是边AC上一点，且BD=BC，点E、F分别是DC、AB的中点.求证：
(1)EF= AB;
(2)过A点作AG∥EF，交BE的延长线于点G，则BE=GE.
23.观察下列各式及其验证过程：
=2 ，验证： = = =2 .
=3 ，验证： = = =3 .
(1)按照上述两个等式及其验证过程，猜想 的变形结果并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律，写出用a(a为自然数，且a≥2)表示的等式，并给出验证;
(3)用a(a为任意自然数，且a≥2)写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程.
24.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G.
(1)猜想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论;
(2)若AB=3，AD=4，求线段GC的长.
25.平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(﹣1，3)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的.
(1)请写出旋转中心的坐标是 ，旋转角是 度;
(2)以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形.
26.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动.
(1)用含有t的代数式表示PE= ;
(2)探究：当t为何值时，四边形PQBE为梯形?
(3)是否存在这样的点P和点Q，使△PQE为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的t的值;若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题(每题3分，共24分)
1.化简 的结果是( )
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9
考点： 二次根式的性质与化简.
分析： 本题可先将根号内的数化简，再开方，根据开方的结果得出答案.
解答： 解： = =3.
故选：A.
点评： 本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意式子为(﹣3)2的算术平方根，结果为非负数.
2.下列二次根式中与 是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
考点： 同类二次根式.
分析： 运用化简根式的方法化简每个选项即可选出答案.
解答： 解：A、 =2 ，故A选项是;
B、 =3 ，故B选项不是;
C、 =2 故C选项不是;
D、 = ，故D选项不是.
故选：A.
点评： 本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是熟记化简根式的方法.
3.下列命题中，真命题是( )
A. 两条对角线垂直的四边形是菱形
B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
C. 两 条对角线相等的四边形是矩形
D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
考点： 菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定.
分析： 本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系.
解答： 解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误;
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误;
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误;
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确;
故选D.
点评： 本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备.
4.估计﹣ +1的值( )
A. 在﹣3到﹣2之间 B. 在﹣4到﹣3之间 C. 在﹣5之﹣4间 D. 在﹣6到﹣5之间
考点： 估算无理数的大小.
分析： 先求出 的范围，再求出﹣ +1的范围，即可得出选项.
解答： 解：∵3< <4，
∴﹣3>﹣ >﹣4，
∴﹣2>﹣ +1>﹣3，
即﹣ +1在﹣3到﹣2之间，
故选A.
点评： 本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出 的范围.
5.关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0(其中a为常数)的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 可能有实数根，也可能没有
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
考点： 根的判别式.
分析： 先计算△=(﹣2a)2﹣4×(﹣1)=4a2+4，由于4a2≥0，则4a2+4 >0，即△>0，然后根据根的判别式的意义进行判断即可.
解答： 解：△=(﹣2a)2﹣4×(﹣1)=4a2+4，
∵4a2≥0，
∴4a2+4>0，即△>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故选A.
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.
6.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )
A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等的四边形
考点： 三角形中位线定理;菱形的判定.
分析： 根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF= BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案.
解答： 解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，
∴EH= AC，EH∥AC，FG= AC，FG∥AC，EF= BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH= AC，EF= BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D.
点评： 本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键.
7.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，B C=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为( )
A. 30，2 B. 60，2 C. 60， D. 60，
考点： 旋转的性质;含30度角的直角三角形.
专题： 压轴题.
分析： 先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论.
解答： 解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2× =2 ，AB=2BC=4，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC=CD=BD= AB=2，
∵∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD= AB=2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF= BC= ×2=1，CF= AC= ×2 = ，
∴S阴影= DF×CF= × = .
故选C.
点评： 本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：
①对应点到旋转中心的距离相等;
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
③旋转前、后的图形全等.
8.如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若DE：AC=3：5，则 的值为( )
A. B. C. D.
考点： 矩形的性质;翻折变换(折叠问题).
分析： 根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC，再根据矩形的对 边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠BCA，从而得到∠EAC=∠DAC，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF=CF，再求出DF=EF，从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出 = ，设DF=3x，FC=5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解.
解答： 解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，
设AE与CD 相交于F，则AF=CF，
∴AE﹣AF=CD﹣CF，
即DF=EF，
∴ = ，
又∵∠AFC=∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴ = = ，
设DF=3x，FC=5x，则AF=5x，
在Rt△ADF中，AD= = =4x，
又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，
∴ = = .
