考研数学真题

考研数学真题1

　　主持人：各位网友大家好， 20xx 的研究生入学考试已经结束了，考后第一时间邀请到文都蔡子华老师来为大家点评这次的考研数学试题，蔡老师您好，您先大家打声招呼。

　　蔡子华：网友们，考生们大家好。

　　主持人：今年的数学三份试卷有什么特点，您给我们整体评价一下？

　　蔡子华：数学考试昨天已经结束了，现在网上有很多的评论，我个人认为这三份试卷的特点：

　　第一知识覆盖面很大。 可以说三份试卷将考纲规定的大部分内容都网络进去。第二个特点是计算量应该算是中等，我不同意有些的说法，说今年的有些题目特别是线性代数计算量大，我认为这个数字实际上还是可以的，整个的计算当中基本上没有出现分数都是正数，这很有利于考生在考场上发挥，计算量应该属于中等。

　　第二个特点是那度适中。 这两天也收到不少同学的短信反应说题目比较难，但是看了三份试卷以后我的看法是难度和 08 、 09 年相差不是很大，但是部分的学生感到困难也不足为奇，可以说每年考完之后都有学生反应难度太大但是这不是部分学生的反应，但是不同的网友有不同的看法，我的根据是最近几年考研真题的比较，就是 09 、 08 年的比较，应该说难度差别不大。

　　第三点是重点比较突出。 比如说高等数学中的极限这是个重点内容考察了，积分部分数学一的大题里面曲面积分考察了，曲线积分也考察了，这是重点。数学二和数学三的二重积分也出了大题，这都是往年一般的规律，如果比较在行老师都可以预测到。

　　微分方程，二接长系数都是考试的东西，线性代数、方程组和特征项，特征值特征向量，二次型这也是考试的必考，和历年来的差距不是很大，概率论数理统计大题目，一个是随机变量的分布，也是每年必考的题，包括连续性，它的分布，往年考随机变量的函数多一些，今年没有这么考察，但是随机变量的分布类型题目是常考题，第二是随机变量的数字体征这也是常考的内容，今年的线性代数和概率的题目基本上没有什么偏差。应该说比较的规矩。这是从内容方面来说。

　　第四个特点是同一性 。这三份试卷当中相同的题目很多，这也是这些年命题非常重要的特点，数学一和数学二是相同的，数学二和数学三也是相同的，甚至数学一、数学二、数学三都相同的题目比较多，这是带有规律性的。

　　第五个特点是很多年不考的题目出现了 。也是学生比较关注的热点，临考试前学生问我的问题最多的是数学一和数学二考不考物理应用，考不考应用题，我说应用题肯定考，这是毫无疑问的，问题是考不考物理应用的问题，数学一和数学二最近六七年都没考，但是今年数学一就出了个题目物理应用，物理应用的题是个小题，但是毕竟考了物理应用，学生还不能在复习的时候出现偏差，学生当时问我现在考纲是这么规定的，有物理应用，而且这一段时期这些年物理应用没有考，但是最近六七年物理应用还增加了一些的内容，比如说质心和形心，今年刚就考了质心和形心，同学们不要做很难的题，它考的填空题是适当的是在情理之中。有的老师认为这是冷点，不能说这些年不出现就不会出现，应该说是在意料之中。

