小升初数学专项复习重点之余数问题

小升初数学专项复习重点之余数问题

　　一、同余的定义：

　　①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

　　②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b（modm），读作a同余于b模m。

　　二、同余的性质：

　　①自身性：a≡a（modm）；

　　②对称性：若a≡b（modm），则b≡a（modm）；

　　③传递性：若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）；

　　④和差性：若a≡b（modm），c≡d（modm），则a+c≡b+d（modm），a-c≡b-d（modm）；

　　⑤相乘性：若a≡b（modm），c≡d（modm），则a×c≡b×d（modm）；

　　⑥乘方性：若a≡b（modm），则an≡bn（modm）；

　　⑦同倍性：若a≡b（modm），整数c，则a×c≡b×c（modm×c）；

　　三、关于乘方的预备知识：

　　①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

　　②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余数特征：

　　①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n（mod9）或（mod3）；

　　②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod11）；

　　五、费尔马小定理：

　　如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1（modp）。

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