高等代数考研大纲
一、考试性质
海南大学硕士研究生入学考试初试科目。
二、考试时间
180 分钟。
三、考试方式与分值
闭卷、笔试。满分 150 分。
四、考试内容
第一章 多项式
第一节-第三节：数域、一元多项式、 多项式整除的概念及性质;
第四节： 最大公因式，多项式互素的概念及性质，不可约多项式的概念及性质;
第五节： 因式分解定理;
第六节： 重因式、 重根的判别;
第七节-第九节： 多项式函数与多项式的根，有理根的求法，艾森斯坦因判别法。
第二章 行列式
第一节-第三节：排列、 行列式的定义;
第四节： 行列式的性质;
第五节： 行列式的计算;
第六节：行列式按行(列)展开;
第七节： Cramer 法则。
第三章 线性方程组
第一节-第四节：消元法解线性方程组， 向量组线性相关(无关)的概念、性质及判定定理;向量组的极大线性无关组的概念、 性质， 向量组之间秩的大小关系、矩阵的秩;
第五节-第六节： 线性方程组有解的判别定理、齐次线性方程组有非零解的条件、基础解系的计算与性质、齐次线性方程组的通解，非齐次线性方程组的解法和解的结构。
第四章 矩阵
第一节-第三节： 矩阵的概念与运算， 矩阵乘积的`行列式与秩;
第四节-第五节：逆矩阵概念、性质、 矩阵可逆的条件，伴随矩阵及其性质、求逆矩阵的公式法， 分块矩阵(包括矩阵乘法的常用分块方法并证明与矩阵相关的问题)，几种特殊矩阵的性质(如准对角阵，对称矩阵与反对称矩阵，伴随矩阵、正交矩阵等);
第六节-第七节： 矩阵的初等变换与初等矩阵的关系及其应用，矩阵的等价标准形、 初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵，分块矩阵的初等变换及应用。
第五章 二次型
第一节-第二节：二次型的概念及二次型的矩阵， 化二次型为标准形和规范形， 矩阵合同的概念与性质;
第三节： 实二次型的规范型、正(负)惯性指数、符号差， 惯性定律及应用;
第四节：正定、半正定矩阵(二次型)的概念，矩阵(二次型)是正定、半正定矩阵(二次型)的判定定理。
第六章 线性空间
第一节-第二节： 线性空间的定义及性质;
第三节-第四节： 线性空间中一个向量组的秩，线性空间的基与维数，基扩充定理，维数公式，基变换与坐标变换;
第五节-第八节：子空间的概念、判定定理、一组向量的生成子空间，子空间的交、和与直和的概念及相关判定定理，一些常见的子空间。
第七章 线性变换
第一节-第二节： 线性变换的定义与运算;
第三节： 线性变换与 n 阶矩阵的对应定理，线性变换在不同基下的矩阵的关系，矩阵相似的概念及性质;
第四节-第五节： 矩阵的特征多项式及其有关性质，特征子空间，求线性变换在给定基下的矩阵和特征值以及特征向量的方法，线性无关的特征向量的判别及最大个数，实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，线性变换(包括矩阵)可对角化的判定定理;
第六节-第七节：线性变换的核与值域、线性变换的零度与秩的概念与相关定理、 不变子空间。
第八章 欧氏空间
第一节-第三节： 内积和欧氏空间的定义及简单性质。度量矩阵与标准正交基的求法以及性质， 正交矩阵的概念、性质，有限维欧氏空间同构的概念、判定定理;
第四节-第五节：线性变换是正交变换的定义及充要条件， 子空间的概念，子空间正交的概念与性质，子空间正交、正交补的概念及相关定理;
第六节：实对陈矩阵的概念及性质，对称变换的定义与性质，对实对称矩阵 A 求正交矩阵T 使成对角形(用正交线性替换将实二次型化为平方和);
第七节：向量到子空间的距离、最小二乘法。
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