　　第六个特点是，有没有冷点。 表示形式上有冷点，比如说考的一个题目是反常积分，反常积分往年考的题目，基本的题目都是小的填空题，今年考的是选择题，而且是选择题，是瑕积分；第二个内容是出现连加号相乘，两个相乘这种形式在过去考研真题中线性代数中出现过，高数中没出现过，这是第一次出现，线性代数出现有些年了，学生也不一定重视，那时候还是个大题，这个题目其实也没有什么很难的，两个相乘刚好两个和在不同的式子里面可以分开成，一分开就是很简单了，这个地方出现了学生有点不适应，一分开以后用定积分一表达出来就完了，我们网上有的老师说这是二重积分，其实是个外行，实际上是两个定积分的乘积，不是二重积分，有的老师没认真就下结论，这根本就不是二重积分，这是个定积分，定积分这种形式过去考过，数学一、数学二都考过。学生也容易看花眼，一看到是二次积分，一慌就麻烦了容易做错。别的老师认为的论点，我认为不是论点的原因，一个是密度函数一个是分段函数，且各分段表达式是以抽象函数的形式出现，这个形式过去也不多见，过去是用具体表达式给出来，学生很容易看，把密度函数分成两个段分别乘以两个常数，在题目条件中给出来，不是在分段的地方给出来，从知识点来说不是论点，知识表现形式上有所变异是这样的问题，学生感觉题目难是在这个地方，大家可以仔细想想我说的话是否对。

　　还有题目里面有一个解答题，它要比较两个积分的大小，这种题目过去经常出现在大题里面，里面有一个地方用到一个常见的不等式， x 大于 0 的时候不等式 ln(1+x)0 ），这个不等式一般地来说不重视，把相同的不能剔掉剩下的就是要用这个不等式，如果处理好也不是很难。就是是不是想得到的问题，想不到两个函数拿出来比较大小，可以用平常的我们证明单调性的方法来证明，这个证明很容易。这是不寻常出现地方。

　　第七个特点综合性。 这个题目的综合性，有的题目综合性太强了，涉及的知识点太多，像数学一的第 17 题，题目涉及到多少知识？设计了定积分的性质，如果要刚才我说的不等式要涉及到函数的单调性，还要涉及到要想把极限求出来还要把积分出来，又用到分布积分法，其中又遇到了若干的法则，最后还要用夹逼定理，综合性非常的强，从第一章到第五章内容都涉及到了，跨越性很大，第一章的内容、第三、第五章的内容，跨度很大综合性非常强，学生稍微毛躁一点都会出问题，我估计这个题目得分率肯定高不高，学生肯定会感觉这道题难。

　　第八是意外性。 意外的第一点数学三没有考级数的题，我们考试大纲是 09 年做了一次大的变化，在过去的四类试卷改成了三类，数学三和数学四合并了，考纲做了一个修正把级数的相关要求降低了，降低主要体现在两个地方，一个地方是常数项级数的根值法，第二个就是用间接展开法将函数展开成幂级数删掉了， 09 年考了一个大题求和函数，这也是预料之中的，但是今年就完全没有考，有的老师在网上说这应该是一种趋势，就是 20xx 年肯定又不考，我认为肯定错，明年绝对考级数，我今天说了让命题组的人听到也不怕，因为不出这是个缺陷，因为级数是高等数学化微积分非常重要的内容，一大块的内容，如果完全不涉及会说不过去的，会把题出偏了，数学三我认为就出偏了，这个地方不体现是不应该的，出个小题考察对的，一点不涉及就完全不应该，所以说不管怎么说 20xx 年绝对有级数的考题，（笑）。

　　主持人：考生应该关注了。

　　蔡子华： 20xx 年没有考， 20xx 年就肯定不考，如果是这种惯性思维肯定是错误，从级数的理论及重要性是不能够不涉及的，这是我的观点。意外性的第二是，高等数学没有考证明题，这是 14 年来没有过的事情，从 97 年到 20xx 年是 14 年， 14 年来数学一从来说没有不考高等数学的证明题，今年考了一个线性代数的证明题，矩阵还是常规，数学一在 98 年考过一次，出现线性代数证明题也应该不算错误，但是没有考高数的证明题这应该是个缺陷，这个地方也是不应该的，这是第二个意外。

　　第三个意外函数证明题， 09 和 08 年无论是数学一、数学二、数学三都考到了教材中的证明，当年就我得到的信息是说因为过去没考，过去要考证明题都是用教材定理证明的方法来证明的题，但是 08 年考了两个教材中定理的证明题， 09 年考了一个，现在的命题组的组长喜欢出这种题，连续除了两年。

