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2024高二数学期末考试题
在日复一日的学习、工作生活中，我们很多时候都不得不用到试题，试题有助于被考核者了解自己的真实水平。什么样的试题才能有效帮助到我们呢？下面是小编为大家收集的2024高二数学期末考试题，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
高二数学期末考试题 1
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的
1.命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是( )
A.若ab=0，则a=0 B.若a≠0，则ab≠0 C.若ab=0，则a≠0 D.若ab≠0，则a≠0
2.椭圆 + =1的长轴长是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
3.已知函数f(x)=x2+sinx，则f′(0)=( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.3
4.“a>1”是“a2<1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.双曲线 =1的渐近线方程是( )
A.y=±2x B.y=±4x C.y=± x D.y=± x
6.已知y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.f(x)在(﹣3，﹣1)上先增后减 B.x=﹣2是函数f(x)极小值点
C.f(x)在(﹣1，1)上是增函数 D.x=1是函数f(x)的极大值点
7.已知双曲线的离心率e= ，点(0，5)为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为( )
A. ﹣ =1 B. ﹣ =1
C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
8.函数f(x)=xlnx的单调递减区间为( )
A.(﹣∞， ) B.(0， ) C.(﹣∞，e) D.(e，+∞)
9.若方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )
A.(﹣∞，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，+∞)
10.已知命题p：x∈(0，+∞)，2x>3x，命题q：x0∈(0，+∞)，x >x ，则下列命题中的真命题是( )
A.p∧q B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.(￢p)∧q
11.f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(﹣3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(﹣∞，﹣3)∪(0，3) B.(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞) C.(﹣3，0)∪(3，+∞) D.(﹣3，0)∪(0，3)
12.过点M(2，﹣1)作斜率为 的直线与椭圆 + =1(a>b>0)相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.
13.抛物线x2=4y的焦点坐标为 .
14.已知命题p：x0∈R，3 =5，则￢p为 .
15.已知曲线f(x)=xex在点P(x0，f(x0))处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为 .
16.已知f(x)=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0<0，则实数a的取值范围是 .
三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧(￢q)为真命题，求实数k的取值范围.
18.已知函数f(x)=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的最大值为3，求f(x)在[﹣2，2]上的最小值.
19.已知点P(1，﹣2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上.
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值.
20.已知函数f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在x= 处取得极值，求实数a的值;
(2)求证：当a≤1时，不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立.
21.已知函数f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在x= 处取得极值，求实数a的值;
(2)若不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
22.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，点P(﹣ ，1)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.
23.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，原点到直线 + =1的距离为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的
1.命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是( )
A.若ab=0，则a=0 B.若a≠0，则ab≠0 C.若ab=0，则a≠0 D.若ab≠0，则a≠0
【考点】四种命题间的逆否关系.
【分析】根据互为逆否的两命题是条件和结论先逆后否来解答.
【解答】解：因为原命题是“a=0，则ab=0”，
所以其逆否命题为“若ab≠0，则a≠0”，
故选D.
2.椭圆 + =1的长轴长是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可.
【解答】解：椭圆 + =1的实轴长是：2a=6.
故选：D.
3.已知函数f(x)=x2+sinx，则f′(0)=( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.3
【考点】导数的运算.
【分析】求函数的导数，利用代入法进行求解即可.
【解答】解：函数的导数f′(x)=2x+cosx，
则f′(0)=cos0=1，
故选：C.
4.“a>1”是“a2<1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】由a2<1解得﹣1
【解答】解：由a2<1解得﹣1
∴“a>1”是“a2<1”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5.双曲线 =1的渐近线方程是( )
A.y=±2x B.y=±4x C.y=± x D.y=± x
【考点】双曲线的标准方程.
【分析】利用双曲线的'简单性质直接求解.
【解答】解：双曲线 =1的渐近线方为 ，
整理，得y= .
故选：C.