故选A.
点评： 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键.
二、填空题(每题2分，共20分)
9.计算： ﹣ = ;( +1)( ﹣1)= 1 .
考点： 二次根式的混合运算.
专题： 计算题.
分析： 把 化简成最简二次根式，然后把 ﹣ 进行合并即可;利用平方差公式计算( +1)( ﹣1).
解答： 解：： ﹣ = ﹣ = ;
( +1)( ﹣1)=( )2﹣1=2﹣1=1.
故答 案为 ，1.
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.
10.一元二次方程﹣x2=x的解是 x1=0，x2=﹣1 .
考点： 解一元二次方程-因式分解法.
分析： 先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
解答： 解：﹣x2=x，
x2+x=0，
x(x+1)=0，
x=0，x+1=0，
x1=0，x2=﹣1，
故答案为：x1=0，x2=﹣1.
点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生解一元二次方程的能力，题目比较好，难度适中.
11.使代数式 有意义的x的取值范围是 x≥﹣2 .
考点： 二次根式有意义的条件.
分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.
解答： 解：由题意得，2+x≥0，
解得x≥﹣2.
故答案为：x≥﹣2.
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.
12.若关于x的方程x2﹣3x+k=0的一个根是0，则k值是 0 ，另一个根是 3 .
考点： 一元二次方程的解.
专题： 计算题.
分析： 先根据一元二次方程的解，把x=0代入原方程得到k的一次方程，解一次方程得到k的值，然后把k的值代入原方程，再利用因式分解法解方程得到方程另一个根.
解答： 解：把x=0代入x2﹣3x+k=0得k=0，
所以原方程变形为x2﹣3x=0，解得x1=0，x2=3，
所以方程另一个根是3.
故答案为0，3.
点评： 本题考查了一元二次方程的解 ：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
13.一组数据2，﹣1，0，x，1的极差是5，则x的值是 ﹣3或4 .
考点： 极差.
分析： 根据极差的公式：极差=最大值﹣最小值.x可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论.
解答： 解：当x是最大值时，则x﹣(﹣1)=5，
所以x=4;
当x是最小值 时，则2﹣x=5，
所以x=﹣3.
故答案为﹣3或4.
点评： 本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.同时注意分类的思想的运用.
14.已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰长为3，则这个等腰梯形的周长为 18 .
考点： 梯形中位线定理;等腰梯形的性质.
分析： 此题只需根据梯形的中位线定理求得梯形的两底和，即可进一步求得梯形的周长.
解答： 解：∵等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，
∴AB+CD=2×6=12.
又∵腰AD的长为3，
∴这个等腰梯形的周长为AB+CD+AD+BC=12+3+3=18.
故答案为：18.
点评： 本题考查的是梯形的中位线定理及等腰梯形的性质，熟知梯形中位线定理是解答此题的关键.
15.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是 22.5 度.
考点： 正方形的性质.
专题： 计算题.
分析： 根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC，从而可求得∠BCP的度数，从而就可求得∠ACP的度数.
解答： 解：∵ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BCA=45°，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC= (180°﹣45°)=67.5°，
∴∠ACP度数是67.5°﹣45°=22.5°.
点评： 此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质，平分每一组对角.
16.如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB的度数为 22.5° .
考点： 正方形的性质;菱形的性质.
分析： 根据正方形的性质求出∠BAC=45°，再根据菱形的对角线平分一组对角解答即可.
解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB= ∠BAC= ×45°=22.5°.
故答案为：22.5°.
点评： 本题考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键.
17.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，
按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为 .
考点： 菱形的性质;规律型：图形的变化类;中点四边形.
分析： 首先根据题意求得第一个菱形的面积、第二个矩形与菱形面积、第三个矩形与菱形面积，继而得到规律：第n个菱形的面积为：( )2n﹣2，则可求得答案.
解答： 解：∵第一个矩形的面积为2，
∴第一个菱形的面积为1;
∴第二个矩形的面积为： ，
第二个菱形的面积为：( )2，
第三个矩形的面积为：( )3，
第三个菱形的面积为( )4，
依此类推，第n个菱形的面积为：( )2n﹣2，
∴第2013个菱形的面积为：( )2×2013﹣2=( )4024= .