　　主持人：明年是不是还有可能？

　　蔡子华：还有可能，这个人还当组长的话还有可能，我是这么看。今年学生最要关注的是这个问题，老师今年还会不会出教材中定理证明，如果要出出什么？要我预测，我说如果是按照这两年的规律来看，是要出的，而且我还做了预测，预测了两个地方，我去年预测正好对了，去年预测的是微分中值定理的证明，我告诉同学们最后一定要看微分中值定理的证明，去年恰巧是猜对了，今年是我猜错了，因为我没想到就是这么改呀，这个题猜了别的题没猜错了，当时我跟他们也说，如果说难可能还出，如果说不难也有可能不出，我说证明题肯定离不开中值定理相关的问题，今年还是中值定理相关问题。这个意外还是应该还是算意外，不管怎么说，我没有预测到。

　　主持人：不能每次都让您猜到。

　　蔡子华：我也不敢随便的预测，我只能说如果要考可能考什么，不考的我不知道是不是一定不考。这个东西还是属于一点意外。这就是关于试卷的特点我就归纳这么几点。

　　主持人：我想请你具体地一下，从这几份试卷来看都考察了哪些知识点，可以不可以给我们拿几个具体有代表性题说一下。

　　蔡子华：我讲到具体的题目刚才有，极限的题目少，级数也有。数学一该考察的重点的地方都考察到了，从极限，小的点太多了不谈了，大的点极限、积分的计算，曲面积分的计算，微分方程，级数的求和函数。我预测第一今年考级数，数学一考函数展开的可能性大，我是基于什么来猜测的呢？就是去年的考题，第二点如果不考展开第二就是考求幂级数的和函数，应该说数学一线性方程组和特征值特征向量的问题都考察到了，数学一概率论里面这两个点我也说了，分布和数字特征这都是常考的地方，应该说我刚才说了知识的覆盖面很宽，小的地方我就不说了。

　　数学二的情况今年这种题目属于常规题一元函数求单调区间和极值的题，在数学二的试题中，极限、求积分我跟大家预测的二重积分的计算大题，求二元函数的偏导数的大题，结果都有了，微分方程中考察了二阶常系数线性非齐次方程，线性代数也是常考的两个类型，有些人说考得很偏，我不知道偏在什么地方。

　　数学三的题目也是极限、积分、求导，二重积分的计算也是一样的。数学三线性代数和概率都是常考的题。

　　主持人：您刚才给我们分析了这几份试卷，您能不能根据分析的情况来给我们预测一下今年的分数线大概是多少？

　　蔡子华：今年的分数线和去年不会差太大，数学一和数学三应该是 65 到 70 分之间，估计是 67 分左右平均分，如果是过线数学一和数学二过线的分数应该是 67 分左右，数学三是 75 分左右。

　　主持人：根据您的分析，您能不能结合这几份试卷给 20xx 年的考生提一些备考建议？

　　蔡子华：这点提得很及时，因为很多的同学已经开始准备了，从 20xx 年的考试题目来看，要给考生提出几点建议：

　　第一点要重视基础。 咱们这些年的考题，基本理论是最主要的东西，一定要重视基础，有的同学不重视基础，特别不愿意深入去理解教材里面的内容这一点是不行的，从这回的考试来看离开了基础的理论根本没办法做。

　　第二复习要全面。 复习是要抓重点的，但是现在至少到今年放暑假，就是 20xx 年放暑假之前都一定要认真地用教材复习，绝对不能脱离教材，按照考纲规定的内容要正确理解，深刻理解教材相关的理论；第二不要片面追求技巧，技巧是建立在对数学理论是不是理解的基础之上的，有的同学片面追求技巧，包括我们现在有一些辅导书也是这么说，这个技巧，那个技巧，有的同学说老师辅导书的技巧学很高，我说这些很高的技巧，一般在考研中用不着，片面追求技巧是很不应该的。

　　主持人：容易顾此失彼。

　　蔡子华：对，第三点一定要认真练习。有的同学只看别人做题而不愿意自己去做，这样是不行的，看懂了别人怎么做不见得等于自己会做，不见得看懂了电影的表演你去表演不一定表演得出来，所以说一定要去做。