6.已知y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.f(x)在(﹣3，﹣1)上先增后减 B.x=﹣2是函数f(x)极小值点
C.f(x)在(﹣1，1)上是增函数 D.x=1是函数f(x)的极大值点
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】本小题考查导数的运用;根据导数值与0的关系判断各个选项即可.
【解答】解：由图象得：﹣30，﹣2
∴f(x)在(﹣3，﹣2)递增，在(﹣2，﹣1)递减，
故选：A.
7.已知双曲线的离心率e= ，点(0，5)为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为( )
A. ﹣ =1 B. ﹣ =1
C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设双曲线的方程为 ﹣ =1(a，b>0)，运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a=3，b=4，进而得到所求双曲线的方程.
【解答】解：设双曲线的方程为 ﹣ =1(a，b>0)，
由题意可得e= = ，c=5，
可得a=3，b= =4，
即有双曲线的标准方程为 ﹣ =1.
故选：D.
8.函数f(x)=xlnx的单调递减区间为( )
A.(﹣∞， ) B.(0， ) C.(﹣∞，e) D.(e，+∞)
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y=xlnx的单调递减区间.
【解答】解：函数的定义域为x>0
∵y′=lnx+1
令lnx+1<0得0
∴函数y=xlnx的单调递减区间是( 0， )，
故选：B.
9.若方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )
A.(﹣∞，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，+∞)
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意可得m﹣1>3﹣m>0，解不等式即可得到所求范围.
【解答】解：方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，
可得m﹣1>3﹣m>0，
解得2
故选：C.
10.已知命题p：x∈(0，+∞)，2x>3x，命题q：x0∈(0，+∞)，x >x ，则下列命题中的真命题是( )
A.p∧q B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.(￢p)∧q
【考点】复合命题的真假.
【分析】根据x∈(0，+∞)，2x<3x，是真命题，再根据复合命题之间的判定方法即可判断出真假.
【解答】解：命题p：x∈(0，+∞)，2x>3x，是假命题，例如取x=2不成立;
命题q：∵x∈(0，+∞)，2x<3x，因此命题q是假命题，
∴只有(￢p)∧(￢q)是真命题.
故选：C.
11.f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(﹣3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(﹣∞，﹣3)∪(0，3) B.(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞) C.(﹣3，0)∪(3，+∞) D.(﹣3，0)∪(0，3)
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的性质.
【分析】构造函数h(x)=f(x)g(x)，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集.
【解答】解：令h(x)=f(x)g(x)，则h(﹣x)=f(﹣x)g(﹣x)=﹣f(x)g(x)=﹣h(x)，因此函数h(x)在R上是奇函数.
①∵当x<0时，h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，∴h(x)在x<0时单调递增，
故函数h(x)在R上单调递增.
∵h(﹣3)=f(﹣3)g(﹣3)=0，
∴h(x)=f(x)g(x)<0=h(﹣3)，
∴x<﹣3.
②当x>0时，函数h(x)在R上是奇函数，可知：h(x)在(0，+∞)上单调递增，且h(3)=﹣h(﹣3)=0，
∴h(x)<0，的解集为(0，3).
∴不等式f(x)g(x)<0的解集是(﹣∞，﹣3)∪(0，3).
故选：A
12.过点M(2，﹣1)作斜率为 的直线与椭圆 + =1(a>b>0)相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=( )
A. B. C. D.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为 = = ，即可求出椭圆的离心率.
【解答】解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=4，y1+y2=﹣2，
A，B两个不同点代入椭圆方程，可得 + =1， + =1，
作差整理可得 + =0，
∵斜率为 = = ，
∴a=2b，
∴c= = b，
∴e= = .
故选：C.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.
13.抛物线x2=4y的焦点坐标为 (0，1) .
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标.
【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴
∴抛物线x2=4y的焦点坐标为(0，1)
故答案为：(0，1)
14.已知命题p：x0∈R，3 =5，则￢p为 x∈R，3x≠5 .
【考点】命题的否定.
