一元二次方程的解法教学设计

<一>设置悬念，引发兴趣：

1、我们已经学会了怎么解一元二次方程，一元二次方程的根有哪几种情况？能不能不解方程便判断出它们根的情况？

2、由学生举出几个一元二次方程的例子，教师直接判断出它们根的情况

这样设计，能激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造最佳的心理状态。

<二>设置练习，创设情境。

用公式法解下列一元二次方程

使学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识

<三>启发引导，发现结论：

观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，都是先确定了a、b、c的值，然后求出的值，为什么要这样做呢？学生能说出 的作用是：它能决定方程是否可解。

由此可见：在解一元二次方程时，代数式起着重要的作用，显然我们可以根据的值的符号来判断一元二次方程  的根的情况，因此我们把  叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”来表示，即△=。在今后的'数学学习中还会遇到用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要适应这一点，它体现了数学的简洁美。

让学生明白： 的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用，从而很自然地引出了根的判别式概念。

培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。

<四>引导学生，理论验证：

 利用配方法，可以把一元二次方程变形为：

     ∵   ∴ ，

故的值是正数、零还是负数直接对方程的根产生影响

（1）时，可得：

   ，而且

（2）时，，

显然

（3）时，，

     ∵ 负数没有平方根    ∴  方程没有实数根

培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯。

<五>揭示定理：

（1）由此我们就得出了关于一元二次方程 的根的判别式定理：

在一元二次方程中，

     若△＞0  则方程有两个不相等的实数根

     若△ = 0 则方程有两个相等的实数根

     若△＜0  则方程没有实数根

     (若△≥0  则方程有实数根)

 （2）这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：

在一元二次方程中，

     若方程有两个不相等的实数根，则△＞0

     若方程有两个相等的实数根，  则△= 0

     若方程没有实数根，         则△＜0

(若方程有实数根,  则△≥0)

培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对定理的认识，为正确运用做好铺垫。

  <六>应用定理，解决问题：

 练习一：不解方程，判别下列方程根的情况

 分析：判别方程根的情况，根据定理可知，就是要确定△值的符号

练习二： 不解方程，判别下列方程根的情况

（4）题补充了一个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：发展学生的符号意识，为今后解综合性问题打好基础。

以上练习的设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的能力。

思考：已知关于的方程，当取什么值时，方程

（1）     有两个不相等的实数根

（2）     有两个相等的实数根

（3）     没有实数根

分析：要解决这个问题，应先根据方程根的情况，得出△的取值，从而求出的取值范围。

本题是一个用逆定理来解决的问题，以巩固逆定理的运用方法，本题让学生自己分析，教师只帮助学生理清思路，最后让学生自己完成。

<七>归纳小结

一元二次方程中，

方程有两个不相等的实数根

方程有两个相等的实数根

方程没有实数根

使学生系统地了解和掌握本节课的内容

< 八>作业布置：

  （必做题）不解方程判定下列方程根的情况：

（选做题）已知：方程有两个实数根，

求：的取值范围

使学生能及时巩固本节课所学知识，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。

科  　目

数学

年    级

九年级

教学时间

一课时

学习者分析

学生的学习 思维、解决问题等能力的高低叁差不齐。从学生现有的情况来看，多数同学对列方程解应用题感觉较难掌握，面对题意无法找出等量关系。另外，很多学生的计算能力也不强。因此，在教学中主要以较为简单的基础题为授课主线，其中参入少数中档题供一些学有余力的学生思考。

教学目标

一、情感态度与价值观

1.培养学生主动探索、敢于实勇于发现、合作交流的精神。

二、过程与方法

1. 经历抽象一元二次方程的过程, 使学生体会出方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型

2. 经历探索满足方程解的过程，发展估算的意识和能力。

三、知识与技能

1.充分了解一元二次方程的概念

2.正确掌握一元二次方程的一般形式。

教学重点、难点

1.一元二次方程的概念及一般形式。

2.由实际问题向数学问题的转化过程。

3.正确识别一般式中的“项”及“系数”。

教学资源

多媒体课件

教学过程

教学活动1

一 . 创设情境，导入新课

问题1：

2008年奥运会将在北京举办，许多大学生都希望为奥运奉献自己的'一份力量。现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训，由已合格人员培训第一轮人员，再由前面所有合格人员培训第二轮人员,以此类推来完成此次培训任务。某高校学生李红已受训合格，成为一名志愿者，并由她负责培训本校志愿者。若每轮培训中每个志愿者平均培训x人。

(1)已知经过第一轮培训后该校共有11人合格, 请列出满足条件的方程:

(2)若两轮培训后该校共有121人合格，你能列出满足条件的方程吗？

问题2:

有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm²,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

问题3:

我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度？

教学活动2

二 . 探究新知，尝试练习

由以上问题得到2个方程,学生观察归纳这2个方程的特征,给出名称并类比一元一次方程的定义,得出一元二次方程的定义.

归纳：

1、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

强调定义中体现的3个特征:

①整式;    ②一元;     ③2次

练习1：判断下列各式是否为一元二次方程：

(1)4x²=81  (2)2(x^2_1)=3y   (3)5x^2_1=4x (4)x²+3x^_c=0       (5)3x(x+1)=5(x+2)

引导学生类比一元一次方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念

2、一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。

提问：说出下列方程的一次项系数、二次项系数和常数项

x²+2x-1=0         x²-36x+35=0

练习2：说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（由学生以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.）

（1）x²十3x十2＝O （2）x^2_3x十4＝0；

（3）3x²-5＝0       （4）4x²十3x^_2＝0；

（5）3x^2_5=0；      （6）6x^2_x=0。

整理一般形式后,教师应强调整理过程中应用到的等式变形方法,如去括号,移项,合并同类项,去分母。

教学活动3

三、合作学习，巩固提高

1、把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项

（1）2（x²－1）= 3 x

（2）3（x－3）²=（x＋2）²＋7              

（3）3x(x-1)＝2(x十2)

    2、我校为树立学生的团结、拼搏精神，组织了一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？(列方程并整理成一般形式）

教学活动4

四、归纳小结，布置作业　

本节课你学会哪些新知识？

学生交流、讨论，谈谈自己的收获或感悟。