　　第四点建议就是要复习要按部就班，不要急于求成。 我们有的同学很急，甚至有的同学现在都在做考研的历年真题，那是要不得的，因为你没有一定的基础你要做这些考研真题是很难的，如果这样做的话第一弄得不好对自信心是很大的打击，使得你复习不下去，第二复习没有节奏，阶段不分明，容易造成知识上的混淆，混为一谈不知道到底是怎么回事。

　　第五点建议，一定要按考纲复习，不要超纲复习。 现在有不少考研辅导书，一些复习班的老师喜欢讲考纲之外的东西，从理念考研真题来看根据是没有这样的内容，今年压力最大的一点就是数学三，考数学三的同学给我发短信都是提一个问题，说蔡老师级数今年数学三会不会考，将函数展开，我说不考，他们回答说很多复习书上都有，而且现在很多冲刺班的老师一再地强调要考，我说不会考，为什么呢？因为数学三的考纲在 09 年作为重大变化之一就是三角的证明题……，如果要考的话也要把它加上去，如果不加上去就是超纲，但是超纲这些年没有出现过，我说不管哪个老师，什么什么的理由我都坚持不考，我建议同学们复习一定要根据考纲规定的内容来复习，有时候容易造成一些挫折，这是我要提出的一些建议。

　　第六点同学们应该平和心态，要增强心理素质。 我们今年有些同学反应题目难的原因是心理素质还是不过关，看到形式不一样，跟过去的考研题目的形式不一样就慌了，实际上就是个形式不同（笑），如果说你沉着一点，认真地多想一下就可以解决了，这个问题包括到最后临考前几天同学给我发短信，老师我现在睡觉都睡不着了，我紧张了应该怎么办？我就是一句话出去玩吧，你要放松，你要平和心态，考试对人生是很重要，而且有的同学准备了一年，的确要考不上很可惜，但是毕竟来说考试成功与失败都是随机的，如果是准备得好成功的概率就高，准备得不好失败的概率高，但是总得有一个心理准备，说不定有的同学很早就开始复习，但是最后失败的也有，不过这种可能还是相对比较小，只要是认真复习了半年以上或者是早复习的，而且也是认真的，就应该想到一般不会有很大的偏差。同学们要平和一下心态，我有这个追求想考上研究生，追求是对的，我也为此要付出努力，是持之以恒地付出努力，只要保证了这两点就可以了，我建议想考想参加 20xx 年考研的同学，要提早复习，要持之以恒，这样就会获得成功。

　　主持人：最后蔡老师还有什么想对各位考生，或者是给提一些建议。

　　蔡子华：已经参加了 20xx 年考试的同学，第一要平和心态等待结果，这主要是对那些考试的比较差的同学来说，考试情况比较好的同学建议要赶快抓紧准备复试，复试包括要抓紧寒假，要做的是拓宽专业的知识面，这很重要，不一定很精，但是要面要宽，要应付将来面试的时候老师提的问题，他提问的知识面会很宽，还有部分学校面试的时候还比较重视英语的口语的能力，这也要提前做准备。

　　换句话说即使是考试成绩不理想的同学还是要准备，很多东西是意外这不好说的，现在认为没有考好说不定别人比你考得更差（笑），数学的及格线不高， 60 多点分数学二数学一就够了，说不定有复试的机会，过了线结果没准备不就完了吗，无论怎么样咱们还是要准备，准备了不吃亏。