【分析】由特称命题的否定方法可得结论.
【解答】解：由特称命题的否定可知：
￢p：x∈R，3x≠5，
故答案为：x∈R，3x≠5.
15.已知曲线f(x)=xex在点P(x0，f(x0))处的切线与直线y=x+1平行，则点P的坐标为 (0，0) .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出f(x)的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得x0为x+1=e﹣x的解，运用单调性可得方程的解，进而得到P的坐标.
【解答】解：f(x)=xex的导数为f′(x)=(x+1)ex，
可得切线的斜率为(x0+1)ex0，
由切线与直线y=x+1平行，可得
(x0+1)ex0=1，
即有x0为x+1=e﹣x的解，
由y=x+1﹣e﹣x，在R上递增，且x=0时，y=0.
即有x0=0，
则P的坐标为(0，0).
故答案为：(0，0).
16.已知f(x)=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0<0，则实数a的取值范围是 (﹣∞，﹣2) .
【考点】利用导数研究函数的极值;函数零点的判定定理.
【分析】讨论a的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可.
【解答】解：(i)当a=0时，f(x)=﹣3x2+1，令f(x)=0，解得x= ，函数f(x)有两个零点，舍去.
(ii)当a≠0时，f′(x)=3ax2+6x=3ax(x+ )，令f′(x)=0，解得x=0或﹣ .
①当a<0时，﹣>0，当x>﹣ 或x<0，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减;当00，此时函数f(x)单调递增.
∴故x=﹣ 是函数f(x)的极大值点，0是函数f(x)的极小值点.
∵函数f(x)=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0<0，则f(﹣ )=﹣ + ﹣1= ﹣1<0，
即a2>4得a>2(舍)或a<﹣2.
②当a>0时，﹣<0，当x<﹣ x="">0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增;
当﹣
∴x=﹣ 是函数f(x)的极大值点，0是函数f(x)的极小值点.
∵f(0)=﹣1<0，
∴函数f(x)在(0，+∞)上存在一个零点，此时不满足条件.
综上可得：实数a的取值范围是(﹣∞，﹣2).
故答案为：(﹣∞，﹣2).
三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧(￢q)为真命题，求实数k的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【分析】命题p：函数y=kx是增函数，利用一次函数的单调性可得k>0.命题q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，可得k>1.由于p∧(￢q)为真命题，可得p为真命题，q为假命题.即可得出.
【解答】解：命题p：函数y=kx是增函数，∴k>0.
命题q：方程 +y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴k>1.
∵p∧(￢q)为真命题，∴p为真命题，q为假命题.
∴ ，解得0
∴实数k的取值范围是0
18.已知函数f(x)=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的最大值为3，求f(x)在[﹣2，2]上的最小值.
【考点】二次函数的性质.
【分析】求导并判断导数的正负，从而确定单调区间;由最大值建立方程求出m的值，进而求出最小值.
【解答】解：f′(x)=6x2﹣12x，令f′(x)=0，则x=0或x=2，
x (﹣∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
f(x) 正 0 负 0 正
f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴f(x)在[﹣2，0]上单调递增，在(0，2]上单调递减，
∴f(x)max=f(0)=m=3，
即f(x)=2x3﹣6x2+3，
又∵f(﹣2)=﹣37，f(2)=﹣5，
∴f(x)min=f(﹣2)=﹣37.
19.已知点P(1，﹣2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上.
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)根据点P(1，﹣2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，可得p值，即可求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设直线l的方程为：x+my﹣1=0，代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0，利用韦达定理和抛物线的定义知|AB|=4(m2+1)≥4，由此能求出|AB|的最小值.
【解答】解：∵点P(1，﹣2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，
∴2p=4，解得：p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=﹣1;
(2)设直线l的方程为：x+my﹣1=0，
代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1+y2=﹣4m
根据抛物线的定义知：|AB|=x1+x2+2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=4(m2+1)
∴|AB|=4(m2+1)≥4，
当且仅当m=0时|AB|有最小值4.
