高中数学教学-三角函数的性质及应用
一. 教学内容： 三角函数的图像与性质
高中数学教学-三角函数的性质及应用教学视频
二. 教学目标：
了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义。
三. 知识要点：
1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2. 三角函数的单调区间：
的递增区间是
，递减区间是
;
的递增区间是
，递减区间是
的递增区间是
， 3. 函数
最大值是
，最小值是
，周期是
，频率是
，相位是
，初相是
;其图象的对称轴是直线
，凡是该图象与直线
的交点都是该图象的对称中心。 4. 由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+
)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y=sinx的图象向左(
>0)或向右(
<0=平移|
|个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的
倍(ω>0)，便得到y=sin(ωx+
)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的
倍(ω>0)，再沿x轴向左(
>0)或向右(
<0，平移
个单位，便得到y=sin(ωx+
)的图象。
5. 对称轴与对称中心：
的对称轴为
，对称中心为
;
的'对称轴为
，对称中心为
; 对于
和
来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。 6. 五点法作y=Asin(ωx+
)的简图：五点法是设X=ωx+
，由X取0、
、π、
、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
【典型例题】
例1. 把函数y=cos(x+
)的图象向左平移
个单位，所得的函数为偶函数，则
的最小值是( ) A.
B.
C.
D.
解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解。
向左平移
个单位后的解析式为y=cos(x+
+
) 则cos(-x+
+
)=cos(x+
+
)， cosxcos(
+
)+sinxsin(
+
)=cosxcos(
+
)-sinxsin(
+
) ∴sinxsin(
+
)=0，x∈R. ∴
+
=kπ，∴
=kπ-
>0 ∴k>
，∴k=2，∴
=
答案：B
例2. 试述如何由y=
sin(2x+
)的图象得到y=sinx的图象。解：y=
sin(2x+
)
另法答案：
(1)先将y=
sin(2x+
)的图象向右平移
个单位，得y=
sin2x的图象; (2)再将y=
sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得y=
sinx的图象; (3)再将y=
sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到y=sinx的图象。例3. 求函数y=sin4x+2
sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间。解：y=sin4x+2
sinxcosx-cos4x =(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+
sin2x =
sin2x-cos2x =2sin(2x-
). 故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;单调递增区间是[0，
]，[
，π] 点评：把三角函数式化简为y=Asin(ωx+
)+k(ω>0)是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法。例4. 已知电流I与时间t的关系式为
。 (1)下图是
(ω>0，
) 在一个周期内的图象，根据图中数据求
的解析式;
(2)如果t在任意一段
秒的时间内，电流
都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少?
解：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力。
(1)由图可知 A=300
设t1=-
，t2=
则周期T=2(t2-t1)=2(
+
)=
∴ω=
=150π 将点
代入 ∴
=
故所求的解析式为
(2)依题意，周期T≤
，即
≤
，(ω>0)
∴ω≥300π>942，又ω∈N*
故最小正整数ω=943.
点评：本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。
【模拟试题】
1. 在(0，2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是( )
A. (
，
)∪(π，
) B. (
，π) C. (
，
) D. (
，π)∪(
，
)
2. 如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π=的最小正周期是T，且当x=2时取得最大值，那么( )
A. T=2，θ=
B. T=1，θ=π C. T=2，θ=π D. T=1，θ=
3. 设函数f(x)=A+Bsinx，若B<0时，f(x)的最大值是
，最小值是-
，则A=_______，B=_______。 4. 已知函数y=tan(2x+
)的图象过点(
，0)，则
可以是( ) A. -
B.
C. -
D.
5. 函数y=sin(
-2x)+sin2x的最小正周期是( ) A. 2π B. π C.
D. 4π
6. 若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是( )
A. sinx B. cosx C. sin2x D. cos2x
7. 函数y=2sin(
-2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是( ) A. [0，
] B. [
，
] C. [
，
] D. [
，π] 8. 把y=sinx的图象向左平移
个单位，得到函数__________的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数__________的图象。
9. 函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______.
10. f(x)=2cos2x+
sin2x+a(a为实常数)在区间[0，
]上的最小值为-4，那么a的值等于( )
A. 4 B. -6 C. -4 D. -3
【试题答案】
1. 答案：C
2. 解析：T=
=2，又当x=2时，sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ，要使上式取得最大值，可取θ=
。
答案：A
3. 解析：根据题意，由
可得结论答案：
-1 4. 解析：将(
，0)代入原函数可得，tan(
+
)=0，再将A、B、C、D代入检验即可。
答案：A
5. 解析：y=
cos2x-
sin2x+sin2x=
cos2x+
sin2x=sin(
+2x)，T=π.
答案：B
6. 答案：B
7. 解析：对于y=2sin(
-2x)=-2sin(2x-
)，其增区间可由y=2sin(2x-
)的减区间得到，即2kπ+
≤2x-
≤2kπ+
，k∈Z。 ∴kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z.令k=0，故选C.
答案：C
8. 解析：向左平移
个单位，即以x+
代x，得到函数y=sin(x+
)，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以
x代x，得到函数：y=sin(
x+
)。答案：y=sin(x+
) y=sin(
x+
) 9. 解析：由cosx-sinx>0
cosx>sinx.由图象观察，知2kπ-
(k∈Z) 答案：2kπ-
(k∈Z) 10. 解析：f(x)=1+cos2x+
sin2x+a=2sin(2x+
)+a+1. ∵x∈[0，
]，∴2x+
∈[
，
]. ∴f(x)的最小值为2×(-
)+a+1=-4
∴a=-4.
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