点评： 此题考查了菱形与矩形的性质.此题难度适中，注意得到规律：第n个菱形的面积为：( )2n﹣2是解此题的关键.
18.如图，矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，EC=2cm，AD上有一点P，PA=6cm，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P与E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是 cm.
考点： 翻折变换(折叠问题).
专题： 压轴题;探究型.
分析： 连接EQ，由翻折变换的性质可知△PEQ是等腰三角形，OQ是PE的垂直平分线，再由已知条件得出PD及DE的长，由勾股定理得出PE的长，设PQ=x，则QF=5﹣x，用x表示出OQ的长，根据S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE即可得出x的值，进而得出结论.
解答： 解：连接EQ，
∵将纸片折叠，使P与E重合，
∴△PEQ是等腰三角形，OQ是PE的垂直平分线，
∵矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，PA=6cm，CE=2cm，
∴PD=4cm，DE=3cm，
∵在Rt△DPE中PE= = =5.
∴OP= PE= ，
设PQ=x，则QF=5﹣x，
∴OQ= =
∵S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE，即： PE•OQ+ ( QF+CE)×CF= (PF+CE)×CF，
即 ×5× + ×(5﹣x+2)×4= ×(5+2)×4，
解得x= cm.
故答案为： .
点评： 本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.
三、解答题(共20分)
19.计算：
(1) ﹣ + ;
(2)(π﹣2013)0+ +( )﹣1.
考点： 二次根式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂.
专题： 计算题.
分析： (1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可;
(2)根据零指数幂、负整数指数幂的意义得到原式=1+3 + ，然后合并即可.
解答： 解：(1)原式=2 ﹣ +2
= +2 ;
(2)原式=1+3 +
=1+ .
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幂、负整数指数幂.
20.解方程：
(1)x2﹣12x﹣4=0;
(2)3(x﹣2)2=x(x﹣2).
考点： 解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
分析： (1)先移项，再配方，开方后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;
(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
解答： 解：(1)x2﹣12x﹣4=0;
x2﹣12x=4，
配方得：x2﹣12x+62=4+62，
(x﹣6)2=40，
开方得：x﹣6=± ，
x1=6+2 ，x2=6﹣2 ;
(2)移项得：3(x﹣2)2﹣x(x﹣2)=0，
(x﹣2)[3(x﹣2)﹣x]=0，
x﹣2=0，3(x﹣2)﹣x=0，
x1=2，x2=3.
点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生解一元二次方程的能力，题目比较好，难度适中.
四、解答题(共36分)
21.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
考点： 平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质.
专题： 证明题.
分析： 由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可.
解答： 证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD=∠FCB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
在Rt△AED和Rt△CFB中，
∵ ，
∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS)，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
点评： 本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力.
22.如图，在△ABC中，D是边AC上一点，且BD=BC，点E、F分别是DC、AB的中点.求证：
(1)EF= AB;
(2)过A点作AG∥EF，交BE的延长线于点G，则BE=GE.
考点： 三角形中位线定理;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.
专题： 证明题.
分析： (1)连接BE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE⊥AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF= AB;
(2)求出AF=EF，再根据等边对等角可得∠AEF=∠EAF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AEF=∠EAG，从而得到∠EAF=∠EAG，然后利用等腰三角形三线合一的性质可得BE=GE.
解答： (1)证明：如图，连接BE，
∵BD=BC，点E是CD的中点，
∴BE⊥AC，
∵点F是AB的中点，
∴EF= AB;
(2)解：∵AF=EF= AB，
∴∠AEF=∠EAF，
∵AG∥EF，
∴∠AEF=∠EAG，
∴∠EAF=∠EAG，
又∵BE⊥AC，
∴BE=GE(等腰三角形三线合一).
点评： 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键.
23.观察下列各式及其验证过程：
=2 ，验证： = = =2 .
=3 ，验证： = = =3 .
(1)按照上述两个等式及其验证过程，猜想 的变形结果并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律，写出用a(a为自然数，且a≥2)表示的等式，并给出验证;
(3)用a(a为任意自然数，且a≥2)写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程.
考点： 二次根式的性质与化简.
专题： 规律型.
分析： (1)利用已知，观察 =2 ， =3 ，可得 的值;
(2)由(1)根据二次根式的性质可以总结出一般规律;
(3)利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可.