20.已知函数f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在x= 处取得极值，求实数a的值;
(2)求证：当a≤1时，不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)求出函数的导数，根据f′( )=0，解出验证即可;(2)求出函数的导数，通过a的范围，确定导函数的符号，求出函数f(x)的单调性，从而判断f(x)的范围.
【解答】解：(1)f(x)的定义域是(0，+∞)，
f′(x)=1+ ﹣ ，
∴f′( )=1+4(2a﹣1)﹣4a=0，解得：a= ，
∴a= 时，f′(x)= ，
∴f(x)在(0， )递增，在( ，1)递减，
f(x)在x= 处取得极值，
故a= 符合题意;
(2)f′(x)=1+ ﹣ = ，
当a≤1时，则2a﹣1≤1，
∴f′(x)>0在(1，+∞)恒成立，
函数f(x)递增，
∴f(x)≥f(1)=2(1﹣a)≥0.
21.已知函数f(x)=x﹣ ﹣2alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在x= 处取得极值，求实数a的值;
(2)若不等式f(x)≥0在[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)求出函数的导数，根据f′( )=0，解出验证即可;
(2)依题意有：fmin(x，)≥0从而求出f(x)的导数，令f′(x)=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，通过讨论①当2a﹣1≤1即a≤1时②当2a﹣1>1即a>1时，进而求出a的范围
【解答】解：(1)f(x)的定义域是(0，+∞)，
f′(x)=1+ ﹣ ，
∴f′( )=1+4(2a﹣1)﹣4a=0，解得：a= ，
∴a= 时，f′(x)= ，
∴f(x)在(0， )递增，在( ，1)递减，
f(x)在x= 处取得极值，
故a= 符合题意;
(2)依题意有：fmin(x，)≥0
f′(x)= ，
令f′(x)=0，
得：x1=2a﹣1，x2=1，
①当2a﹣1≤1即a≤1时，
函数f(x)≥0在[1，+∞)恒成立，
则f(x)在[1，+∞)单调递增，
于是fmin(x)=f(1)=2﹣2a≥0，
解得：a≤1;
②当2a﹣1>1即a>1时，
函数f(x)在[1，2a﹣1]单调递减，在[2a﹣1，+∞)单调递增，
于是fmin(x)=f(2a﹣1)
综上所述：实数a的取值范围是a≤1.
22.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，点P(﹣ ，1)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)根据离心率公式和点满足椭圆方程，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的方程;
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2，BA的中点(x0，y0)，直线y=kx+1且k≠0，恒过(0，1)，点B，A在椭圆上，化简可得y0= =﹣1，AB的中点在y=kx+1上，解得x0，利用 ，可得x=± ，推出k的不等式，得到结果.
【解答】解：(1)由已知e= = ，即c2= a2，b2=a2﹣c2= a2，
将P(﹣ ，1)代入椭圆方程，可得 + =1，
∴a=2，b= ，∴a2=4，∴b2=2，
∴椭圆C的方程为： + =1;
(2)椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2
AB的中点(x0，y0)，直线y=kx+1且k≠0，恒过(0，1)，
则x12+(y1﹣1)2=x22+(y2﹣1)2，
点B，A在椭圆上，
∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+(y1﹣1)2=4﹣2y22+(y2﹣1)2，
化简可得：y12﹣y22=﹣2(y1﹣y2)，即y1+y2=﹣2，
∴y0= =﹣1，
又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣ ，
由 ，可得x=± ，
∴0<﹣ < ，或﹣ <﹣<0，
即k<﹣ k=""> .
则k的取值范围是(﹣∞，﹣ )∪( ，+∞).
23.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，原点到直线 + =1的距离为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)根据离心率公式和点到直线的距离公式，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的方程;
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2，BA的中点(x0，y0)，直线y=kx+1且k≠0，恒过(0，1)，点B，A在椭圆上，化简可得y0= =﹣1，AB的中点在y=kx+1上，解得x0，利用 ，可得x=± ，推出k的不等式，得到结果.