　　主持人：也谢谢蔡老师。祝愿各位考生能够顺利地通过这期的考试。

考研数学真题2

　　我先说一下数学3，通过看了一下题目，总体上题目跟20xx年相比难度下降。计算量有一定难度，但是按真正的计算量比20xx年稍有所下降。

　　从总体来看，第一题，我讲解高数部分，选择题，是常规的极限题目，相信大家都能拿到分数，极限法问题，最后三小时给出了这样的方法。

　　第2题是求函数的极值点，多元函数极值，这也是我们在最后三小时和上课过程当中反复强调的问题。

　　那么第3题也是讨论函数的性质。总体来说，选择题难度不大，没有难题，大家应该把基础题拿到分。

　　之后再来看填空题，第一题也是常规的定积分运算，依赖于定积分的定义和奇偶性来得出结论。是定积分的计算。

　　第10题是数3，考了差分方程，这也是我们最后三小时反复强调的题型。应该是还有重根的情况。

　　第11题考察了边际，经济学应用，作为重点强调的内容以填空题形式出现，也不是很难。

　　第12题考察了全微分形式出现。

　　我们可以看出题目本身没有偏题难题怪题，是常规的题目，大家对于常规题目一定要认真去答给出正确答案。我相信大家最后的成绩会比较理想。

　　重点看大题，计算量有一些，大题对大家稍微有一些困难，第15题，平常的极限问题，和20xx年、 20xx年的反差不大，是变限积分，先做变换做进行处理。先做代换。

　　第16题是二重积分的问题，这种题目要求题目不难，划出区域认真积分就可以了。要求把计算稳住，也不是难题。

　　第17题看似，17题本身不是很难的题目，它是一个定积分定义，转换成什么?转换成分布积分。其实这种题目按照20xx年标准是填空题的标准，20xx年以一个大题出现，能不能看出来转成分布积分。

　　那么从高数15、16、17三个题，希望大家把不难的题目拿下。

　　后面题目稍微有一些难度18、19相对是一些难题。

　　19题，是一个级数问题，是一个跟，讨论级数某些性质，有同学反应这道题稍显难度。对于这种题不要想拿全分，把基本分拿到手，选择填空如果稳中分值不会差太多，应该取得比较理想的分数。

　　这个基本上是数学3的内容。

　　下面我利用一点时间点评一下数学1的题目。待会儿由李良老师点评线代。

　　总体来说我觉得今年题目还可以。数学1的题目选择填空也不是很全。介绍一下大题。

　　第1题是，也是最后三小时课堂说的题目，复合函数偏导，今年考试题题目本身偏简单。

　　第16题和数三是一样的定积分定义转换成分布积分。

　　17题，是一个讨论方程根，隐函数极值问题，也不是很难的题型。

　　通观数一和数三试卷可以看到高数总体常规题，不偏不难，一定要把基本题目的分数稳住，18、19有一些计算，要拉开层次。

　　对于18题，是方程根的讨论，这个题部分同学无从下手，是利用函数及一阶导数性质来推导方程根。

　　19题，脱离大家的想象，因为是很常规的，第一类型曲面积分问题。具体算，这道题我还没来得及时间去计算。但是也想第一时间和大家分享20xx年考研真题高数部分。

　　按照数一和数三的程度，我们可以猜测数二题目重复率高一些，总体难度不大。

　　总结一下20xx年高数总体情况，今年高数部分选择题填空题都是常规题目，不难不偏不怪。计算题目前三道大题也是常规题目，计算留属于中等，后两道大题计算量偏大一些，稍有一些复杂度。如果基本分拿到的话今年分数应该比较理想。不妨预测一下今年平均分，应该比去年要高，最终国家线是多少呢，要和报考人数和考试成绩关联，也欢迎大家时刻观众，我们会在第一时间把考试情况给大家反馈。（薛威）

考研数学真题3

　　考研数学中，线性代数的难度一般在高数和概率统计之间，且大多数的考研er认为线性代数试题难度不大，但是计算量稍微偏大，容易算错，线代代数的考查是对 基本方法的考查，但是往往在做题过程中需要利用一些性质进行辅助解决。线性代数的学科特点是知识点之间的综合性比较强，这也是它本身的一个难点。这就需要 我们在复习过程中，注意对于知识点间的关联性进行对比着学习，有助于巩固知识点且不易混淆。