解答： 解：(1)∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： = = ，正确;
(2)由(1)中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ =a ，
验证： = =a ;正确;
(3) =a (a为任意自然数，且a≥2)，
验证： = = =a .
点评： 此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键.
24.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G.
(1)猜想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论;
(2)若AB=3，AD=4，求线段GC的长.
考点： 矩形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;翻折变换(折叠问题).
分析： (1)连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证;
(2)设GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解.
解答： 解：(1)GF=GC.
理由如下：连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C=90°，
∴∠EFG=90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，
，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL)，
∴GF=GC;
(2)设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，
在Rt△ADG中，42+(3﹣x)2=(3+x)2，
解得x= .
点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键.
25.平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(﹣1，3)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的.
(1)请写出旋转中心的坐标是 (0，0) ，旋转角是 90 度;
(2)以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形.
考点： 作图-旋转变换.
专题： 作图题.
分析： (1)根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角;
(2)根据网格结构分别找出找出△A1AC1顺时针旋转90°、180°后的对应点的位置，然后顺次连接即可.
解答： 解：(1)旋转中心的坐标是(0，0)，旋转角是90度;
(2)如图所示，△A1A2C2是△A1AC1以O为旋转中心，顺时针旋转90°的三角形，
△A2C3B是△A1AC1以O为旋转中心，顺时针旋转180°的三角形.
点评： 本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的旋转中心与旋转角的确定，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.
26.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动.
(1)用含有t的代数式表示PE= ﹣ t+3 ;
(2)探究：当t为何值时，四边形PQBE为梯形?
(3)是否存在这样的点P和点Q，使△PQE为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的t的值;若不存在，请说明理由.
考点： 四边形综合题.
分析： (1)由四边形ABCD为矩形，得到∠D为直角，对边相等，可得三角形ADC为直角三角形，由AD与DC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由PE平行于CD，利用两直线平行得到两对同位角相等，可得出三角形APE与三角形ADC相似，由相似得比例，将各自的值代入，整理后得到y与x的关系式;
(2)若QB与PE平行，得到四边形PQBE为矩形，不合题意，故QB与PE不平行，当PQ与BE平行时，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出一对邻补角相等，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，可得出三角形APQ与三角形BEC相似，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到四边形PQBE为梯形时x的值;
(3)存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当Q在AE上时，由AE﹣AQ表示出QE，再根据PQ=PE，PQ=EQ，PE=QE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意x的值;当Q在EC上时，由AQ﹣AE表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PE=QE列出关于x的方程，求出方程的解得到满足题意x的值，综上，得到所有满足题意的x的值.
解答： 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，
∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC= =5，
∵PE∥CD，
∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，
∴△APE∽△ADC，
又∵PD=t，AD=4，AP=AD﹣PD=4﹣t，AC=5，DC=3，
∴ = = ，即 = = ，
∴PE=﹣ t+3.
故答案为：﹣ t+3;
(2)若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，
故QB与PE不平行，
当QP∥BE时，
∵∠PQE=∠BEQ，
∴∠AQP=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠BCE，
∴△PAQ∽△BCE，
由(1)得：AE=﹣ t+5，PA=4﹣t，BC=4，AQ=t，
∴ = = ，即 = = ，
整理得：5(4﹣t)=16，
解得：t= ，
∴当t= 时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形;
(3)存在.
分两种情况：
当Q在线段AE上时：QE=AE﹣AQ=﹣ t+5﹣t=5﹣ t，
(i)当QE=PE时，5﹣ t=﹣ t+3，
解得：x= ;
(ii)当QP=QE时，∠QPE=∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，
∴∠APQ=∠PAQ，
∴AQ=QP=QE，
∴t=5﹣ t，
解得，t= ;
(iii)当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F(如图1)，
可得：FE= QE= (5﹣ t)= ，
∵PE∥DC，∴∠AEP=∠ACD，
∴cos∠AEP=cos∠ACD= = ，
∵cos∠AEP= = = ，
解得t= ;
当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图2所示：
∴PE=EQ=AQ﹣AE，AQ=t，AE=﹣ t+5，PE=﹣ t+3，
∴﹣ t+3=t﹣(﹣ t+5)，
解得nt= .
综上，当t= 或t= 或t= 或t= 时，△PQE为等腰三角形.
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