【解答】解：(1)由已知e= = ，即c2= a2，b2=a2﹣c2= a2，
原点到直线 + =1的距离为 ，
即有 = ，
∴a=2，b= ，∴a2=4，∴b2=2，
∴椭圆C的方程为： + =1;
(2)椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠y2
AB的中点(x0，y0)，直线y=kx+1且k≠0，恒过(0，1)，
则x12+(y1﹣1)2=x22+(y2﹣1)2，
点B，A在椭圆上，
∴x12=4﹣2y12，x22=4﹣2y22，∴4﹣2y12+(y1﹣1)2=4﹣2y22+(y2﹣1)2，
化简可得：y12﹣y22=﹣2(y1﹣y2)，即y1+y2=﹣2，
∴y0= =﹣1，
又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=﹣ ，
由 ，可得x=± ，
∴0<﹣ < ，或﹣ <﹣<0，
即k<﹣ k=""> .
则k的取值范围是(﹣∞，﹣ )∪( ，+∞)
高二数学期末考试题 2
一、选择题
1.某年级有6个班，分别派3名语文教师任教，每个教师教2个班，则不同的任课方法种数为( )
A.C26C24C22 B.A26A24A22
C.C26C24C22C33 D.A26C24C22A33
[答案] A
2.从单词“equation”中取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排法共有( )
A.120种 B.480种
C.720种 D.840种
[答案] B
[解析] 先选后排，从除qu外的6个字母中任选3个字母有C36种排法，再将qu看成一个整体(相当于一个元素)与选出的3个字母进行全排列有A44种排法，由分步乘法计数原理得不同排法共有C36A44＝480(种).
3.从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有( )
A.24种 B.18种
C.12种 D.96种
[答案] B
[解析] 先选后排C23A33＝18，故选B.
4.把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有( )
A.40个 B.120个
C.360个 D.720个
[答案] A
[解析] 先选取3个不同的数有C36种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数.
5.(2010湖南理，7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A.10 B.11
C.12 D.15
[答案] B
[解析] 与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C24＝6(个)
第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C14＝4(个)
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1(个)
与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11(个)
6.北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有14名志愿者参加接待工作.若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )
A.C414C412C48 B.C1214C412C48
C.C1214C412C48A33 D.C1214C412C48A33
[答案] B
[解析] 解法1：由题意知不同的排班种数为：C414C410C46＝14×13×12×114！10×9×8×74！6×52！＝C1214C412C48.
故选B.
解法2：也可先选出12人再排班为：C1214C412C48C44，即选B.
7.(2009湖南理5)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A.85 B.56
C.49 D.28
[答案] C
[解析] 考查有限制条件的组合问题.
(1)从甲、乙两人中选1人，有2种选法，从除甲、乙、丙外的7人中选2人，有C27种选法，由分步乘法计数原理知，共有2C27＝42种.
(2)甲、乙两人全选，再从除丙外的其余7人中选1人共7种选法.
由分类计数原理知共有不同选法42＋7＝49种.
8.以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有( )
A.6个 B.12个
C.18个 D.30个
[答案] B
[解析] C46－3＝12个，故选B.
9.(2009辽宁理，5)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A.70种 B.80种
C.100种 D.140种
[答案] A
[解析] 考查排列组合有关知识.
解：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名，
∴共有C25C14＋C15C24＝70，∴选A.
10.设集合Ⅰ＝{1,2,3,4,5}.选择Ⅰ的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )
A.50种 B.49种
C.48种 D.47种
[答案] B
[解析] 主要考查集合、排列、组合的基础知识.考查分类讨论的思想方法.
因为集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素，A中元素从1、2、3、4中取，B中元素从2、3、4、5中取，由于A、B非空，故至少要有一个元素.
