高中数学立体几何的学习方法

时间：2024-06-08 06:34:06 晓凤学习方法我要投稿

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高中数学立体几何的学习方法

　　升入高中后，面对新的课程，新的知识，新的学习方法很多学生多会感到无所适从，尤其是在高中立体几何方面颇感头疼。追究学生害怕立体几何的原因，其实就是学生缺乏空间想象力，造成思维受阻。因此，培养学生空间想象力，突破空间思维上的障碍，是学好立体几何的关键。下面简要介绍一下学好立体几何的方法。

高中数学立体几何的学习方法

　　高中数学立体几何的学习方法

　　一、逐渐提高逻辑论证能力

　　立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出。

　　二、立足课本，夯实基础

　　学习立体几何的一个捷径就是认真学习课本中定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的联系的阐述。但定理的证明在初学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。

　　三、培养空间想象力

　　为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。其次，要培养自己的画图能力。可以从简单的图形（如：直线和平面）、简单的几何体（如：正方体）开始画起。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面（如：纸、黑板）上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

　　四、“转化”思想的应用

　　我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：

　　（1）两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

　　（2）异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

　　（3）面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

　　五、建立数学模型

　　新课程标准中多次提到“数学模型”一词，目的是进一步加强数学与现实世界的联系。数学模型是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的描述。数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式，函数解析式等等。实际问题越复杂，相应的数学模型也越复杂。

　　从形状的角度反映现实世界的物体时，经过抽象得到的空间几何体就是现实世界物体的几何模型。由于立体几何学习的知识内容与学生的联系非常密切，空间几何体是很多物体的几何模型，这些模型可以描述现实世界中的许多物体。他们直观、具体、对培养大家的几何直观能力有很大的帮助。空间几何体，特别是长方体，其中的棱与棱、棱与面、面与面之间的位置关系，是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的直观载体。学习时，一方面要注意从实际出发，把学习的知识与周围的实物联系起来，另一方面，也要注意经历从现实的生活抽象空间图形的过程，注重探索空间图形的位置关系，归纳、概括它们的判定定理和性质定理。

　　六、总结规律，规范训练

　　立体几何解题过程中，常有显著的规律性。例如：求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换，如能建立空间坐标系可用空间向量来解决。只有不断总结，才能不断高。

　　还要注重规范训练，高考中反映的这方面的不足十分严重，不少考生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果联系不充分，图形中各元素联系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说，考试的每一分都是重要的，在“按步给分”的原则下，以平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很显著的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。

　　七、结语

　　总之，观察是学好立体几何的基础，作图是学好立体几何的保证，想象是学好立体几何的关键。在立体几何的学习中，我们要强调学生动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、想象、交流等活动中认识空间几何体，提高空间想象能力，进一步提高他们的学习兴趣，加深他们对数学的理解，激发出潜在的创造力，让学生在不断探索与创造的氛围中发展解决问题的能力，体会数学的价值。

　　高考数学立体几何答题技巧

　　高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。

　　知识整合

　　1、有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。

　　2、判定两个平面平行的方法：

　　(1)根据定义--证明两平面没有公共点;

　　(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;

　　(3)证明两平面同垂直于一条直线。

　　3、两个平面平行的主要性质：

　　(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”。

　　(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

　　(3)两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。

　　(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

　　(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等。

　　(6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

　　以上性质(2)、(3)、(5)、(6)在课文中虽未直接列为”性质定理“，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。

　　解答题分步骤解决可多得分

　　01、合理安排，保持清醒。

　　数学考试在下午，建议中午休息半小时左右，睡不着闭闭眼睛也好，尽量放松。然后带齐用具，提前半小时到考场。

　　02、通览全卷，摸透题情。

　　刚拿到试卷，一般较紧张，不宜匆忙作答，应从头到尾通览全卷，尽量从卷面上获取更多的信息，摸透题情。这样能提醒自己先易后难，也可防止漏做题。

　　03、解答题规范有序。

　　一般来说，试题中容易题和中档题占全卷的80%以上，是考生得分的主要来源。

　　对于解答题中的容易题和中档题，要注意解题的规范化，关键步骤不能丢，如三种语言(文字语言、符号语言、图形语言)的表达要规范，逻辑推理要严谨，计算过程要完整，注意算理算法，应用题建模与还原过程要清晰，合理安排卷面结构……对于解答题中的难题，得满分很困难，可以采用“分段得分”的策略，因为高考阅卷是“分段评分”。

　　比如可将难题划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，能解决到什么程度就解决到什么程度，获取一定的分数。

　　有些题目有好几问，前面的小问你解答不出，但后面的小问如果根据前面的结论你能够解答出来，这时候不妨引用前面的结论先解答后面的，这样跳步解答也可以得分。

　　高考数学4种答题技巧

　　1、以退求进，立足特殊。

　　发散一般对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊(如用特殊法解选择题)，化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，等等。总之，退到一个你能够解决的程度上。

　　2、执果索因，逆向思考，正难则反

　　对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，如果顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证，如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件;用反证法，从否定结论入手找必要条件。

　　3、回避结论的肯定与否定，解决探索性问题

　　对探索性问题，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

　　4、应用性问题思路：面—点—线

　　解决应用性问题，首先要全面调查题意，迅速接受概念;透过冗长叙述，抓住重点词句，提出重点数据;综合联系，提炼关系，依靠数学方法，建立数学模型，如此将应用性问题转化为纯数学问题。当然，求解过程和结果都不能离开实际背景。

　　数学立体几何解题技巧必看

　　1、你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗？（斜二测画法）。

　　2、线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗？线线平行、线面平行、面面平行这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的？每种平行之间转换的条件是什么？

　　3、三垂线定理及其逆定理你记住了吗？你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见

　　4、线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为”一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大。

　　5、求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法。

　　6、异面直线所成角利用“平移法”求解时，一定要注意平移后所得角等于所求角（或其补角），特别是题目告诉异面直线所成角，应用时一定要从题意出发，是用锐角还是其补角，还是两种情况都有可能。

　　7、两条异面直线所成的角的范围：0°≤α≤90°

　　直线与平面所成的角的范围：0°≤α≤90°

　　二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°

　　8、平面图形的翻折，立体图形的展开等一类问题，要注意翻折，展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”。

　　9、柱及其性质、平行六面体与长方体及其性质。这些知识你掌握了吗？（注意运用向量的方法解题）

　　10、球及其性质；经纬度定义易混。经度为二面角，纬度为线面角、球面距离的求法；球的表面积和体积公式。这些知识你掌握了吗？

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