　　总体来说，线性代数主要包括六部分的内容，行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。

　　行列式部分

　　熟练掌握行列式的计算。

　　行列式实质上是一个数或含有字母的式子，如何把这个数算出来，一般情况下很少用行列式的定义进行求解，而往往采用行列式的性质将其化成上或下三角行列式进行计算，或是采用降阶法(按行或按列展开定理)，甚至有时两种方法同时用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等等。小伙伴们只要掌握了基本方法即可。

　　矩阵部分

　　重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用。

　　通过考研数学历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的考点集中在逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩及矩阵方程的考查。此外，含随矩阵的矩阵方程，矩阵与行列式的关系、逆矩阵的求法也是我们需要掌握的知识点。涉及秩的应用，包含秩与矩阵可逆的关系，矩阵及其伴随矩阵秩之间的关系，矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价的区别与联系，系数矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析。

　　向量部分

　　理解相关无关概念，灵活进行判定。

　　向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。要求考生掌握线性相关、线性表出、线性无关的定义。以及如何判断向量组线性相关及线性无关的方法。向量组的秩和极大无关组以及向量组等价这些重要的知识点要求同学们一定一定掌握到位。

　　这是线性代数前三个内容的命题特点，而行列式的矩阵是整个线性代数的基础，对于行列式的计算及矩阵的运算与一些重要的性质与结论请小伙伴们一定要务必掌握，否则的话，对于后面四部分的学习会越学越难，希望同学们在复习过程中一定注意前面内容的复习，为后面的考研数学复习打好基础。

　　前面我们已经分析过，考研数学线性代数这门学科整体的特点是知识点之间的综合性比较强，有些概念较为抽象，这也是大部分人认为考研数学线性代数不好学，根本找不到复习的头绪，做题时也是一头雾水，不知道怎么分析考虑。

　　所以大家在学习过程中一定要注意知识间之间的关联性，理解概率的实质。如：矩阵的秩与向量组的秩之间的关联，矩阵等价与向量组等价的区别，矩阵等价、相似、合同三者之间的区别与联系、矩阵相似对角化与实对称矩阵正交变换对角化二者之间的区别与联系等等。若是大家对于上面的问题根本分不清楚，则说明大家对于基本概念、基本方法还没有完全理解透彻。不过，大家也不要太焦急，希望小伙伴在后期的复习过程中对于基本概念、基本方法要多加理解和体会，学习一定要有心得。

　　线性方程组

　　会求两类方程组的解。

　　线性方程组是线性代数这么学科的核心和枢纽，很多问题的解决都离不开解方程组。因而线性方程组解的问题是每年必考的知识点。对于齐次线性方程组，我们需要掌握基础解系的概念，以及如何求一个方程组的基础解系。清楚明了基础解系所含线性无关解向量的个数和系数矩阵的秩之间的关系。会判断非齐次线性方程组的解的情况，掌握其求解的方法。此外，我们还需要掌握非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解结构之间的关系。

　　特征值与特征向量

　　掌握矩阵对角化的方法。

　　这一部分是理论性较强的，理解特征值与特征向量的定义及性质，矩阵相似的定义，矩阵对角化的定义。小伙伴们还需掌握求矩阵特征值与特征向量的基本方法。会判断一个矩阵是否可以对角化，若可以的话，需要把相应的可逆矩阵P求出来。还需要注意矩阵及其关联矩阵(转置、逆、伴随、相似)的特征值与特征向量的关系。反问题也是喜欢考查的一类题型，已知矩阵的特征值与特征向量，反求矩阵A。

　　二次型

　　理解二次型标准化的过程，掌握实对称矩阵的对角化。二次型几乎是每年必考的一道大题，一般考查的是采用正交变换法将二次型标准化。掌握二次型的标准形与规范型之间的区别与联系。会判断二次型是否正定的一般方法。讨论矩阵等价、相似、合同的关系。

　　虽然线性代数在考研数学考试试卷中仅有5题，占有34分的分值，但是这34分也不是很轻松就能拿下的。小伙伴们在复习过程中需要对于基础知识点理解透彻，做考研数学题过程中多分析总结。