1° 当A＝{1}时，选B的方案共有24－1＝15种，
当A＝{2}时，选B的方案共有23－1＝7种，
当A＝{3}时，选B的方案共有22－1＝3种，
当A＝{4}时，选B的方案共有21－1＝1种.
故A是单元素集时，B有15＋7＋3＋1＝26种.
2° A为二元素集时，
A中最大元素是2，有1种，选B的方案有23－1＝7种.
A中最大元素是3，有C12种，选B的方案有22－1＝3种.故共有2×3＝6种.
A中最大元素是4，有C13种.选B的方案有21－1＝1种，故共有3×1＝3种.
故A中有两个元素时共有7＋6＋3＝16种.
3° A为三元素集时，
A中最大元素是3，有1种，选B的方案有22－1＝3种.
A中最大元素是4，有C23＝3种，选B的方案有1种，
∴共有3×1＝3种.
∴A为三元素时共有3＋3＝6种.
4° A为四元素时，只能是A＝{1、2、3、4}，故B只能是{5}，只有一种.
∴共有26＋16＋6＋1＝49种.
二、填空题
11.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有______种不同送法.
[答案] 10
[解析] 每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C25＝10种.
12.一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有________种.
[答案] 60
[解析] 对于任一种坐法，可视4个空位为0,3个人为1,2,3则所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2,3的一种编码，要求1,2,3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入1,2,3即可.
∴不同排法有A35＝60种.
13.(09海南宁夏理15)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答).
[答案] 140
[解析] 本题主要考查排列组合知识.
由题意知，若每天安排3人，则不同的安排方案有
C37C34＝140种.
14.2010年上海世博会期间，将5名志愿者分配到3个不同国家的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数是________种.
[答案] 150
[解析] 先分组共有C35＋C25C232种，然后进行排列，有A33种，所以共有(C35＋C25C232)A33＝150种方案.
三、解答题
15.解方程Cx2＋3x＋216＝C5x＋516.
[解析] 因为Cx2＋3x＋216＝C5x＋516，所以x2＋3x＋2＝5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16，即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0，所以x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1.经检验x＝3和x＝－9不符合题意，舍去，故原方程的解为x1＝－1，x2＝1.
16.在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O点)为顶点，可以得到多少个三角形？
[解析] 解法1：(直接法)分几种情况考虑：O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM、ON上，所以有C15C14个，O不为顶点的.三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上有C25C14个，一个顶点在OM上，两个顶点在ON上有C15C24个.因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有C15C14＋C25C14＋C15C24＝5×4＋10×4＋5×6＝90(个).
解法2：(间接法)先不考虑共线点的问题，从10个不同元素中任取三点的组合数是C310，但其中OM上的6个点(含O点)中任取三点不能得到三角形，ON上的5个点(含O点)中任取3点也不能得到三角形，所以共可以得到C310－C36－C35个，即C310－C36－C35＝10×9×81×2×3－6×5×41×2×3－5×41×2＝120－20－10＝90(个).
解法3：也可以这样考虑，把O点看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O点)中取2点，ON上的4点(不含O点)中取一点，可得C26C14个三角形，再从OM上的5点(不含O点)中取一点，从ON上的4点(不含O点)中取两点，可得C15C24个三角形，所以共有C26C14＋C15C24＝15×4＋5×6＝90(个).
17.某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行.
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.
问全程赛程共需比赛多少场？
[解析] (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场).
(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场).
(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负.
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场).
18.有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？
(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；
(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；
(3)甲、乙、丙各得3本.
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学；
②题目中的3个问题的条件不同.
解答本题先判断是否与顺序有关，然后利用相关的知识去解答.
[解析] (1)分三步完成：
第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；
第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；
第三步：把剩下的书给丙有C22种方法，
∴共有不同的分法有C49C35C22＝1260(种).
(2)分两步完成：
第一步：将4本、3本、2本分成三组有C49C35C22种方法；
第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法，
∴共有C49C35C22A33＝7560(种).
(3)用与(1)相同的方法求解，
得C39C36C33＝1680(种).
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